概率论及数理统计课件

邊緣分佈1.二維離散型隨機向量的邊緣分佈2.二維連續型隨機向量的邊緣分佈邊緣分佈marginaldistribution

二維隨機變數,是兩個隨機變數視為一個整體，來討論其取值規律的，我們可用分佈函數來描述其取值規律。

問題：能否由二維隨機變數的分佈來確定兩個一維隨機變數的取值規律呢？如何確定呢？——邊緣分佈問題定義2.5.5邊緣分佈marginaldistribution

設二維隨機變數的分佈函數為，依次稱為二維隨機變數關於和關於的邊緣分佈函數．二維離散型R.v.的邊緣分佈如果二維離散型隨機變數（X,Y）的聯合分佈律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p21p22p23…x3p31p32p33………………二維離散型R.v.的邊緣分佈關於X的邊緣分佈關於Y的邊緣分佈YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二維離散型R.v.的邊緣分佈關於X的邊緣分佈關於Y的邊緣分佈第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二維離散型R.v.的邊緣分佈例1

設二維離散型隨機變數（X,Y）的聯合分佈律為YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關於X、Y的邊緣分佈關於Y的邊緣分佈Y011/3概率7/121/31/12解關於X的邊緣分佈為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯合分佈列二維離散型R.v.的邊緣分佈例2

設二維離散型隨機變數（X,Y）的聯合分佈律為YX011/3-11/121/41/1201/121/12025/1200求關於X、Y的邊緣分佈關於Y的邊緣分佈Y011/3概率7/121/31/12解關於X的邊緣分佈為X-102概率5/121/65/12YX011/3-11/121/41/1201/121/12025/1200（X，Y）的聯合分佈列不同的聯合分佈，可有相同的邊緣分佈例2.5.4設一袋中有5個球,有兩個球上標有數字1,3個球上標有數字0,現從中(1)有放回摸兩個球;(2)無放回摸兩個球,並以X表示第一次摸得的球上標有的數字,以Y表示第二次摸到的球上標有的數字,求(X,Y)的分佈列及其兩個邊緣分佈列.二維連續型隨機變數的邊緣分佈

關於X的邊緣概率密度為關於Y的邊緣概率密度為的邊緣分佈函數為關於的邊緣分佈函數為關於解:由由如果二維隨機變數（X，Y）服從正態分佈則兩個邊緣分佈分別服從正態分佈與相關係數無關可見，聯合分佈可以確定邊緣分佈，但邊緣分佈不能確定聯合分佈概率空間的測度存在。其中為樣本空間，為代數（完全可加性）概率在此公理化定義下，有如下運算性質性質1——性質2——（有限可加性）設A1，A2，...，An兩兩互斥，則性質3——若，則一般地，只有性質4——（加法定理）概率在此公理化定義下，有如下運算性質推廣——（挖補定理）性質5——性質6——性質7——（7）推論（半有限可加性）（8）約旦公式（jordan公式）（9）（10）半完全可加性因為（因為）因為從而得所以存在，且因為故存在由（5）得定義1.4.3設為可測空間，為定義於上的實值集合函數，如果滿足下列條件：幾何概型

GeometricProbability

將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中

幾何度量--------指長度、面積或體積

特點

有一個可度量的幾何圖形S試驗E看成在S中隨機地投擲一點

一個質地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0,5)上諸數字，在桌面上旋轉它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位於區間[2,3]上的概率。=[2,3]=5-0=5=3-2=1幾何概型的計算

甲乙二人相約定6：00-6：30在預定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘後，方可離開。求甲乙二人能會面的概率，假定他們在6：00-6：30內的任意時刻到達預定地點的機會是等可能的。幾何概型的計算：會面問題

解設甲乙二人到達預定地點的時刻分別為x及y（分鐘）,則二人會面30301010yx幾何概型的計算：蒲豐投針問題

設平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質地勻稱的長為2l（l<a）的針，求針與直線相交的概率。θd2al解設針的中點離較近直線的距離為d，針與較近直線的交角為θ。則d與θ的可取值為0<d<a,0<θ<π所求概率為針與直線相交0<d<lsinθ

daθπ蒲豐投針試驗的應用及意義

幾何概型性質（1）（2）思考題2，一個圓的所有內接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？ABCOr解以A為起點，逆時針方向為正，

B至A的曲線距離為x，C至A的曲線距離為y，則∆ABC為銳角三角形或思考題2，一個圓的所有內接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？∆ABC為銳角三角形或解……..所求概率為隨機事件的頻率FrequencyA=“出現正面”隨機試驗拋擲一枚均勻的硬幣試驗總次數n

將硬幣拋擲n次隨機事件事件A出現次數m出現正面m次隨機事件的頻率頻率的穩定性與統計概率德.摩根試驗者拋擲次數n出現正面的次數m出現正面的頻率m/n204810610.518蒲豐404020480.5069

