《高等数学》下册期末总复习

《高等数学》下册期末总复习

一、向量代数与空间解析几何(一)向量代数

JJJJGGGG

1、点M(x,y,z加量OM=(x,y,z=xi+yj+zk；

JJJG2、点A(xl,yl,zl,B(x2,y2,z2=向量AB=(x2-xl,y2-y1,z2-z

1;

GG3、设a=(ax,ay,az,b=(bx,by,bz,则

GGG

aib=(ax±bx,ay±by,az±bz；Xa=(Xax,kay,kaz(人为数)；GGGG

GGn

a-b=|a|-|b|cos(a,b=axbx+ayby+azbz；

GGGijkGGGGGGGGGGGGGGn

axb=axayaz,(|axb|=|a||b|sin(a,b,axb_Lb,axb±a；

bxbybz

bxbybzGG

a&b«==(对应坐标成比例)；

axayaz

GGGG

a_Lb<=5a•b=0；

GGGa-bGn

cos(a,b=；

la||b|

GGGGnPijb=|b|cos(a,b

Ga

(二)曲面、空间曲线及其方程

1、曲面及其方程Z:F(x,y,z=O,旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有

谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于

谁；作图时先画准线结合母

线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面

及其方程并会作图2、空间曲线及其方程：一般方程(面交式)、参数方程；

3、曲线(曲面或空间立体)在坐标面上的投影：投谁便消去谁4、会作简单

立体图形

(三)平面方程与直线方程：

1、平面方程：

1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0,其中n=(A,B,C为其一法向量.

G

第1页共14页1

2)点法式方程：法向量n=(A,B,C,点M(x0,y0,z0en,则A(x—xO

+B(y-y0+C(z-z0=0.3)截距式方程：

G

xyz

++=1abc

(Alx+Bly+CIz+D1=0

的平面束方程为

(A2x+B2y+C2z+D2=0

4)平面束方程：过直线《

(Alx+Bly+CIz+D1+X(A2x+B2y+C2z+D2=0

2、直线方程：

点M0(x0,y0,z0£L,则1)对称式方程(点向式方程)：方向向量s=(m,

n,p，

G

x-xOy-yOz-z0

mnp

x=x0+mt

2）参数式方程：ly=yO+nt

Iz=z+pt

0

3)一般式方程：I

(Alx+Bly+CIz+D1=0

IA2X+B2y+C2z+D2=0

3、面面、线线、线面关系：

GG|nGG1-n2|nn=1面面：

Jq2++cjJA；+B；+cj

cos0=|cos(n,|=12

Inl||n2|

GG

ni±n2<=si1-n2=0—1A2+BIB2+CIC2=0：AIBIC1GG

ni&n(或重合)un&n0=212

A2B2C2

GG|sGG1-s21ns==2线线：

J42+B；+CjJA；++Cj

cos0=|cos(s,|12|sl||s2|GG

L1±L2<=X1-s2=0<=^mIm2+nIn2+pIp2=0；mInIp1GG

Ll&L(或重合)us&s==212

m2n2p2

GG|s-n|GGm3线面:

JA，+B；+C：JA；+6」+（

sin（|）=|cos（s,n|==|s||n|ABCGG

LJ_riG&n«===；

mnp

GG

L&n（或L在n上Cn<=JAm+Bn+Cp=0

第2页共14页

2

4、距离

dA，+B'+C，

点面：d=

JJJJJJG点线：d=|MG0Mxs||s|

，其中G

s为直线的方向向量，M为直线上任意一点.

