工程制图基础课件

第1章制图基本知识和技能1.1制图的基本规定1.2绘图工具和仪器的使用1.3几何作图1.4平面图形的画法及尺寸标注1.5绘图方法和步骤1.1制图的基本规定

1.1.1图纸幅面和格式

1.图纸幅面

2.图框格式

3.标题栏

1.1.2比例

1.1.3字体

1.汉字

2.拉丁字母和希腊字母

3.数字

1.1.4图线及画法

1.图线形式及应用

2.图线画法

1.1.1图纸幅面和格式幅面代号A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297e2010c105a25图纸基本幅面代号和尺寸1.图纸幅面尺寸2.图框格式图框线周边纸边界线标题栏BL图框格式不留装订边图框格式留装订边3.标题栏国标中推荐的标题栏1801612161610101212161212165087=(56)182046.5=(26)1212(单位名称)(图样名称)(图样代号)重量比例阶段标记共张第张工艺审核批准设计标记处数分区签名(签名)更改文件(签名)(年月日)(年月日)年月日(材料标记)标准化1.1.2比例原值比例优先使用1:1放大比例优先使用5:12:15×10n:12×10n:11×10n:1可使用4:12.5:14×10n:12.5×10n:1缩小比例优先使用1:21:51:101:2×10n1:5×10n1:1×10n可使用1:1.51:2.51:31:41:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n国标规定的比例比例是指图形与其实物相应要素的线性尺寸之比1.1.3字体字体的总要求：字体端正笔画清楚间隔均匀排列整齐字体的号数：即字体的高度，1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。汉字：长仿宋体，字宽是字高的2/3左右。书写要点：横平竖直注意起落结构均匀填满方格字母与数字示例字母与数字示例1.1.4图线及其画法图线名称图线型式主要用途粗实线细实线波浪线双折线虚线细点画线粗点画线双点画线4~6

1

3可见轮廓线，可见棱边尺寸线、尺寸界线、剖面线断裂的边界线断裂处的分界线不可见轮廓线，不可见棱边对称线、中心线有特殊要求的表面的表示线假想投影轮廓线、中断线图线应用举例图线的画法图线应用的正误对比正确错误1.1.5尺寸注法1.基本规则

机件的真实大小应以图样上所注的尺寸数值为依据，与图样的大小及绘图的准确度无关。图样中(包括技术要求和其它说明)的尺寸，以毫米为单位时，不需标注计量单位的代号或名称；如采用其它单位,则必须注明相应的计量单位的代号或名称。图样中所标注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则应另行说明。机件的每一尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。2.尺寸的组成R10Φ1875201860一个完整的尺寸由尺寸界线、尺寸线和尺寸数字组成。尺寸界线尺寸线尺寸数字1.2绘图工具和仪器的使用图板与丁字尺1.2.1图板、丁字尺、三角板丁字尺的用法丁字尺的尺头靠紧图板导边，上下移动画水平线。三角板的用法三角板与丁字尺配合使用，可以画15º整数倍的各种角度。1.2.2圆规和分规分规主要用于量取尺寸和截取线段1.2.3铅笔

铅笔常削成圆锥形和矩形，圆锥形用于画细线和写字，矩形用于绘制粗实线。1.3几何作图1.3.1线段的等分AB线段的5等分1.3.2圆周等分及圆内接正多边形FMEBGA圆内接五边形作图方法作图步骤

以N为圆心，NO为半径画圆弧交圆于F、G，连接FG与ON相交点M。以M为圆心过点A作圆弧，交水平直径于H，再以A为圆心过H作圆弧，交外接圆于B、E。分别以B、E为圆心，弦长BA为半径作圆弧，与外接圆交于点C、D；连接A、B、C、D、E五点即作出正五边形。ONHCD1.3.3斜度和锥度αLltTDαlLd斜度：直线（或平面）相对于另一直线（或平面）的倾斜程度即（T－t）/l=T/L=tanα锥度：正圆锥底圆直径与其高度之比。即D/L=(D-d)/l=2tanα斜度和锥度的标注及画法αhαh1:6606020201等分6等分RRKRR2RR1