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005維尼0.49981499430000

拋擲硬幣的試驗Experimentoftossingcoin歷史紀錄程式模擬拋擲硬幣模擬試驗

隨機事件A在相同條件下重複多次時，事件A發生的頻率在一個固定的數值p附近擺動，隨試驗次數的增加更加明顯頻率和概率

頻率的穩定性

事件的概率

事件A的頻率穩定在數值p，說明了數值p可以用來刻劃事件Ａ發生可能性大小，可以規定為事件A的概率

對任意事件Ａ，在相同的條件下重複進行n次試驗，事件Ａ發生的頻率m/n，隨著試驗次數n的增大而穩定地在某個常數附近擺動那麼稱p為事件Ａ的概率

概率的統計定義

當試驗次數足夠大時，可以用事件A發生的頻率近似的代替事件A的概率

再分析一個例子，為檢查某種小麥的發芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發芽試驗，其結果如表1-2：發芽率發芽粒數種子粒數2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

從表1-2可看出，發芽率在0.9附近擺動，隨著n的增大，將逐漸穩定在0.9這個數值上.

概率的統計定義頻率穩定於概率性質（1）（2）

離散型隨機變數及其分佈

2.2.1、離散型隨機變數與分佈列2.2.1、離散型隨機變數與分佈列

滿足的兩個條件：

分佈函數的另一種運算式則有幾種常見的離散型分佈0-1分佈(二點分佈)單點分佈（退化分佈）均勻分佈二項分佈(BinomialDistribution)泊松分佈(PoissonDistribution)幾何分佈超幾何分佈帕斯卡分佈、負二項分佈01x

幾種常見的離散型隨機變數的例子

1、退化分佈

若隨機變數的分佈列為則稱服從退化分佈。

2、兩點分佈

若隨機變數的分佈列為則稱服從兩點分佈（其中）。當時的情形：01x兩點分佈概率品質分佈圖0.80.2兩點分佈概率函數圖(3)幾何分佈記為定理2.2.1(2)與(3)均稱為幾何分佈的無記憶性.

從一批次品率為p的產品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時，已抽取的次數X的分佈律。解記Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…

則Ai

(

i=1,2,3,…)相互獨立,且X的所有可能取值為1，2，3，…,k,…{X=k}對應著事件

例

二項分佈的性質：1、對於固定的和，取的概率隨著的增大開始增大，直至達到最大值，然後再下降；2、對於固定的，隨著的增大，的圖形趨於對稱。

記二項分佈的通項（第項）為：則前一項（即第項）為：則有：（1）當時，（2）當時，兩項同時達最大。隨增加。（3）當時，隨減少。

稱為最可能出現的次數，稱為的中心項。

（4）當非整數時，則滿足的正整數，使為最大值。定理2.2.2

例5（能量供應問題）設有9個工人間歇地使用電力，在任何時刻每一個人以同樣的概率0.2需要一個單位的電力（即在1個小時中平均有12分鐘需要電力），若各工人相互獨立地工作，問在同一時刻有七個或七個以上的工人需要得到一個單位電力供應的概率是多少？求最大可能有多少個工人同時需要電力供應？1，2解:例2.2.19個人同時向一目標各打一槍,如果每個人射擊是相互獨立的且每人射擊一次擊中的概率均為0.3,求有兩人以上擊中目標的概率以及最可能擊中目標的人數.又由中心項定理知最可能擊中目標人數為3或2.

泊松分佈（）

若隨機變數的分佈列為：則稱服從參數為的泊松分佈，記做。

顯然，泊松分佈滿足：

（1）（2）01234560.03020.10570.18500.21580.18880.13220.0771例1泊松分佈舉例（）0123456泊松分佈的品質圖x0123456泊松分佈的概率函數圖

0.0302

0.10570.18500.21580.18880.13220.0771x體積相對小的物質在較大的空間內的稀疏分佈，都可以看作泊松分佈,其參數

可以由觀測值的平均值求出。描繪大量試驗中稀有事件出現的頻數的概率分佈；顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數目；單位體積空氣中含有某種微粒的數目背景1、它們都取正整數為值，並且與時間間隔有關；

2、在任給一段時間間隔內，

（1）由某塊放射性物質放射出的質點，到達某個計數器的質點數；

（2）從一個真空管的陰極發射出的電子，到達陽極的電子數；

（3）來到某公共設施要求給予服務的顧客數；

（4）事故、故障、火災、地震及其他災害性事件數。

特點：2、它們取值的概率，只與時間間隔的長度有關，而與從哪個時刻開始沒有關係；3、在不相重疊的時間間隔內，彼此沒有什麼影響。

說明：在歷史上，泊松分佈是作為二項分佈的近似分佈提出的，但是在許多問題中，某些隨機變數確實就服從泊松分佈。泊松定理

在實際應用中：當n≥100，np≤10時，可用泊松公式近似替換二項概率公式，且有較好的近似效果。二項分佈的泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution

某人騎摩托車上街,出事故率為0.02，獨立重複上街400次，求出事故至少兩次的概率.400次上街400重Bernoulii實驗記X為出事故的次數，則≈1-e-8-8e-8≈0.9972

P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)