第3页共14页3

二、多元函数的微分学及其应用

（-）极限（求法与一元函数的类似，洛必达法则除外）：

22

7（x-x0）+（y-y0）

(x,yT(x0,y0

lim

f(x,y=A田£>0,38>0,8时，有|f(x,y-A|<£

(x,y-(x0,y0

A

(二)连续性：

A

lim

f(X,y=

-x)+(y-%)2

f(x0,yO

田s>0,38>0,8时，有|f(x,y-f(x0,y0|<£

(三)偏导数：

1、显函数：z=f(x,y

1)定义：fx(x0,y0=lim

Ax—0

f(x0+Ax,y0-f(x0,y0

Ax

fy(x0,y0=lim

Ay—>0

f(x0,y0+Ay-f(x0,y0

△y

2)求导法则：对X求偏导，暂时视y为常量；对y求偏导，暂时视X为常量

3)复合函数的求导法则(链式法则)：若z=f(u,v具有连续偏导数，而u

=g(x,y与

v=h(x,y都具有偏导数，则复合函数z=f[g(x,y,h(x,y]的偏导数为：

dzdzdudz&v

=•+•=fu•ux+fv•vx=fgx+f2'・hx；5xex5v5x

dzdzdudz5v=•+・=fu•uy+fv•vy=f1'•gy+f2'・hySySu5y6v6y

特别的，设z=f[h(x,g(x],则

dz

=fMhz(x+f2f-g'(xdx

例如，设z=f(xy,2x+3y,其中f具有二阶连续偏导数：

令u=xy,v=2x+3y,则

dzdz

=fl'・y+f2'・2=yfl'+2f2',=xfl'+3f2'.6xSy

32zdd

“•x+fl2”-3]+2(f2r(-x+f22"-3=(yf1'+2(f2'=[fI'+y(f11

dxdydydy

”+(3y+2xf12"+6f22"=fI'+xyf11

注意：1)解题时，要注意偏导数以及导数的写法.2)其中fl，=

5f(u,v

duu=xy

f1,(xy,2x+3y]与原函数具有相同的复合结构.=fu(xy,2x+3y【即

4

v=2x+3y

第4页共14页

2、隐函数：

1)一个方程的情形：

Fxdyf

=-1dxFyIIy=y(x

一《隐函数求导法：方程两边对x求导，注意y=二元方程可确定一个一元隐

函数：F(x,y=0------

I微分法：方程两边取微分，Fdx+Fdy=0

xy

y(x为x的函数

Fy(Fxdzdz

=-,=-z=z(x,yIdxFzdyFzI

三元方程可确定一个二元隐函数：F(x,y,z=0J

隐函数求导法：方程两边对x(或y求偏导，注意z=z(x,y为x、y的函数

III微分法：方程两边取微分，Fxdx+Fydy+Fzdz=0=>dz="

2)方程组的情形：(隐函数求导法)

(y=y(x

lz=z(x

fF(x,y,z=0dydz

三元方程组确定两个一元隐函数：

对x求导dxdxGxyz(,,=0I

四元方程组可确定两个二元隐函数：

(

F(x,y,u,v=0

G(x,y,u,v=0

(u=u(x,y(

Iv=v(x,y

=>

对x（或y求偏导，视y（或X为常量，得

du,dxdx

（或Su5v）

dydy

（四）全微分：可微函数z=f（x,y的全微分为：dz=zxdx+zydy.定义为:

Az[=f（xO+Ax,yO+Ay-f（x0,y0]=AAx+BAy+

‘一’一：^^=----

o（p,其中p=（五）应用：

1、几何应用：

1）曲线的切线与法平面：

A

fX=x（tI

a、若曲线「的方程为参数方程：｛丫=丫0,点乂（*0,丫0/0£7-1=10,

则

Iz=z（tI

G

切向量为T=（x'（tO,y，（tO,z'（tO,

切线方程为

x-xOy-yOz-z0

xr(t0y'(t0zr(t0

法平面方程为xr(t0•(x-x0+yr(t0•(y-y0+zz(t0•(z-z0=0

Gfy=f(x

,点乂a(),户0*0£「，则切向量为T=(l,y，(xO,z，(xO,从而可b、若曲

线「的方程为：I

lz=g(X

得切线方程与法平面方程.

