2023-2024学年广东省惠州市惠东县数学九上期末经典模拟试题含解析

2023-2024学年广东省惠州市惠东县数学九上期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O上的两个点（CD两点分别在直径AB的两侧），连接BD，AD，AC，CD，若∠BAD=56°，则∠C的度数为（）A．56° B．55°C．35° D．34°2．二次函数y＝(x﹣4)2+2图象的顶点坐标是()A．(﹣4，2) B．(4，﹣2) C．(4，2) D．(﹣4，﹣2)3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）4．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（）A． B．C． D．5．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数解，则k的最小值为A． B． C． D．06．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为()A． B． C． D．7．观察下列四个图形，中心对称图形是（）A． B． C． D．8．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．9．下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视，它正在播广告B．抛掷一枚硬币，正面朝上C．打雷后会下雨D．367人中有至少两人的生日相同10．在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为()A． B． C． D．11．如图下列条件中不能判定的是（）A． B．C． D．12．把抛物线向下平移1个单位再向右平移一个单位所得到的的函数抛物线的解析式是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB=6，∠BDC=30°，则菱形的面积为．14．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．15．用一根长为31cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm1．16．已知方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=_________．17．关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是．18．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，为的直径，点为延长线上的一点，过点作的切线，切点为，过两点分别作的垂线，垂足分别为，连接．求证：（1）平分；（2）若，求的长．20．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积；（3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集．22．（10分）阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式x﹣3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线y1＝x﹣3与函数y2＝的图象（如图1），观察图象可知：它们交于点A（﹣1，﹣1），B（1，1）．当﹣1＜x＜0，或x＞1时，y1＞y2，即不等式x﹣3＞的解集为﹣1＜x＜0，或x＞1．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；x＞0时，原不等式转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，原不等式转化为______；（2）构造函数，画出图象：设y3＝x2+3x﹣1，y1＝，在同一坐标系（图2）中分别画出这两个函数的图象．（3）借助图象，写出解集：观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为______．23．（10分）某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时，为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如图的统计图表（不完整）．请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）表中的a＝_____，将频数分布直方图补全；（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．组别时间（小时）频数（人数）频率A0≤t＜0.5200.05B0.5≤t＜1a0.3Cl≤t＜1.51400.35D1.5≤t＜2800.2E2≤t＜2.5400.124．（10分）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A、B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止.（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.25．（12分）如图方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：(1)将△ABC向上平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；(2)写出A1，C1的坐标；(3)将△A1B1C1绕B1逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B1C2，求线段B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).26．某公司2019年10月份营业额为万元，12月份营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月平均增长率.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】利用直径所对的圆周角是可求得的度数，根据同弧所对的的圆周角相等可得∠C的度数.【详解】解：AB为⊙O的直径，点D为⊙O上的一个点故选：D【点睛】本题考查了圆周角的性质，熟练掌握圆周角的相关性质是解题的关键.2、C【分析】利用二次函数顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y＝(x﹣4)2+2，∴顶点坐标为(4，2)，故答案为C．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式,掌握顶点式各参数的含义是解答本题的关键.3、D【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.4、C【分析】设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．【详解】解：设调价百分率为x，则：故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．5、A【解析】∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解，∴可以理解为y=ax2+bx和y=−k有交点，由图可得，−k≤4，∴k≥−4，∴k的最小值为−4.故选A.6、B【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．【详解】如图，连接CN．在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝3，∵CM＝MB＝BC＝，∵A1N＝NB1，∴CN＝A1B1＝，∵MN≥CN−CM，∴MN≥，即MN≥，∴MN的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7、C【分析】根据中心对称图形的定义即可判断.