結果表明，隨著實驗次數的增多，小概率事件總會發生的！=1-0.98

400-400（0.02)(0.98

399)≈0.9970

泊松定理例

解若某人做某事的成功率為1%，他重複努力400次，則至少成功一次的概率為成功次數服從二項概率人生啟發:有百分之一的希望，就要做百分之百的努力

連續型隨機變數及其分佈

連續型隨機變數的定義

密度函數的性質

（1）（2）

特別說明：對於連續型隨機變數1.有。2.。3.概率為0的事件不一定是不可能事件。同樣，概率為1的事件也不一定是必然事件。4.連續型分佈函數一定是連續的函數,但是連續的分佈函數不一定是連續型分佈函數.1.（均勻分佈）若隨機變數的密度函數為則稱服從在上的均勻分佈。

易知，均勻分佈的密度函數滿足性質。1.。2.。記作常見的連續型隨機變數

均勻分佈的密度函數圖形如圖所示。均勻分佈的分佈函數0abxF(x)1102電車每5分鐘發一班，在任一時刻

某一乘客到了車站。求乘客候車時間不超過2分鐘的概率。設候車時間為X，則X服從（0，5）上的均勻分佈解例幾何概型（一維）即所以思考設ξ在[-1，5]上服從均勻分佈，求方程有實根的概率。解方程有實數根即而的密度函數為所求概率為正態分佈的背景測量的誤差，炮彈的落點，人的身高體重，產品的長度寬度高度等都服從或近似服從正態分佈。特點：如果影響某一數量指標的因素很多，且每個因素相互獨立以及所起的作用都很小，則這個數量指標就服從或近似服從正態分佈若隨機變數的密度函數為則稱服從參數為正態分佈，簡稱服從正態分佈,記作。

性質2.正態分佈的密度函數與分佈函數隨機變數的分佈函數為

若，其密度曲線具有如下性質：xyo1.曲線關於對稱。2.是函數唯一的極值點，在此處函數取得最大值。函數在有拐點3.對於固定的值，值越小，曲線越陡峭；值越大，曲線越平坦。

（標準正態分佈）若隨機變數的密度函數為則稱服從標準正態分佈，簡稱服從正態，記作。

顯然有：

標準正態分佈的密度函數的圖形如下:99.7%68.3%95.4%標準正態分佈的分佈函數標準正態分佈的分佈函數的性質標準正態分佈的分佈函數一般正態分佈的分佈函數的性質(1)(2)(3)(1)

X的取值幾乎都落入以

為中心，以3為半徑的區間內。這是因為：0.9974F(x)3

準則是小概率事件標準正態分佈的概率計算分佈函數X-x分佈函數的性質

標準正態分佈的計算

若，則

例2設，試計算:

例3設，試計算:

顯然，

對於任給的實數，都有

例4設，計算

例5如果公共汽車車門的高度按男子碰頭率在1％以下設計，而成年男子的身高服從正態分佈

（cm），那麼公共汽車車門的高度應是多少？分佈函數的性質正態分佈的實際應用已知90分以上的12人，60分以下的83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績為78分，問此人能否被錄取？

某單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報名，假設報名者的考試成績分析首先求出和然後根據錄取率或者分數線確定能否被錄取解因為成績X服從錄取率為可得得查表得解

查表得………..解得故設錄取的最低分為則應有某人78分，可被錄取。

事件的獨立性

解一、二個事件的獨立性引例一個盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。例A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}則Ｐ(ＡＢ）＝P(A)Ｐ(Ｂ)稱Ａ與Ｂ相互獨立．二個事件的獨立性

independence定義性質1必然事件，不可能事件都與任何事件獨立性質2事件的獨立性判別

如甲乙兩人射擊，“甲擊中”與“乙擊中”可以認為相互之間沒有影響，即可以認為相互獨立實際問題中，事件的獨立性可根據問題的實際意義來判斷性質3下列四組事件，有相同的獨立性：

證明若A、B獨立，則所以，獨立。性質4注意二個事件概率乘積大於0時(1)如果二個事件相互獨立,則一定不互斥(2)如果二個事件互斥,則一定不相互獨立例如一個家庭中有若干個小孩，假設生男生女是等可能的，令A={一個家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}，對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：（1）家庭中有兩個小孩；（2）家庭中有三個小孩。解情形（1）的樣本空間為Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}此種情形下，事件A、B是不獨立的。例如一個家庭中有若干個小孩，假設生男生女是等可能的，令A={一個家庭中有男孩、又有女孩}，B={一個家庭中最多有一個女孩}，對下列兩種情形，討論A與B的獨立性：（1）家庭中有兩個小孩；（2）家庭中有三個小孩。解情形（2）的樣本空間為Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男）（男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}此種情形下，事件A、B是獨立的。直覺未必可信必須深入研究概念辨析事件Ａ與事件Ｂ獨立事件Ａ與事件Ｂ互不相容事件Ａ與事件Ｂ為對立事件例甲乙二人向同一目標射擊，甲擊中目標的概率為0.6，乙擊中目標的概率為0.5。試計算1）兩人都擊中目標的概率；2）恰有一人擊中目標的概率；3）目標被擊中的概率。解設A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”則如果事件A，B，C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A，B，C相互獨立。注意事件A，B，C相互獨立與事件A，B，C兩兩獨立不同，兩兩獨立是指上述式子中前三個式子成立。因此，相互獨立一定兩兩獨立，但反之不一定。 有限多個事件的獨立性