fF(x,y,z=0

，点M(x0,y0,z0G「，则切向量为c、若曲线「的方程为一般方程：〈

G(x,y,z0=I

第5页共14页

5

GdydzT=(1,yz(x0,zf(x0(利用隐函数求导法，方程两边对x求导，可

得，)，从而可得切线方程与法

dxdx

GGGGG

平面方程.【另解：nl=(Fx,Fy,Fz|M,n2=(Gx,Gy,Gz|M,可取切向

量为T=nlxn2]

2)曲面的切平面与法线：

a、若曲面£的方程为尸仪，丫〃=0,点乂(*0,丫0-0£工则

法向量为：n=(Fx(x0,y0,z0,Fy(x0,y0,z0,Fz(x0,y0,z0,

切平面方程为：Fx(x0,y0,z0(x-x0+Fy(x0,y0,z0(y-y0+Fz(x0,y0,z

0(z-z0=0；

法线方程为：

G

x-xOy-yOz-z0

Fx(x0,y0,z0Fy(x0,y0,z0Fz(x0,y0,z0

b、若曲面工的方程为z=f(x,y,点M(x0,y0,z()£工则法向量为：n=(f

x(x0,y0,fy(x0,y0,-1,

切平面方程为：fx(xO,yO(x—xO+fy(xO,yO(y-yO-(z—z0=0；法线方程

为：

G

x-xOy-yOz-z0

fx(x0,y0fy(x0,y0-1

ffx(x,y=0

2、极值：1无条件：设z=f(x,y,由(解得驻点(x0,y0,

f(X,y0=ly

令A=fxx(x0,y0,B=fxy(x0,y0,C=fyy(x0,y0,然后利用A,B,C判定

极值与否：

AC-B2>0有极值，A>0极小，A<0极大；AC-B2<0无极值；AC-B2=0

用此法无法

判定.注意：最后必须求出极值.2)条件极值：z=f(x,y在条件

(|)(x,y=0下的极值：构造Lagrange函数，令

fLx(x,y=0I

L(x,y=f(x,y+X(|)(x,y,联立方程(Ly(x,y=0,其解(x(),y0为I怕，y

=ol

是否为极值点，一般可由问题的本身性质来判定.

3、方向导数与梯度：(以二元函数为例)1)、方向导数：设z=f(x,y可微

分，

dfG

e1=(cosa,cosp，则

51

=fx(x0,y0cosa+fy(x0,y0cosp

(x0,y0

2)梯度：gradf(x,y=(fx(x,y,fy(x,y,方向导数的最大值为梯度的模，

取得方向导数的最大值的方向为梯度的方向.

三、积分(一求法

1、重积分

I、

二重积分1二

fjf(x,ydG

D

fbdxy2(xf(x若D:(I

aWxWbI[X:上下]a、直角坐标：1=

0

f(x,ydxdy=I{JaJy,ydy,l(x

lyl(x<y<y2(x

D

lUd

c

dyJx2(y

xf(x,ydx,

若D:(I{cWyWdl(yIxx<x[Y：左右]

li(y<2(y

若D既不是X一型也不是丫一型，则适当分割之.

注意：通过二重积分，可交换二次积分的积分次序，这是一类常考的题型.

x=pcos0

b、极坐标：IZZZZZZYZZZZZly=psin0

do=pdpd0

XZJff(pcos0,psin0-pdpd0

D

ZZZZZZZZZD:(

\

a<0<pYZZZZZZZZlpl(0<p<p2(0

XZIpp2

(0

ad0fp(0f(pcos0,psin9pdp

1

II、

三重积分I二

DJf(x,y,zdv

a、直角坐标I=

Jflf(x,y,zdxdydz：

Q

1)投影法：

i)先一后二公式：IZZZZZZZZZZZZZZZZXYZZZZZZZZZZZZZZZZ

C={(x,y,z|zl(x,y<z<z2(x,y,(x,yeDxy

)