用已知半径的圆弧光滑连接（即相切）两已知线段（或圆弧）称为圆弧连接。起连接作用的圆弧称为连接弧，切点称为连接点。由于连接弧的半径和被连接的两线段已知，所以，圆弧连接的关键是确定连接弧的圆心和连接点。R1R2R1.3.4圆弧连接圆弧连接的基本作图原理O圆弧连接的画法（一）圆弧连接的画法（二）1.4平面图形的画法及尺寸标注R104.1平面图形的尺寸分析定形尺寸：是确定平面图形中几何要素的形状和大小的尺寸定位尺寸：是确定平面图形中几何要素的位置的尺寸1.4.2平面图形的线段分析已知线段：根据图形中所标注的尺寸可以直接画出的直线或曲线中间线段：除图形所标注尺寸外还需要一个连接关系才能画出的线段连接线段：根据两个连接关系才能画出的线段Φ40Φ2010308R90R35R3010901.4.3平面图形的作图步骤Φ19Φ1114(6)(49)80Φ14Φ26R52R30R5.5手柄的作图步骤Φ111480Φ19Φ14Φ2652R(52-5.5)30R(50+30)1.4.4平面图形的尺寸标注Φ40Φ2010308R90R35R301090第2章点、直线和平面的投影

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4求线段实长及对投影面的倾角

2.5两直线的相对位置2.6平面的投影

2.1投影法的基本知识2.1投影法的基本知识

2.1.1投影法概念

2.1.2投影法的分类

2.1.3正投影法的基本性质

2.1.1投影法的概念投影面Pa

投影投射线bS

投影中心A

空间点B

将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。

2.1.2投影法的分类

1.中心投影法

投射线汇交于一点。

2.平行投影法

投射线互相平行。

（1）斜投影

投射线与投影面倾斜的平行投影。

（2）正投影

投射线与投影面垂直的平行投影。1.中心投影法HS2.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----正投影90°H

2.1.3正投影法的基本性质

1.

实形性

当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2.

积聚性

当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。

3.

类似性

当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。1.实形性CDEBAHabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。edca（b）CDEBAH2.积聚性当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。3.类似性CDEedcBAabH当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。2.2点的投影2.2.1点在两投影面体系中的投影2.2.2点在三投影面体系中的投影2.2.3两点的相对位置和重影点2.2.1点在两投影面体系中的投影5.点在其他分角的投影3.点的两面投影图2.两投影面体系的建立4.两投影面体系中点的投影规律1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.点的两个投影能唯一确定该点的空间位置HVOXa

aA2.两投影面体系的建立XO

两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。正立投影面投影轴VH水平投影面3.点的两面投影图HVOXaAa

点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。点A的正面投影点A的水平投影XHVOa

aax两面投影图的画法HHVOXa

aAax

展开时，规定V面不动，H面向下旋转90

。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。通常不画出投影面的范围XOa

aax4.两投影面体系中点的投影规律HVOXa

aAaxXOa

aax

点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X

；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

2.2.2点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的建立2.点的三面投影图3.点的三面投影与直角坐标的关系4.三投影面体系中点的投影规律5.特殊点的投影1.三投影面体系的建立HVXOZYW

三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。2.点的三面投影图HVXZYWOA

点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90

，W面向右旋转90

。a

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHa

aa

XOZYWYH通常不画出投影面的范围HVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.点的三面投影与直角坐标的关系

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzA4.三投影面体系中点的投影规律HVXZYWOayaxazxyza

aa

a

aa

XOZYWYHaxayazay

点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’a“⊥0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。长对正高平齐宽相等5.特殊位置点的投影OXb

bc

cHVOXCc

ca

bBb

Aaa

a

投影面上的点

投影轴上的点

与原点重合的点例1

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。ZYHXYWOa

a

a2.1.3两点的相对位置和重影点1.两点的相对位置2.重影点XOZY1.两点的相对位置a

a

ab

b

bBA

两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。XZYWYHOa

a

ab

bb

2.重影点cc

(d

)da(b)a

b

AB

若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。XYHZYWOc

(d)

b

a(b)a

cda

b

c

d

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。

例2已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

121062.3直线的投影

2.3.1直线的三面投影

2.3.2直线对投影面的相对位置

2.3.3直线上的点OXZY2.3.1直线的三面投影ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYYa

bb

空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。2.3.2直线对投影面的相对位置

1.投影面平行线

平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线

(1)

水平线

(2)

正平线

(3)

侧平线

2.投影面垂直线

垂直于某一投影面的直线

(1)

铅垂线

(2)

正垂线

(3)

