复变函数课件

第一節複數及其代數運算一、複數的概念二、複數的代數運算三、小結與思考2一、複數的概念1.虛數單位:對虛數單位的規定:3虛數單位的特性:……42.複數:5例1解令6

兩複數相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.

複數z

等於0當且僅當它的實部和虛部同時等於0.說明兩個數如果都是實數,可以比較它們的大小,如果不全是實數,就不能比較大小,也就是說,複數不能比較大小.7二、複數的代數運算1.兩複數的和:2.兩複數的積:3.兩複數的商:84.共軛複數:

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個複數稱為共軛複數.例2解95.共軛複數的性質:以上各式證明略.10例3解11例4解12例5解13例6解14例7證15例8解1617三、小結與思考

本課學習了複數的有關概念、性質及其運算.重點掌握複數的運算,它是本節課的重點.18思考題複數為什麼不能比較大小？19一、複平面1.複平面的定義202.複數的模(或絕對值)顯然下列各式成立213.複數的輻角說明輻角不確定.22輻角主值的定義:234.利用平行四邊形法求複數的和差兩個複數的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致.245.複數和差的模的性質25利用直角坐標與極座標的關係複數可以表示成複數的三角表示式再利用歐拉公式複數可以表示成複數的指數表示式歐拉介紹6.複數的三角表示和指數表示26例1將下列複數化為三角表示式與指數表示式:解故三角表示式為27指數表示式為故三角表示式為指數表示式為28故三角表示式為指數表示式為29例2解(三角式)(指數式)30例3解31例4證32兩邊同時開方得33例5證34兩邊平方,並化簡得下麵例子表明,很多平面圖形能用複數形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的複數形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.35例6解所以它的複數形式的參數方程為3637例7證38兩邊同時平方,39例8求下列方程所表示的曲線:解40化簡後得41二、複球面1.南極、北極的定義42球面上的點,除去北極N外,與複平面內的點之間存在著一一對應的關係.我們可以用球面上的點來表示複數.我們規定:複數中有一個唯一的“無窮大”與複平面上的無窮遠點相對應,記作.因而球面上的北極N就是複數無窮大的幾何表示.球面上的每一個點都有唯一的複數與之對應,這樣的球面稱為複球面.2.複球面的定義433.擴充複平面的定義包括無窮遠點在內的複平面稱為擴充複平面.不包括無窮遠點在內的複平面稱為有限複平面,或簡稱複平面.對於複數來說,實部,虛部,輻角等概念均無意義,它的模規定為正無窮大.複球面的優越處:能將擴充複平面的無窮遠點明顯地表示出來.4445三、小結與思考學習的主要內容有複數的模、輻角;複數的各種表示法.並且介紹了複平面、複球面和擴充複平面.注意：為了用球面上的點來表示複數，引入了無窮遠點．無窮遠點與無窮大這個複數相對應,所謂無窮大是指模為正無窮大（輻角無意義）的唯一的一個複數，不要與實數中的無窮大或正、負無窮大混為一談．46思考題是否任意複數都有輻角?47思考題答案否.它的模為零而輻角不確定.放映結束，按Esc退出.48一、乘積與商定理一

兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積;兩個複數乘積的輻角等於它們的輻角的和.證49兩複數相乘就是把模數相乘,輻角相加.從幾何上看,兩複數對應的向量分別為[證畢]50說明由於輻角的多值性,兩端都是無窮多個數構成的兩個數集.對於左端的任一值,右端必有值與它相對應.例如，51由此可將結論推廣到n

個複數相乘的情況:52定理二

兩個複數的商的模等於它們的模的商;兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差.證按照商的定義,[證畢]53例1解54例2解如圖所示,5556二、冪與根1.n次冪:57棣莫佛公式棣莫佛介紹推導過程如下:2.棣莫佛公式58根據棣莫佛公式,59當k以其他整數值代入時,這些根又重複出現.60從幾何上看,61例3解6263例4解64即65例5解即6667例6解故原方程可寫成68故原方程的根為69例7證利用複數相等可知:70等式得證.71三、小結與思考

應熟練掌握複數乘積與商的運算.在各種形式中以三角形式、指數形式最為方便:

棣莫佛(deMoivre)公式放映結束，按Esc退出.72一、區域的概念1.鄰域:說明732.去心鄰域:說明743.內點:4.開集:

如果G內每一點都是它的內點,那末G稱為開集.755.區域:

如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區域.(1)D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬於D的一條折線連結起來.6.邊界點、邊界:

設D是複平面內的一個區域,如果點P不屬於D,但在P

的任意小的鄰域內總有D中的點,這樣的P點我們稱為D的邊界點.76D的所有邊界點組成D的邊界.說明(1)區域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.(2)區域D與它的邊界一起構成閉區域77以上基本概念的圖示區域鄰域邊界點邊界7.有界區域和無界區域:78(1)圓環域:課堂練習判斷下列區域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.79二、單連通域與多連通域1.連續曲線:平面曲線的複數表示:802.光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.813.簡單曲線:

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).82換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質:

任意一條簡單閉曲線C將複平面唯一地分成三個互不相交的點集.內部外部邊界83課堂練習判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉844.單連通域與多連通域的定義:

複平面上的一個區域B,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內部總屬於B,就稱為單連通域.一個區域如果不是單連通域,就稱為多連通域.單連通域多連通域85三、典型例題例1

指明下列不等式所確定的區域,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域(如圖).86是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.87表示到1,–1的距離之和為定值4的點的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.88有界的單連通域.89例2解

滿足下列條件的點集是什麼,如果是區域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行於實軸的直線,不是區域.單連通域.90是多連通域.不是區域.9192單連通域.93一、複變函數的定義1.複變函數的定義:942.單(多)值函數的定義:3.定義集合和函數值集合:954.複變函數與引數之間的關係:例如,96二、映射的概念1.引入:972.映射的定義:98993.兩個特殊的映射:100且是全同圖形.101102根據複數的乘法公式可知,103(如下頁圖)104

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.105以原點為焦點,開口相左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點為焦點,開口相右的拋物線.(圖中藍色曲線)1064.反函數的定義:107根據反函數的定義,當反函數為單值函數時,今後不再區別函數與映射.108解三、典型例題例1還是線段.109例1解110例1解仍是扇形域.111例2解112所以象的參數方程為113四、小結與思考

複變函數以及映射的概念是本章的一個重點.注意：複變函數與一元實變函數的定義完全一樣,只要將後者定義中的“實數”換為“複數”就行了.114思考題“函數”、“映射”、“變換”等名詞有無區別？115一、函數的極限1.函數極限的定義:注意:1162.極限計算的定理定理一證根據極限的定義(1)必要性.117(2)充分性.118[證畢]說明119定理二與實變函數的極限運算法則類似.120例1證(一)121根據定理一可知,證(二)122123例2證124根據定理一可知,125二、函數的連續性1.連續的定義:126定理三例如,127定理四128特殊的:(1)有理整函數(多項式)(2)有理分式函數在複平面內使分母不為零的點也是連續的.129例3證130三、小結與思考

通過本課的學習,熟悉複變函數的極限、連續性的運算法則與性質.

注意:複變函數極限的定義與一元實變函數極限的定義雖然在形式上相同,但在實質上有很大的差異,它較之後者的要求苛刻得多.131思考題132一、複變函數的導數與微分1.導數的定義:133在定義中應注意:134例1解135例2解136137例3解1381392.可導與連續:

函數f(z)在z0處可導則在z0處一定連續,但函數f(z)在z0處連續不一定在z0處可導.證140[證畢]1413.求導法則:

由於複變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致,並且複變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣,因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到複變函數中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:1421434.微分的概念:

複變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致.定義144特別地,145二、解析函數的概念1.解析函數的定義1462.奇點的定義根據定義可知:函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.但是,函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念.即函數在一點處可導,不一定在該點處解析.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.147例4解由本節例1和例3知:148149150例5解151例6解152153課堂練習答案處處不可導,處處不解析.154定理以上定理的證明,可利用求導法則.155根據定理可知:(1)所有多項式在複平面內是處處解析的.156三、小結與思考

理解複變函數導數與微分以及解析函數的概念;掌握連續、可導、解析之間的關係以及求導方法.

注意:複變函數的導數定義與一元實變函數的導數定義在形式上完全一樣,它們的一些求導公式與求導法則也一樣,然而複變函數極限存在要求與z趨於零的方式無關,這表明它在一點可導的條件比實變函數嚴格得多.157思考題158一、主要定理定理一柯西介紹黎曼介紹159證(1)必要性.160161(2)充分性.由於162163164[證畢]165166解析函數的判定方法:167二、典型例題例1判定下列函數在何處可導,在何處解析:解不滿足柯西－黎曼方程,168四個偏導數均連續指數函數169四個偏導數均連續170例2證171172例3解173例4證174175例5解176課堂練習答案177例6證178參照以上例題可進一步證明:179例7證根據隱函數求導法則,180根據柯西－黎曼方程得181例8證182183三、小結與思考