z2(x,y

DffdxdyJ

zf(x,y,zdz

l(x,y

xy

f

a<x<bQ:I

yl(x<y<y2(xii三次积分公式:IZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZIIz1

(x,y<z<z2(x,y

XZfbdx1y2(x

z2

(x,y

ay(xdyJz1

(x,yf(x,y,zdz

1

2)截面法：(先二后一公式)IZZZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZZZQ={(x,y,

z|c<z<d,(x,y£Dz}

XZ

J

d

c

dz[Jf(x,y,zdxdy

Dz

fl

x=pcos0

{y=psin0Ib、柱面坐标：IZZZZZZYZZZZZZI

z=zdv=pdpd0dz

XJJJf(pcos0,psin0,z-pdpdOdz

a<0<pQ:I

Ipl（6<p<p2（0ZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZIIz1

（P，0<Z<Z2（p,0

xz

Ip

,0

a

del

p2（0

pl（0

pdpj

z2（pz（pcos0,psin0,zdz

l（P，0

f

n

x=rsin（|）cos0

{y=rsin（j）sin。Ic、球面坐标:IZZZZZZZZYZZZZZZZ

z=rcos（|）dv=r2

sin（|）drd（|）d0

xzjff

f（rsin（|）cos0,rsin（|）sin0,rcos（|）•r2sin（|）drd（|）d0

a<9<Q:I

（J©1（0W㈣2（0ZZZZZZZZZXYZZZZZZZZIIr1

（60<r<r2（。,0

zzz

Ip

@2（0

a

dOj

M）d帆。,0

1（0

sinJ

r2r0

f（rsin（|）cos0,rsin（|）sin0,rcos0r2dr

2、曲线积分

I、第一类（对弧长）：

L:

x=x(ta>平面曲线：

J

ly=y(t

L

f(x,ydsZZZZZYZZZZZa<t<p

X

J/0)+}%),

IP

a

f[x(t,y(t](a<p

Cx=x(t

r：I

(y=y(tb、空间曲线：

I

II

z=z(tr

f(x,y,zdsZZZZZYZZZZZX

Jx'2(t]+v'2(t

p

a<t<p

Ja

f[x(t,y(t,z(t](a<p

H、第二类(对坐标)a、平面曲线：

I=JLP(x,ydx+Q(x,ydy

i参数法:IZZZZZZL:A

X=x(t

YZZZZZly=y(t

P

t由a变至U|3

XZJa{P[x(t,y(t]x"+Q[x(t,y(t]yf(t)dt

ii与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连续.

定理设函数P(x,y,Q(x,y在单连通区域D内处处具有连续的偏导数，则下

列命题相互等价：

(1)

P(x,ydx+Q(x,ydy在D内与路径无关;

(2)沿D内任意一条闭曲线C,

vj

C

P(x,ydx+Q(x,ydy=0；

(3)在D内恒有:

dPdQ

dy=

dx

;(4)P(x,ydx+Q(x,ydy在D内为某函数u(x,y的全微分，即存在函数

u(x,y,使得

P(x,ydx+Q(x,ydy=du(x,y.

这里u(x,y可由下列三种方法求得：①曲线积分法：u(x,y=

I

(x,y

(xx,ydx+Q(x,ydy+C；

0,y0

P(②凑全微分法：利用微分的运算法则，将P(x,ydx+Q(x,ydy凑成d

(",则u(x,y=("+C；③偏积分法：由du=Pdx+Qdy,得ux=P(x,y；

两边对x求偏积分可得u(x,y=P(x,ydx=f(x,y+C(y两边对y求偏导可得

uy=fy(x,y+C，(y,再由uy=Q(x,y,可解得C(y,从而得u(x,y.iii)

Green公式：

v!