例設同時拋擲兩個均勻的正四面體一次，每一個四面體標有號碼1，2，3，4。令A={第一個四面體的觸地面為偶數}B={第二個四面體的觸地面為奇數}C={兩個四面體的觸地面同時為奇數，或者同時為偶數}試討論A、B、C的相互獨立性。A={第一個…為偶數}；B={第二個…為奇數}C={兩個…同時為奇數，或者同時為偶數}解試驗的樣本空間為所以，A、B、C兩兩獨立，但總起來講不獨立。定義共有（2n-n-1）個等式定理1.6.1定理1.6.2定義1.6.3對滿足相互獨立的多個事件，有1.6.3獨立事件的應用

例

加工某一種零件需要經過三道工序，設三道工序的次品率分別為2%，1%，5%，假設各道工序是互不影響的．求加工出來的零件的次品率．解

設Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示第一、第二、第三道工序出現次品，則依題意：Ａ1,Ａ2,Ａ3

相互獨立，且

Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%

又設Ａ表示加工出來的零件是次品,則

A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3

另解（用對立事件的概率關係）

＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)

＝0.0783好！……例1.6.6系統MN如圖所示：如果每個元件通達的概率均為p，且每個元件是否通達是相互獨立的，求系統MN通達的概率。MN12345解例1.6.8（Borel-CantelliLemma）

將試驗E重複進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.

設隨機試驗E只有兩種可能的結果:A及,且P(A)=p,在相同的條件下將E重複進行n次獨立試驗,則稱這一串試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoullitrials).貝努利試驗(重複獨立試驗）Bernoullitrials

相互獨立的試驗

貝努利試驗例一批產品的次品率為5%，從中每次任取一個，檢驗後放回，再取一個，連取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．設Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａi={第i次抽樣抽到次品}解因為Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4

相互獨立，所以

四次抽樣中恰好有兩次取到次品的情況有如下6種情形：

貝努利定理

設在一次試驗中事件Ａ發生的概率為p(0<p<1)，則Ａ在n次貝努裏試驗中恰好發生k次的概率為(k＝0，1，2，...，n)其中

定理二項概率例有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現每穴種4粒種子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；

(2)求至少有兩粒出苗的概率．

(1)該試驗為4重貝努利試驗解(2)設Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,則例一批種子的發芽率為80%，試問每穴至少播種幾粒種子，才能保證99%以上的穴不空苗。分析：“穴不空苗”即“至少有一顆種子發芽”解假設播n顆種子，則依題意可得可解得即所以，每個穴中宜種3顆種子。例設某電子元件的使用壽命在1000小時以上的概率為0.2，當三個電子元件相互獨立使用時，求在使用了1000小時的時候，最多只有一個損壞的概率。解設A表示“元件使用1000小時不壞”，則設B表示“三個元件中至多一個損壞”，則

事件的概率及其計算

有限性（基本事件總數有限）

每次試驗中，每一種可能結果的發生的可能性相同，即其中,.古典概率模型

每次試驗中，所有可能發生的結果只有有限個，即樣本空間Ω是個有限集

等可能性（每個基本事件等可能出現）定義1.3.1

設試驗結果共有n個基本事件ω1，ω2，...，ωn

，而且這些事件的發生具有相同的可能性古典概型的概率計算

確定試驗的樣本點數事件Ａ由其中的r個基本事件組成

確定事件A包含的樣本點數

拋擲一顆勻質骰子,觀察出現的點數,求“出現的點數是不小於3的偶數”的概率．Ａ=“出現的點數是不小於3的偶數”古典概率的計算：拋擲骰子事件A試驗拋擲一顆勻質骰子,觀察出現的點數樣本空間={4，6}Ω

={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率

設在100件產品中，有4件次品，其餘均為正品．古典概率的計算：正品率和次品率n＝100這批產品的次品率任取3件，全是正品的概率任取3件，剛好兩件正品的概率mA＝4

古典概率的計算：有放回抽樣和無放回抽樣

設在10件產品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”

第一次抽取後，產品放回去

第一次抽取後，產品不放回去

古典概率的計算：摸球問題例1.3.2設一袋中有85個白球，8個黑球，接連無放回的從袋中摸取3個球，求下列事件的概率：（1)A=“摸得的3個球依次為黑白黑”(2)B=“摸得的3個球都是黑球”(3)C=“摸得的3個球有2個黑球”思路：排列組合知識和古典概型知識解法一解法二解法一解法二例1.3.3一袋中有M個黑球與N個白球，現有放回從袋中摸球，求下列事件的概率;（1)A=“在n次摸球中有k次摸得黑球”(2)B=“第k次摸球首先摸得黑球”(3)C=“第r次摸球得黑球是在第k次摸球時實現”解古典概率的計算：投球入盒