【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形.8、C【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值.【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴k=﹣×（-）=，故选C．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.9、D【解析】分析：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此解答即可.详解：A.打开电视，它正在播广告是随机事件；B.抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；C.打雷后下雨是随机事件；D.∵一年有365天，∴367人中有至少两个人的生日相同是必然事件.故选D.点睛：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10、A【分析】根据题意可知，此题是不放回实验，一共有12×11=132种情况，两人的血型均为O型的有两种可能性，从而可以求得相应的概率．【详解】解：由题意可得，P(A)=，故选A.【点睛】本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．11、C【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．【详解】A.，可以判定，不符合题意；B.，可以判定，不符合题意；C.不是对应边成比例，且不是相应的夹角，不能判定，符合题意；D.即且，可以判定，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．12、B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：抛物线向下平移1个单位，得：，再向右平移1个单位，得：，即：，故选B.【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．二、填空题（每题4分，共24分）13、18【详解】∵ABCD是菱形，两条对角线相交于点O，AB=6∴CD=AB=6，AC⊥BD，且OA=OC，OB=OD在Rt△COD中，∵CD=6，∠BDC=30°∴∴∴14、25【详解】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=nπ×4180∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圆锥侧面展开图中BD=20=2∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．故答案为：25．15、2．【解析】试题解析：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16-x）cm．则矩形的面积S=x（16-x），即S=-x1+16x，当x=-时，S有最大值是：2．考点：二次函数的最值．16、1．【解析】试题解析：∵方程的两根为故答案为1.点睛：一元二次方程的两个根分别为17、a＞1．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜1，解得：a＞1，故答案为a＞1．考点：根的判别式．18、．【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S△OAC＝，S△OBD＝，再证明Rt△AOC∽Rt△OBD，然后利用相似三角形的性质得到的值．【详解】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，∴S△OAC＝×1＝，S△OBD＝×|﹣5|＝，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠DBO，∴Rt△AOC∽Rt△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝．∴＝．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM=∠AMO，由OA=OM可得∠OAM=∠AMO，从而可得出结果；（2）先求出∠MOP的度数，OB的长度，则用弧长公式可求出的长．【详解】解：（1）连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM=∠AMO，∵OA=OM，∠OAM=∠AMO，∴∠CAM=∠OAM，即AM平分∠CAB；（2）∵∠APE=30°，∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°，∵AB=4，∴OB=2，∴的长为．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，弧长的计算，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．20、(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).【解析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【详解】(1)∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为：R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案为：.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.21、（1））；（2）的面积为1；（3）或．【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；（2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；（3）根据图象即可求得．【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上，∴，∴，∵点，∴设直线AB的解析式为，∵直线AB过点，∴，解得，∴直线AB的解析式为；（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为，∴，∴，联立，解得或，∴，，连接AC，则的面积，由平行线间的距离处处相等可得与面积相等，∴的面积为1．（3）∵，，∴不等式的解集是：或．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22、（2）x2+3x﹣2＜；（2）画图见解析；（3）﹣3＜x＜﹣2或x＞2．【分析】（2）根据不等式的基本性质，不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向发生改变，先在不等式的两边同时除以x，在移项即可；（2）根据列表，描点，连线的步骤画出y3＝x2+3x﹣2与y2＝的图象即可；（3）观察函数图象即可确定交点坐标，再根据（2）中的变形观察图象即可．【详解】（2）由题意得：当x＜0时，x2+3x﹣2－＜0，∴x2+3x﹣2＜故答案为：x2+3x﹣2＜；（2）列表：x-2-3-2-2.5-202y3＝x2+3x﹣23-2-3-3.25-3-23x-3-2-2223y2＝-2-2.5-332.52描点、连线，画出y3＝x2+3x﹣2与y2＝的图象如图所示：（3）由（2）可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0当x＞0时，可转化为x2+3x﹣2＞；当x＜0时，可转化为x2+3x﹣2＜，由图象可得：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为：﹣3＜x＜﹣2或x＞2；故答案为：﹣3＜x＜﹣2或x＞2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、反比例函数的图象和性质，此类题目通常通过画出函数图象，通过图象的性质求解．23、（1）120，补图见解析；（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有2800名；（3）．【分析】（1）根据A组的频数与频