P(x,ydx+Q(x,ydy=fj(

6QdP

-dxdy；不闭则补之.注意条件：L

D

dxdy

偏导数处处连续，L为D的正向边界.

iv)化为第一类：J

L

P(x,ydx+Q(x,ydy=JL

[P(x,ycosa+Q(x,ycos1]dsb、空间曲线：I=

J

r

P(x,y,zdx+Q(x,y,zdy+R(x,y,zdz

fr：I

X=x(t

{y=y(ti参数法:IZZZZZZYZZZZZII

z=z(tt由a变至！J0

xzfp

a

{P[x(t,y(t,z(t]xr(t+Q[x(t,y(t,z(t]yz(t+R[x(t,y(t,z(t]zr(t}

dt

ii*与路径无关：选取特殊的路径求之，注意条件：单连通，偏导数处处连

续.iiiStokes公式：

cosa

cospcosydydzdzdxdxdyvJ

r

Pdx+Qdy+Rdz=JJ

ddd

ddd

dxdydzdS=dxdydz；

或胫PQRPQR

不闭则补之.注意方向：L的方向与E的侧符合右手规则.iv化为第一类:

I

r

Pdx+Qdy+Rdz=Jf

(Pcosa+Qcosp+Rcosyds

3、曲面积分

I、第一类(对面积)：

+短+++++

fIJfDf[x,y,z(x,y]E:z=z(x,yI=fj

f(x,y,zdS=Ixy

I

{I0Df[x,y(z,x,z]Z:y=y(z,x

zxIIIfjDf[x(y,z,y,z]Z:x=x(y,zyz

II、第二类(对坐标)：1=

J/P(x,y,zdydz+Q(x,y,zdzdx+R(x,y,zdxdy

S

1)Gauss公式：

wJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJJ(

SP3x+8QdR

L

Q

dy+3z

dxdydz若不闭则补之.注意条件：偏导数处处连续及方向性：Z为Q的整个

边界曲面的外侧.2)投影法：注意垂直性.若不垂直，则

JJP(x,y,zdydzZ:x=x(y,ziJJP[x(y,z,y,z]dydz【前正后负】

Z

Dyz

JJQ(x,y,zdzdxS:y=y(z,x±0Q[X,y(Z,X,Z]dzdx【右正左负】

S

Dzx

0R(x,y,zdxdyE:z=z(x,y土JJR[x,y,z(x,y]dxdy[上正下负]