把3個小球隨機地投入5個盒內。設球與盒都是可識別的。A=“指定的三個盒內各有一球B=“存在三個盒，其中各有一球abcde

古典概率的計算：生日問題某班有50個學生，求他們的生日各不相同的概率（設一年365天）分析此問題可以用投球入盒模型來模擬50個學生365天50個小球365個盒子相似地有分房問題房子盒子人小球生日問題模型某班有n個學生，設一年N天,則他們的生日各不相同的概率為至少有兩人生日相同的概率為N1020233040500.120.410.510.710.890.97

可能嗎？

沒問題！

古典概率的計算：抽籤10個學生，以抽籤的方式分配3張音樂會入場券，抽取10張外觀相同的紙簽，其中3張代表入場券.求A={第五個抽籤的學生抽到入場券}的概率。基本事件總數有利事件總數第五個學生抽到入場券另外9個學生抽取剩下9張

＝0.192

古典概率的計算：數字排列用1，2，3，4，5這五個數字構成三位數

沒有相同數字的三位數的概率

沒有相同數字的三位偶數的概率個位百位十位匹配問題

某人寫了4封信和4個信封，現隨機地將信裝入信封中，求全部裝對的概率。解設“全部裝對”為事件A總的基本事件數為4！A所包含的基本事件數為1所以

概率的古典定義性質（1）（2）推論1.3.1

一樓房共14層，假設電梯在一樓啟動時有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的。試求下列事件的概率：A1={10個人在同一層下}；A2={10人在不同的樓層下}；A3={10人都在第14層下}；A4={10人恰有4人在第8層下}。練一練總的基本事件數：各事件含有的基本事件數分別為：A1A2A3A41解所以，各事件的概率為：………..思考題1、從五雙大小型號不同的鞋子中任意抽取四只，問能湊成兩雙的概率是多少？總的基本事件數：有利事件數：解設“能湊成兩雙鞋”為事件A所以，所求概率為3，擲兩顆骰子，求事件“至少有一顆出現6點”，“點數之和為8”的概率。解總的基本事件數為事件A“至少出現一個6點”所包含的基本事件數為事件B“點數之和為8”所包含的樣本點為所以4，包括甲，乙在內的10個人隨機地排成一行，求甲與乙相鄰的概率。若這10個人隨機地排成一圈，又如何呢？解總的基本事件數為排成行時，事件“甲乙相鄰”的基本事件數為排成圈時，事件“甲乙相鄰”的基本事件數為所求概率為

事件之間的關係與運算（續）

1.2.2事件序列的極限證明思路：二個集合相等等價於二個集合互相包含推論1.2.1推論1.2.2推論1.2.3德摩根對偶定律證明（1）由德摩根對偶定律得同理可證（2）證明

隨機變數的條件分佈1.離散型隨機變數的條件分佈2.連續型隨機變數的條件分佈問題一、離散型隨機變數的條件分佈

定義2.6.4例1解由上述分佈律的表格可得定義2.6.5(條件密度函數和條件分佈函數)三、連續型隨機變數的條件分佈答請同學們思考說明聯合分佈、邊緣分佈、條件分佈的關係如下聯合分佈條件分佈函數與條件密度函數的關係邊緣分佈條件分佈聯合分佈解:先求邊緣密度函數,再求條件密度函數所以解例3又知邊緣概率密度為

1.博雷爾(Borel)代數的定義2.隨機變數的定義3.分佈函數的定義

隨機變數及其分佈函數

§2.1隨機變數及其分佈函數2.1.1.博雷爾(Borel)代數引理2.1.1一維博雷爾點集n維博雷爾點集2.1.2隨機變數基本思想將樣本空間數量化,即用數值來表示試驗的結果

有些隨機試驗的結果可直接用數值來表示.例如:在擲骰子試驗中,結果可用1,2,3,4,5,6來表示

例如:擲硬幣試驗,其結果是用漢字“正面”和“反面”來表示的可規定:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”RandomVariable

有些隨機試驗的結果不是用數量來表示，但可數量化

引例1拋擲一枚均勻的硬幣，觀察其出現正反面的情況，試寫出其樣本空間。

解：，其中表示出現正面，表示出現反面。

定義：（1）特點：1、定義域，值域。2、。2.1.2隨機變數的定義

例2從編號為的十個球中任意選取一個，觀察取到哪一個球，試寫出樣本空間。解：{取到第號球；}定義:意味著事件“取到第

號球發生”。（1）定義域為，值域為。

（2）。例

設箱中有10個球，其中有2個紅球，8個白球；從中任意抽取2個,觀察抽球結果。取球結果為:兩個白球;兩個紅球;一紅一白

特點：試驗結果數量化了，試驗結果與數建立了對應關係如果用X表示取得的紅球數，則X的取值可為0，1，2。此時，“兩只紅球”=“X取值2”,可記為{X=2}

“一紅一白”記為

{X=1},“兩只白球”記為{X=0}試驗結果的數量化

由定義可知隨機變數是一個函數，但是與普通函數的區別在於：

1.隨機變數是一個定義在抽象空間（事件域）上的函數。(2.1.1)注意4因為與因為推論概率測度與概率分佈2.1.3分佈函數的定義分佈函數的性質利用分佈函數表達概率(1)(2)(3)(4)(5)(6)解利用分佈函數的定義求分佈函數為分佈函數圖形為011/5xF(x)231/21解:分佈函數圖形011xF(x)隨機變數的類型