侧垂线

3.一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线

水平线

—平行于水平投影面的直线XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

OzYHYW

ba

AB投影特性：1.a

b

OX;a

b

OYW2.ab=AB3.反映

、

角的真实大小XZYO正平线—平行于正面投影面的直线

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真实大小aa

b

a

b

bXZYO侧平线—平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真实大小aa

b

a

b

bOXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

积聚成一点

2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB铅垂线—垂直于水平投影面的直线ABb

a(b)a

a

b

正垂线—垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：1、a

b

积聚成一点

2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a侧垂线—垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：1、a

b

积聚成一点

2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

bOXZY

一般位置直线ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均小于实长

2、ab、a

b

、a

b

均倾斜于投影轴

3、不反映

、

、

实角直线上的点具有两个特性：

1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。

2.3.3直线上的点ABbb

aa

XOcc

Ccb

Xa

abcc

例3已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。O

例4已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHVO直线的迹点XAb

aa

m

Nn

bBMmnOVHa

b

bam

mnm

XO

直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。

一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。

1.几何分析

2.作图要领

用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。

3.直角三角形的四个要素

实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。2.4一般位置线段的实长及对投影面的倾角几何分析

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abO

例5已知线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。aXa

bAOBb0bb0bb0b’

b’

2.5两直线的相对位置（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。（2）平行两线段之比等于其投影之比。Xb

aa

d

bbcc

ABCDXb

a

abdc

d

c1.平行两直线OO2.相交两直线

两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。b

Xa

abk

c

d

dckXBDACKbb

aa

c

cdd

k

kOO3.交叉两直线

凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2Od

a

c

b

oYWYHZXa

ac

d

dcbb

例6判断两直线的相对位置判断重影点的可见性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12

判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)例7判断两直线重影点的可见性O4.

垂直两直线的投影AHBCacbcXb

a

c

ba

互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定平行。Obb

a

aOfe

ef

X例8过点A作EF线段的垂线AB。例9求点E到水平线AB的距离。XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距离例10作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。b

bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

nm

a

aXmn

O2.6平面的投影2.6.1平面的表示法1.

几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。2.平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。1.几何元素表示法a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d用几何元素表示平面有五种形式：（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。2.迹线表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW2.6.2各种位置平面的投影特性1.投影的垂直面(1)铅垂面(2)正垂面(3)侧垂面2.投影的平行面(1)水平面(2)正平面(3)侧平面3.一般位置平面铅垂面投影特性：1、

水平投影abc积聚为一条直线

2、正面投影

a

b

c

、

侧面投影a

b

c

为

ABC的类似形

3、

abc与OX、OY的夹角反映

、

角的真实大小VWHPPHABCacb

a

b

a

b

bacc

c

铅垂面迹线表示VWHPPH

PHPVPW

正垂面投影特性：1、正面投影a

b

c

积聚为一条直线

2、水平投影abc、侧面投影a

b

c

是ABC的类似形

3、a

b

c

与OX、OZ的夹角反映α、

角的真实大小VWHQQV

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面的迹线表示VWHQQVαγQV侧垂面投影特性：1、侧面投影a

b

c

积聚为一条直线

2、水平投影abc、正面投影a

b

c

为

ABC的类似形

3、a

b

c

与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小VWHSWSCa

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

侧垂面的迹线表示VWHSHSZXOYHSHYαβ水平面VWHCABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

投影特性：

1.a

b

c

、a

b

c

积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性

2.水平投影abc反映

ABC实形

正平面VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1.abc

、a

b

c

积聚为一条直线，具有积聚性

2.正平面投影a

b

c

反映

ABC实形

侧平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影特性：

1.abc

、a

b

c

积聚为一直条线，具有积聚性

2.侧平面投影a

b

c

反映

ABC实形

一般位置平面a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形

2.不反映

、

、

的真实角度

2.6.3平面上的点和直线（1）平面上的直线

直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。（2）平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。1.平面上取直线和点（1）