S

Dxy

3)化为第一类：

JfPdydz+Qdzdx+Rdxdy=J1(Pcosa+QcosP+RcosydS

Z

Z

4)化为单一型：JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(P

cosaL

L

cosy+Qcosp

cosy

+Rdxdy（二应用

1、面积：

平面A=JJdxdy；

D

曲面A=

KdS,A=E

Ddy

J1+4+zj

（DlJ

0

或）xyDyzDzx

2、体积：V=

IJJdv；V=JJf（x,yd。【曲顶柱体】

D

3、物理应用：质量、功、转动惯量、质心、引力、流量（通量）、环流量等

等【自学之】

设AG

=（P（x,y,z,Q（x,y,z,R（x,y,z,则散度divAG=3P5x+5Qdy+3R

dz

，GiG

jkG旋度rotAG=

ddd

dxdydzPQR

四、级数（一）常数项级数及其收敛性1、定义：Eun=loon收敛（发散）

今limsn存在（不存在）【部分和sn=ul+u2+n-8co8un】2、基本性质：

1）ooooZkun（k#0与Zun具有相同的收敛性；n=1n=1oon=12）gun与Z

vn都收敛=Z（un土vn收敛【口诀：收加收为收，收加发为发，发加发未必发】n

=ln=13）改变有限项的值不影响级数的收敛性4）收敛的级数可以任意加括号

5）若gun=1n—woon收敛，则limun=0；反之未必.n^cooo6）若limun#

0,贝UZun=ln发散3、特殊级数的收敛性【必须牢记之】：①调和级数£n发

散；n=l881②p一级数gnn=l1p（常数p〉0）：当p>l时收敛，当pWl

时发散；8③等比级数（几何级数）Iaqn=0n,当|q1时发散，当|q|<1时

收敛，且8gaqn=0n=a（|q]<1.1-q4>正项级数oogun=1oon,其中unN

0（n=1,2,：I、gun=ln收敛={sn}有界；IL比较：1）ungvn（n>N【大

的收，小的也收；小的发，大的也发】2）limun=1（0<1<+co【同敛散】n—><x>

vn11第11页共14页

III、比值（根值）lim：n—>ooun+1=p（limnun=p,当p<l时收敛；当

p>l（p=+8时发散；而当p=1时n—ooun用此法不能判定其收敛性.IV、极

限：limnun=1(0<1<+oo,当p>l时收敛；当pgl时发散.pn—00005、交

错级数Z(Tu(unn=lnn>0,n=1,2,：(un｝单调减少趋于零.6、一般项级数

Xun=loon=0oon(un为任意常数)：发散或收敛(绝对收敛，条件收敛)oo

(二)寨级数£axnn或2a(x-xn=0n0n：81、Abel定理：若基级数oogan

xn在当x=x0(x0#0时收敛，则ganxn当|x|<|x0|时必绝对收敛；反之，

n=0n=000n=0oo若ganxn当x=x0时发散，则ganxn当|x|>|xO|时必发散.

n=0p=0,(j+co,an+1I：2、收敛半径：1)若a”。【不缺项】p=lim(limn|

anI,R=ll/p,O<p<+00,n—>00an—>00nI0,p=+00；I2)若缺项：limn—>00

un+1(x=un(x<1,解得收敛区间.3、收敛域：先求收敛半径R,可得收敛区

间(-R,R,再讨论端点x=±R处的收敛性可得所求的收敛域4、幕级数和函数

的求法：先求收敛域，再利用幕级数的运算性质(加减乘除四则运算，逐项求导，

逐项积分，和函数的连续性)以及换元法，然后代已知的展开式，可得所求的和

函数.5、函数展开成幕级数f(x=ga(X-xn=0n0oon(x©I：1)直接展开

法：【利用Taylor展开定理】求导数得系数，写出泰勒级数，求其收敛域，最后

记得判定余项趋于零，便可得到所求的展开式.2)间接展开法：利用幕级数的运

算性质(加减乘除四则运算，逐项求导，逐项积分，和函数的连续性)以及换元

法，然后代已知的展开式，可得所求的展开式.注：以下7个常用的展开式必须

牢记：①e=xxnZn!(|x]<+00;n=000②sinx=g(-Inn=000x2n+1(|x|<+00

(2n+1!第12页共14页12

(3)cosx=Z(-Inn=000x2n(|x|<+00；(2n!(4)ool=^xn(|x|<l1-xn=00000

1@=E(-1nxn(Ix|<1;1+xn=0xn+1(6)ln(l+x=J；(-1(-1<x<1n+1n=0n

@(1+x=1+ax+aa(a-l22!x++a(a-l(a-n+1nn!x+a>0([-1,1]I(|x

|<1【a为常数，1=1(T,l]T<a<0]Ia<-l1(-1,1(三)傅里叶级数：

只复习T=2兀情形，一般周期T=21类似.an=1>系数：1兀lj7if(xcos

nxdx(n=0,1,2,-兀bn=f(xsinnxdx(n=1,2,兀1兀一兀2、收敛性：条件为在一个周

期上1)处处连续或只有有限个第一类间j断点；2)只有有限个极值点.f(x(a0

ooI3、和：+£(ancosnx+bnsinnx=1f(x++f(x-2n=lI(24、傅里叶级

数展开式：f(x=x为f(x的连续点x为f(x的间断点aOoo+Z(ancosnx+bnsin

nx,(xCC2n=lf(x++f(x-