離散型

非離散型隨機變數的所有取值是有限個或可列個隨即變數的取值有無窮多個，且不可列其中連續型隨機變數是一種重要類型

隨機事件

1654年,一個名叫梅累的法國狂熱賭徒兼騎士就“兩個賭徒約定賭若干局,且誰先贏

c局便算贏家,若在一賭徒勝

a局

(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時便終止賭博,問應如何分賭本”

為題求教於帕斯卡,帕斯卡與費馬通信討論這一問題,於1654年共同建立了概率論的第一個基本概念數學期望.一、概率論的誕生及應用1.概率論的誕生而在三年後，即1657年，荷蘭的另一數學家惠根斯［1629-1695］亦用自己的方法解決了這一問題，更寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的論著，他們三人提出的解法中，都首先涉及了數學期望［mathematicalexpectation］這一概念，並由此奠定了古典概率論的基礎。

使概率論成為數學一個分支的另一奠基人是瑞士數學家雅各布-伯努利［1654-1705］。他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理，我們稱為“伯努利大數定理”，即“在多次重複試驗中，頻率有越趨穩定的趨勢”。這一定理更在他死後，即1713年，發表在他的遺著《猜度術》中。

到了1730年，法國數學家棣莫弗出版其著作《分析雜論》，當中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定理”。這就是概率論中第二個基本極限定理的原始初形。而接著拉普拉斯在1812年出版的《概率的分析理論》中，首先明確地對概率作了古典的定義。另外，他又和數個數學家建立了關於“正態分佈”及“最小二乘法”的理論。另一在概率論發展史上的代表人物是法國的泊松。他推廣了伯努利形式下的大數定律，研究得出了一種新的分佈，就是泊松分佈。概率論繼他們之後，其中心研究課題則集中在推廣和改進伯努利大數定律及中心極限定理。

概率論發展到1901年，中心極限定理終於被嚴格的證明了，及後數學家正利用這一定理第一次科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從以正態分佈。到了20世紀的30年代，人們開始研究隨機過程，而著名的馬爾可夫過程的理論在1931年才被奠定其地位。而蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫在概率論發展史上亦作出了重大貢獻，到了近代，出現了理論概率及應用概率的分支，及將概率論應用到不同範疇，從而開展了不同學科。因此，現代概率論已經成為一個非常龐大的數學分支。2.概率論的應用

概率論是數學的一個分支,它研究隨機現象的數量規律.概率論的廣泛應用幾乎遍及所有的科學領域,例如天氣預報,地震預報,產品的抽樣調查;在通訊工程中可用以提高信號的抗干擾性,解析度等等.概率論第一章隨機事件及其概率18學時第二章隨機變數及其分佈18學時第三章隨機變數的數字特徵8學時第四章特徵函數與概率母函數12學時第五章極限定理12學時復習課4學時隨機事件及其概率第一章

隨機事件事件之間的關係與運算事件的概率及其計算概率空間條件概率事件的獨立性概率計算雜例確定性現象Certaintyphenomena

在101325Ｐa的大氣壓下，將純淨水加熱到

100℃時必然沸騰

垂直上拋一重物，該重物會垂直下落

隨機現象Randomphenomena擲一顆骰子，可能出現1，2，3，4，5，6點拋擲一枚均勻的硬幣，會出現正面向上、反面向上兩種不同的結果什麼是概率論概率論就是研究隨機現象的統計規律性的數學學科隨機試驗

randomExperiments

可重複性：試驗在相同的條件下可重複進行

可觀察性：每次試驗的結果具有多種可能性，而且在試驗之前可以確定試驗的所有可能結果

不確定性：每次試驗前不能準確預言試驗後會出現哪一種結果．上拋一枚勻質硬幣在一條生產線上，檢測產品的合格情況向一目標射擊實例

在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重複試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件(randomEvents)，簡稱為事件（Events)．隨機事件通常用大寫英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例如：

在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一個隨機事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示．擲骰子，“出現偶數點”是一個隨機事件，試驗結果為2，4或6點，都導致“出現偶數點”發生。隨機事件

randomEvents

基本事件與樣本空間僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件．樣本點SamplePoint

樣本空間SampleSpace

基本事件

隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作．

全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即含有多個樣本點的隨機事件稱為複合事件．Ω={ｔ|0≤ｔ≤T}

E4:在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E2:射手向一目標射擊，直到擊中目標為止E3:從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張。E1:擲一顆勻質骰子，觀察骰子出現的點數Ω={1,2,…}Ω={(J,Q),…(Q,A)}Ω={1，2，3，4，5，6}寫出下列試驗的樣本空間點數：一維離散型隨機變數射擊次數：一維離散型隨機變數壽命：一維連續型隨機變數二維離散型隨機變數樣本空間的二個特性1.無重複性2.無遺漏性

在隨機試驗中，隨機事件一般是由若干個基本事件組成的．

A=｛出現奇數點｝是由三個基本事件“出現1點”、“出現3點”、“出現5點”組合而成的隨機事件．樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機事件

隨機事件（RandomEvents)