在本課中我們得到了一個重要結論—函數解析的充要條件:掌握並能靈活應用柯西—黎曼方程.184思考題185思考題答案放映結束，按Esc退出.186Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料187一、指數函數1.指數函數的定義:188指數函數的定義等價於關係式:1892.加法定理證190例1解191192例2解求出下列複數的輻角主值:193194195例3解196二、對數函數1.定義197其餘各值為特殊地,198例4解注意:在實變函數中,負數無對數,而複變數對數函數是實變數對數函數的拓廣.199例5解200例6解2012022.性質203證(3)[證畢]204三、乘冪與冪函數1.乘冪的定義注意:205206特殊情況:207208例7解答案課堂練習209例8解2102.冪函數的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的複平面內是解析的,211它的各個分支在除去原點和負實軸的複平面內是解析的,212四、三角函數和雙曲函數1.三角函數的定義將兩式相加與相減,得現在把余弦函數和正弦函數的定義推廣到自變數取複值的情況.213214例9解215有關正弦函數和余弦函數的幾組重要公式正弦函數和余弦函數在複平面內都是解析函數.216(注意：這是與實變函數完全不同的)217其他複變數三角函數的定義218例10解219例11解220例12解2212222.雙曲函數的定義223它們的導數分別為並有如下公式:它們都是以為週期的週期函數,224例13解225五、反三角函數和反雙曲函數1.反三角函數的定義兩端取對數得226

同樣可以定義反正弦函數和反正切函數,重複以上步驟,可以得到它們的運算式:2.反雙曲函數的定義227例14解228六、小結與思考

複變初等函數是一元實變初等函數在複數範圍內的自然推廣,它既保持了後者的某些基本性質,又有一些與後者不同的特性.如:1.指數函數具有週期性2.負數無對數的結論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是週期函數229思考題

實變三角函數與複變三角函數在性質上有哪些異同?230一、用複變函數表示平面向量場平面定常向量場:

向量場中的向量都平行於某一個平面S,而且在垂直於S的任何一條直線上的所有點處的向量都是相等的;場中的向量也都與時間無關.顯然,向量場在所有平行於S

的平面內的分佈情況是完全相同的,可以用So平面內的場表示.231232例如,一個平面定常流速場(如河水的表面)平面電場強度向量為233二、平面流速場的複勢1.流函數:如果它在單連域B

內是無源場(即管量場),234流線2352.勢函數:等勢線(或等位線)236平面流速場的複勢函數(複勢)柯西–黎曼方程3.平面流速場的複勢函數:在單連域內可以作一個解析函數237

給定一個單連域內的無源無旋平面流速場,就可以構造一個解析函數——它的複勢與之對應;反之,如果在某一區域(不管是否單連)內給定一個解析函數,就有以它為複勢的平面流速場對應,並可以寫出該場的流函數和勢函數,得到流線與等勢線方程,畫出流線和等勢線的圖形,即得描繪該場的流動圖象.238例1解239例2解由對稱性,240因為流體不可壓縮,241流過圓周的流量為242藍色為等勢線,紅色為流線.(流動圖象如下)243解例3與例2類似,沿圓周的環流量為244245對比例1和例2的結果,因此,只須將例2圖中流線與等勢線位置互換,即可得渦點所形成的場的流動圖象.藍色為流線,紅色為等勢線.246三、靜電場的複勢當場內沒有帶電物體時,靜電場無源無旋.247與討論流速場一樣,就是說,等值線就是向量線,即場中電力線.248249靜電場的複勢(複電位)在B內可決定一個解析函數

利用靜電場的複勢,可以研究場的等勢線和電力線的分佈情況,描繪出場的圖象.250例4解因為導線為無限長,因此垂直於xoy

平面的任何直線上各點處的電場強度是相等的.251又因為導線上關於z

平面對稱的兩帶電微元段所產生的電場強度的垂直分量相互抵消,只剩下與xoy

平面平行的分量.故所產生的靜電場為平面場.由庫侖定律,252253254一、積分的定義1.有向曲線:

設C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那麼我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那麼B到A就是曲線C的負向,255簡單閉曲線正向的定義:

簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內部始終位於P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.關於曲線方向的說明:

在今後的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.2562.積分的定義:257(258關於定義的說明:259二、積分存在的條件及其計算法1.存在的條件證正方向為參數增加的方向,260261根據線積分的存在定理,262當n