平面上取直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。a

b

c

abcd

de

eABCEDFff

（2）

平面上取点ABCDEa

b

c

abcd

de

e

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线例11已知

ABC给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e’作出水平投影。k

ka

b

c

abcdd

e

e11

XO例12已知平面P上K点的正面投影k’，求作水平投影k。XOPVPHPXk’n’nmmk2.平面上的特殊位置直线VHPPVPH（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。水平线正平线例13a

b

c

bacm

n

nm已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。例14已知点E

在

ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

e（2）平面上投影面的最大斜度线

平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。

最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度HPCD

aE1

S

AE例15求

ABC平面与水平投影面的夹角α

。beα

BEd

de

ea

b

c

abc例16过正平线作平面与水平投影面成60°abeff

e

eff

e

60°bbb

a

aabAB本章小结

1.熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别。

2.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平行、相交、交叉三种相对位置的投影特性，熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法，并能灵活运用直线的实长、投影、直线与投影面倾角三者之间的关系。掌握直角的投影定理及其应用。

3.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法,掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。了解平面内投影面平行线及投影面最大斜度线的投影特性和作图方法。121第3章直线与平面、

平面与平面的相对位置

3.1平行问题3.1平行问题3.2相交问题3.3垂直问题3.4综合问题分析1223.1平行问题3.1.1直线与平面平行3.1.2平面与平面平行1233.1.1直线与平面平行

若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA124例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc结论：直线AB不平行于定平面XO125例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO1263.1.2平面与平面平行

若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB127f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行128例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO129例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO1303.2相交问题3.2.1积聚性法3.2.2辅助平面法131交点与交线的性质

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF1323.2.1积聚性法

当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM133直线可见性的判别b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前134XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。135（2）两平面相交f

k

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk136平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO137平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

138过AB作平面P垂直于H投影面3.2.2辅助平面法DECP12KBA1392PH1

作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

140直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

141以正垂面为辅助平面求线面交点1

2

QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。f

e

efba

acb

c

k

k142

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法1431、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤1

2

144利用重影点判别可见性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO两平面相交，判别可见性145例7试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO146分析FPCABEKH

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。147作图步骤m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。1483.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直3.3.2平面与平面垂直1493.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE

几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。150

定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO151

定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO152a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。153h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9试过定点K作特殊位置平面的法线。154e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。155例11试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。n

nXO156平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf

分析157直径任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作图过程1583.3.2两平面垂直

几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB159

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB160g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面161g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不平行。XO例13试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。1623.4综合问题分析及解法3.4.1空间几何元素定位问题3.4.2空间几何元素度量问题163

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤164例14已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO3.4.1空间几何元素定位问题165分析

所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF166作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

167例15试过定点A作直线与已知直线EF正交。a

efaf

e

XO168分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。169作图过程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k21170例16求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO171分析PABCK

过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。172作图过程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离173例17求交叉直线AB和CD的公垂线。cc

a

b

abXOdd

3.4.1空间几何元素度量问题174分析LKABDCGHEFP

过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。175作图过程cc

a

b

abXOdd

gg1

122

hh343

4

eefkklfl176本章小结1.平行问题（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

（2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。2.相交问题（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

（3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。3.垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。4.综合问题分析及解法（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

（2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。177第4章投影变换

4.1概述4.2换面法1784.1概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。179a

abb

a

abb

c

cdd

ba

ab

c

cdd

a

abb

c

ca

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角1804.2换面法4.2.1换面法的基本概念4.2.2点的投影变换规律4.2.3直线的换面4.2.4平面的换面181

换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

182VAHCBc

b

Xa

abc4.2.1换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立183（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

2.新投影面的选择原则1844.2.2点的投影变换规律1.点的一次变换VHXHX1V1a1

a

Aa185186a1

a

XVHaVHXX1V1a1

V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图1872.点的投影变换规律a1

X1HV1a

XVHa（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。188VHXH1X1点在V/H1体系中的投影

X1H1Va1XVHa

aa1a

Aa189VXHa2a

aa1

XVHX1HV13.点的两次变换V1X1X2H2V1H2X2a2a1

a

Aa1901914.2.3直线的换面1.将一般位置直线变为投影面平行线VHXAaBb

abV1X1a1

b1

a1

b1

X1V1Hbab

a

XVH192

例1把一般位置直线AB变为H1投影面平行线

b

a

baXHVXH1Va1b1

193VHXa

Aab

BbH1X1X1H1Va1

b1

XVHa

aa1

2.将投影面平行线变为投影面垂直线b

b194

3.将一般位置直线变为投影面垂直线XHa

Aab

bBVV1X1H1a2b2a1

b1

195将一般位置直线变为投影面垂直线XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

196a

aXb

bcc

思考题1如何求点C到直线AB的距离？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

提示197a

aXb

bcdc

d

思考题2如何求两直线AB与CD间的距离？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

V提示198X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1

a1

d1

c1

11

21

21b

abdca

XVHd

c

2

1

1222

例2求两直线AB与CD的公垂线。

H2199a

c

XVHb

bac4.2.3平面的换面VHXcba

b

CAc

Badd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d11.将一般位置平面变为投影面垂直面200k1X1H1Vb1a1c1d1s1a

c

b

bacdd

ss'