例如，拋擲一顆骰子，觀察出現的點數，那麼“出現1點”、“出現2點”、...、“出現6點”為該試驗的基本事件．屬於事件A的樣本點出現，則稱事件A發生。特例—必然事件CertaintyEvents必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集Ω也是一個“隨機”事件每次試驗中必定有Ω中的一個樣本點出現必然發生

“拋擲一顆骰子，出現的點數不超過6”為必然事件。例——記作Ω特例—不可能事件ImpossibleEvent空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點不可能事件Φ也是一個特殊的“隨機”事件不可能發生

“拋擲一顆骰子，出現的點數大於6”是不可能事件例——記作Φ隨機試驗：拋擲硬幣Tossingacoin

擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現正面或反面的情況試驗的樣本點和基本事件隨機試驗樣本空間

H：“正面向上”

T：“反面向上”Ω={H，T}．

試驗：擲一枚硬幣三次，觀察它出現正面或反面的情況

隨機事件Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}A=“正面出現兩次”={HHT,HTH,THH}B=“反面出現三次”={TTT}C=“正反次數相等”=ΦD=“正反次數不等”=Ω隨機試驗：拋擲兩顆勻質骰子Rollingtwodie拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數

隨機試驗

試驗的樣本點和基本事件

樣本空間

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．共36個樣本點

隨機事件試驗：拋擲兩顆骰子，觀察出現的點數A=“點數之和等於3”B=“點數之和大於11”C=“點數之和不小於2”D=“點數之和大於12”

1.2事件之間的關係與運算重點1.事件之間的關係與簡單運算事件的關係與運算

給定一個隨機試驗，設Ω為其樣本空間，事件Ａ，Ｂ，Ak(k=1,2,3,...)都是Ω的子集．事件事件之間的關係與事件的運算集合集合之間的關係與集合的運算

事件Ａ發生必然導致事件Ｂ發生

子事件(事件的包含Contain）BA

事件Ａ的樣本點都是事件Ｂ的樣本點例如拋擲一顆骰子，觀察出現的點數A={出現1點}B={出現奇數點}

事件Ａ是事件Ｂ的子事件

記作相等事件（Equal）A=BBA事件A與事件B含有相同的樣本點例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現偶數點”與事件“出現2，4或6點”是相等事件。

事件A與事件B至少有一個發生和（並）事件Union

由事件A與事件B所有樣本點組成

多個事件的和和事件A∪B發生A發生或B發生積（交）事件Intersection

多個事件的積

由事件Ａ和事件Ｂ的公共樣本點組成

積事件AB發生事件Ａ和事件Ｂ同時發生互斥事件(互不相容事件)Exclusive

事件A與事件B不能同時發生

事件A與事件B沒有公共的樣本點事件A與事件B互斥AB=Φ

當時，簡記作對立事件Contrary

事件A不發生

是由所有不屬於A的樣本點組成

性質記作差事件Difference

由屬於事件A但不屬於事件B的樣本點組成差事件A-B發生事件A發生且事件B不發生性質對稱差事件Difference

由屬於事件A但不屬於事件B的樣本點或者由屬於事件B但不屬於事件A的樣本點組成對稱差事件A-B發生事件A與事件B只能發生一個性質完備事件組完備事件組

二、小結

概率論與集合論之間的對應關係記號概率論集合論樣本空間,必然事件不可能事件基本事件隨機事件A的對立事件A出現必然導致B出現事件A與事件B相等空間(全集)空集元素子集A的補集A是B的子集A集合與B集合相等事件A與事件B的差A與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和A集合與B集合的並集

事件A與B的積事件

A集合與B集合的交集Venn圖演示集合的關係與運算事件之間的運算律

交換律

結合律

分配律

摩根律

自身律

某射手向目標射擊三次，用表示第次擊中目標試用及其運算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標：（2）至少有一次擊中目標：

（3）恰好有兩次擊中目標：（4）最多擊中一次：（5）至少有一次沒有擊中目標：（6）三次都沒有擊中目標：例：複合事件的表示下列各式哪個成立，哪個不成立？為什麼？（1）若，則（2）（3）（4）解（1）成立反證法：如果B不發生，不導致A不發生，則B不發生，導致A發生，即而所以產生矛盾下列各式哪個成立，哪個不成立？為什麼？（1）若，則（2）（3）（4）解（2）不成立當

時，（2）成立。下列各式哪個成立，哪個不成立？為什麼？（1）若，則（2）（3）（4）解（3）成立下列各式哪個成立，哪個不成立？為什麼？（1）若，則（2）（3）（4）解（4）不成立當

時，（4）成立。化簡解

隨機向量及分佈例如

E：抽樣調查15-18歲青少年的身高X與體重Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發育情況。

前面我們討論的是隨機實驗中單獨的一個隨機變數，又稱為一維隨機變數；然而在許多實際問題中，常常需要同時研究一個試驗中的兩個甚至更多個隨機變數。

不過此時我們需要研究的不僅僅是X及Y各自的性質，更需要瞭解這兩個隨機變數的相互依賴和制約關係。因此，我們將二者作為一個整體來進行研究，記為(X,Y),稱為二維隨機變（向）量。背景定義2.5.1聯合分佈函數的定義定理2.5.1二維隨機向量分佈函數的性質(4)可以通過下圖說明x1x2y1y2聯合分佈函數表示矩形域概率