無限增大而弧段長度的最大值趨於零時,263在形式上可以看成是公式2642.積分的計算法265在今後討論的積分中,總假定被積函數是連續的,曲線C是按段光滑的.266例1解直線方程為267這兩個積分都與路線C無關268例2解(1)積分路徑的參數方程為y=x269(2)積分路徑的參數方程為y=x270y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數方程為1到1+i直線段的參數方程為271例3解積分路徑的參數方程為272例4解積分路徑的參數方程為273重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.274三、積分的性質複積分與實變函數的定積分有類似的性質.估值不等式275性質(4)的證明兩端取極限得[證畢]276例5解根據估值不等式知277278四、小結與思考

本課我們學習了積分的定義、存在條件以及計算和性質.應注意複變函數的積分有跟微積分學中的線積分完全相似的性質.本課中重點掌握複積分的一般方法.279思考題280一、問題的提出觀察上節例1,此時積分與路線無關.觀察上節例4,281觀察上節例5,由於不滿足柯西－黎曼方程,故而在複平面內處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關,可能決定於被積函數的解析性及區域的連通性.282二、基本定理柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹283關於定理的說明:(1)如果曲線C是區域B的邊界,(2)如果曲線C是區域B的邊界,定理仍成立.284三、典型例題例1解根據柯西－古薩定理,有285例2證由柯西－古薩定理,286由柯西－古薩定理,由上節例4可知,287例3解根據柯西－古薩定理得288289四、小結與思考通過本課學習,重點掌握柯西－古薩基本定理:並注意定理成立的條件.290思考題應用柯西–古薩定理應注意什麼?291思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.放映結束，按Esc退出.292Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料293一、問題的提出根據本章第一節例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.294二、複合閉路定理1.閉路變形原理︵︵295︵︵︵︵︵︵︵︵296得︵︵︵︵297解析函數沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經過函數f(z)的不解析的點.2982.複合閉路定理那末299300三、典型例題例1解依題意知,301根據複合閉路定理,302例2解圓環域的邊界構成一條複合閉路,根據閉路複合定理,303例3解304由複合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內即可.305例4解由上例可知306四、小結與思考本課所講述的複合閉路定理與閉路變形原理是複積分中的重要定理,掌握並能靈活應用它是本章的難點.常用結論:307思考題複合閉路定理在積分計算中有什麼用?要注意什麼問題?308一、主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數在單連通域內的積分只與起點和終點有關,(如下頁圖)1.兩個主要定理:309310定理二證利用導數的定義來證.311由於積分與路線無關,312313由積分的估值性質,314此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]3152.原函數的定義:原函數之間的關係:證316那末它就有無窮多個原函數,根據以上討論可知:[證畢]3173.不定積分的定義:定理三(類似於牛頓-萊布尼茲公式)318證根據柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,複變函數的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.319二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,320例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)321例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,322例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”323例4解利用分部積分法可得課堂練習答案324例5解325例6解所以積分與路線無關,根據牛—萊公式:326三、小結與思考本課介紹了原函數、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學習中應注意與《高等數學》中相關內容相結合,更好的理解本課內容.327思考題解析函數在單連通域內積分的牛頓–萊布尼茲公式與實函數定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?328一、問題的提出根據閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個值.329330二、柯西積分公式定理證331332上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據閉路變形原理知,左端積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]柯西積分公式柯西介紹333關於柯西積分公式的說明:(1)把函數在C內部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數的又一特徵)(2)公式不但提供了計算某些複變函數沿閉路積分的一種方法,而且給出瞭解析函數的一個積分運算式.(這是研究解析函數的有力工具)(3)一個解析函數在圓心處的值等於它在圓周上的平均值.334三、典型例題例1解335由柯西積分公式336例2解由柯西積分公式337例3解由柯西積分公式338例４解根據柯西積分公式知,339例5解340例5解341由閉路複合定理,得例5解342例6解根據柯西積分公式知,343比較兩式得344課堂練習答案345四、小結與思考柯西積分公式是複積分計算中的重要公式,它的證明基於柯西–古薩基本定理,它的重要性在於:一個解析函數在區域內部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數的重要工具.柯西積分公式:346思考題柯西積分公式是對有界區域而言的,能否推廣到無界區域中?347思考題答案可以.其中積分方向應是順時針方向.放映結束，按Esc退出.348一、問題的提出問題:(1)解析函數是否有高階導數?(2)若有高階導數,其定義和求法是否與實變函數相同?回答:(1)解析函數有各高階導數.(2)高階導數的值可以用函數在邊界上的值通過積分來表示,這與實變函數完全不同.解析函數高階導數的定義是什麼?349二、主要定理