例3求点S到平面ABC的距离201a

c

b

bacenk

e

nd

dX1VH1b1a1c1d1k1ke1

例4已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e

。202HXVCAc

b

a

B2.将投影面垂直面变为投影面平行面X1V1c1

b1

a1

V1c1

b1

a1

X1203a1

c1

b1

X1bcab

a

c

XVHa

c

b

XX1V1c1

b1

a1

bca204a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H13.将一般位置平面变为投影面平行面

205

例5已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

206本章小结（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。207第5章曲线与曲面

5.1曲线

5.2曲面2085-1螺旋线1圆柱螺旋线的形成

当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。2

圆柱螺旋线的画法209螺旋线的画法2105-2正螺旋柱状面1正螺旋柱状面的形成正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3正螺旋柱状面的应用的例子211

2正螺旋柱状面的画法2123正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋楼梯2135-3单叶双曲回转面

1单叶双曲回转面的形成

单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2单叶双曲回转面的画法（1）画出回转轴及直导线的两面投影；（2）作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：（3）作出若干素线及外视转向线的投影。214

2单叶双曲回转面的画法

2155-4柱状面1柱状面的形成

一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面2柱状面的画法（1）画出两条曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。2162柱状面的画法2175-5锥状面1锥状面的形成

一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。2锥状面的画法（1）画出一直导线和曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。2182锥状面的画法2195-6双曲抛物面

1双曲抛物面的形成

一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2双曲抛物面的画法（1）画出两条直导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。3双曲抛物面的截交线2202双曲抛物面的画法2213双曲抛物面的截交线

222本章结束第6章立体的投影及表面交线6.1基本体的投影6.2平面与立体相交6.3立体与立体相交6.1基本体的投影

按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。6.1.1三面投影与三视图6.1.3曲面立体6.1.2平面立体6.1.1三面投影与三视图主视图俯视图左视图XYWYHZO三视图的位置关系和投影规律长高宽宽上上下下左左右右前前后后主、俯视图

长对正主、左视图

高平齐俯、左视图

宽相等6.1.2平面立体

表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。棱柱棱锥2281.棱柱(1)棱柱的投影230(2)棱柱表面上取点a

a(a

)(b

)bb

2.棱锥(1)棱锥的投影s

Basa’c’b’cs

bCASb”(c”)a”s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

11

r

r(2)棱锥表面上取点2

2

23(3

)3

6.1.3曲面立体

表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。

曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。圆柱圆锥圆球1.圆柱

圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。(1)圆柱的投影(2)圆柱表面上取点()A(D)CBc”2.圆锥

圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。(1)圆锥的投影(2)圆锥表面上取点辅助素线法辅助圆法3.圆球

球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。(1)圆球的投影(2)圆球表面上取点6.2平面与立体相交6.2.1平面与平面立体相交6.2.2平面与曲面立体相交

平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截交线截交线的概念6.2.1平面与平面立体相交

由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。例1三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3例2求带切口三棱锥的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解题步骤1分析截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4整理轮廓线。例3求立体截切后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）6.2.2平面与曲面立体相交

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。1.平面与圆柱相交

截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条平行直线截平面倾斜于轴线，交线为椭圆截平面垂直于轴线，交线为圆平面与圆柱的截交线两条平行直线垂直于轴线的圆椭圆例4求斜切圆柱的截交线11'1"4"3"2'2"26543ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ3‘(4‘)5‘6'5"6"解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；3求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。877'8'7"8"作图步骤：

（1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别截交线的形状和性质。

（2）求出截交线上的特殊点。

（3）根据需要求出若干个一般点。

（4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。

（5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。

特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。例5求切口圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。例6求截切圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。ⅠⅡⅢⅣ例7求截切圆柱截交线的投影。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"2.平面与圆锥相交圆椭圆两条相交直线双曲线抛物线解题步骤例8已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。1分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般点Ⅴ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。例9求正平面与圆锥的截交线。解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般点ⅣⅤ；4