設X、Y

為定義在同一樣本空間Ω上的隨機變數，則稱向量（X，Y）為Ω上的一個二維隨機變數。定義二維隨機變數二維隨機變數(X,Y)的取值可看作平面上的點（x，y）A例2.5.1可見,2.5.2二維離散型隨機向量定義2.5..2二維離散型隨機變數

若二維隨機變數（X，Y）的所有可能取值只有限對或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變數。如何反映（X，Y）的取值規律呢？定義2.5.2研究問題聯想一維離散型隨機變數的分佈律。（X，Y）的聯合概率分佈（分佈律）運算式形式

。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常見形式）性質分佈函數（X，Y）的聯合概率分佈（分佈律）的可能取值為(1，2)，(2，1)，(2，2).

1/31/3２1/3０１２１

ＹＸ

一個口袋中有三個球，依次標有數字1，2，2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設每次取球時，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分別記第一次和第二次取到的球上標有的數字，求的聯合分佈列.

例解所以（X,Y）的聯合分佈列為：

若存在非負函數，使對任意實數，二元隨機向量的分佈函數可表示成如下形式2.5.3二維連續型隨機向量定義2.5.4

則稱是二元連續型隨機變數。稱為二元隨機變數(X,Y)的聯合概率密度函數.聯合概率密度函數的性質非負性幾何解釋..隨機事件的概率=曲頂柱體的體積.定理2.5.2設二維隨機變數的概率密度為(1)確定常數k；

(2)求的分佈函數；；

.

(4)求例(1)所以解

(2)當時，當時，所以，(3)41或解(4)二維均勻分佈設二維隨機變數的概率密度為

上服從均勻分佈.在，則稱是平面上的有界區域，其面積為其中二維正態分佈設二維隨機變數的概率密度為其中均為參數則稱服從參數為的二維正態分佈

條件概率

解一、全概率公式

因為Ｂ＝ＡＢ∪

，且ＡＢ與互不相容，所以＝0.6一個盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任取１只，連取２次，求第二次取到白球的概率引例A={第一次取到白球}，B={第二次取到白球}全概率公式定理1.5.2全概率公式特例全概率公式的推論1.5.1全概率公式的推論1.5.2全概率公式的推論1.5.3條件全概率公式全概率公式的推論1.5.4例

設播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個等級的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構成完備事件組，又設Ｂ表示任選一顆種子所結的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825

甲箱中有3個白球，2個黑球，乙箱中有1個白球，3個黑球。現從甲箱中任取一球放入乙箱中，再從乙箱任意取出一球。問從乙箱中取出白球的概率是多少？解設A=“從甲箱中取出白球”，

B=“從乙箱中取出白球”，則例1.5.5（抓鬮）設一袋中有n個白球與m個黑球，現從中無放回接連抽取k個球，求第k次取得黑球的概率解法一：現用數學歸納法證明往證因為同理所以得所以證得。解法二：解法三：貝葉斯公式Bayes’Theorem驗後概率(k=1,2,…,n)證明定理1.5.3貝葉斯公式Bayes’Theorem

例設某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，已知各車間的產量分別占全廠產量的25%，35%，40%，而且各車間的次品率依次為5%，4%，2%．現從待出廠的產品中檢查出一個次品，試判斷它是由甲車間生產的概率．解

設Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示產品由甲、乙、丙車間生產，Ｂ表示產品為次品．顯然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

構成完備事件組．依題意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%

例1.5.7（福利彩票中獎概率）解：2002年B題彩票中的數學近年來“彩票颶風”席捲中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統型”和“樂透型”兩種類型。“傳統型”採用“10選6+1”方案：先從6組0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然後從0~4號球中搖出一個特別號碼，構成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼（可重複），從0~4中選一個特別號碼，構成一注，根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少及順序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表一（X表示未選中的號碼）。

表一中獎等級10選6+1（6+1/10）

基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeXXbcdef選7中（5）四等獎abcdXXXbcdeXXXcdef選7中（4）五等獎abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef選7中（3）六等獎abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef選7中（2）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01~33個號碼球中一個一個地搖出7個基本號，再從剩餘的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~33個號碼中任選7個組成一注（不可重複），根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案，先從01~36個號碼球中一個一個地搖出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。從01~36個號碼中任選7個組成一注（不可重複），根據單注號碼與中獎號碼相符的個數多少確定相應的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表二。表二中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）注：●為選中的基本號碼；★

為選中的特別號碼；○

為未選中的號碼。

以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎。現在常見的銷售規則及相應的獎金設置方案如表三，其中一、二、三等獎為高項獎，後面的為低項獎。低項獎數額固定，高項獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項獎額的計算方法為：[(當期銷售總額

×總獎金比例)

-低項獎總額

]×單項獎比例

（1）根據這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的演算法，並據此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。表三序號

獎項方案一等獎比例二等獎比例三等獎比例四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎金額備注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序3