2022年各地高考数学真题汇编：立体几何解答题

2021、2022年高中数学真题汇编：立体几何解答题

解答题

1.（2022•全国甲（文）T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包

装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB,AFBC，AGCD,AHDA

均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

（1）证明：EF//平面ABCD：

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

2.（2022•全国甲（理）T18）在四棱锥P—ABC。中，PZ）_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

（1）证明：BD工PA；

（2）求P。与平面A4B所成的角的正弦值.

3.（2022・全国乙（文）T18）如图，四面体ABCO中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E为AC的中点.

（1）证明：平面BED_L平面AC。：

（2）设AB=BO=2,NACB=60。，点F在BO上，当△?!人，的面积最小时，求三棱锥

尸―ABC的体积.

4.（2022•全国乙（理）T18）如图，四面体A8CD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,

E为AC的中点.

（1）证明：平面BED_L平面AC。；

（2）设AB=80=2,NACB=60°,点F在8。上，当的面积最小时，求CF与

平面A次）所成的角的正弦值.

5.(2022・新高考I卷T19)如图，直三棱柱ABC-AfG的体积为4,的面积为20.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为A。的中点，AAt=AB,平面ABC，平面求二面角A-BO-C

的正弦值.

6.(2022・新高考n卷T20)如图，PO是三棱锥。一ABC的高，PA=PB，ABVAC,

E是的中点.

(1)求证：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE-3的正弦值.

7.（2022.北京卷T17）如图，在三棱柱AB。—A4c中，侧面BCCg为正方形，平面

BCC"平面A%%AB=BC=2,M,N分别为44，AC的中点.

（1）求证：MN〃平面BCC.B,；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角

的正弦值.

条件①：AB工MN：

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

8.（2022•浙江卷T19）如图，已知ABC。和COE尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1，ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸―DC—3的平面角为

60°.设M,N分别为的中点.

（1）证明：FN工AD；

（2）求直线8M与平面4）七所成角的正弦值.

9.(2021•全国高考真题)如图，在三棱锥A—3C£)中，平面Aft。_L平面BCD,AB^AD,

。为3。的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA，且二面角

£一3。一。的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

10.(2021•全国高考真题(文))如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，P£)_L底面A8CD,

M为3c的中点，且依_LA〃.

(1)证明：平面以MJ_平面尸加＞；

⑵若PD=DC=T,求四棱锥P—ABC。的体积.

11.(2021.浙江高考真题)如图，在四棱锥P—A3C。中，底面ABC。是平行四边形,

ZABC=120°,AB=\,BC=4,PA=y/l5>M,N分别为BC,PC的中点,

PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABVPM-.

(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.

12.(2021•全国高考真题(文))已知直三棱柱ABC-中，侧面为正方形,

AB=BC^2,E,F分别为AC和CG的中点，BF

(I)求三棱锥尸-EBC的体积;

(2)已知。为棱A4上的点，证明：BF^DE.

13.（2021•全国高考真题（理））己知直三棱柱ABC—中，侧面A41gB为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为AC和C&的中点，。为棱4片上的点.

（1）证明：BFLDE-,

（2）当耳。为何值时，面与面。尸E所成的二面角的正弦值最小?

14.（2021•全国高考真题（理））如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD_L底面A8CD，

PD=DC=1,M为BC的中点，且

（I）求BC；

（2）求二面角A—PM—8的正弦值.

答案及解析

1.【答案】（1）证明见解析:

⑵4.

【小问1详解】

如图所示:

分别取的中点连接MN,因为AEA&AEBC为全等的正三角形，所以

EM±AB,FN±BC,EM=FN,又平面E4B_L平面ABC£>,平面E48c平面

ABCD=AB,u平面EAB，所以，平面ABCD,同理可得FN_L平面ABCD,

根据线面垂直的性质定理可知EM//F7V,而EM=FN,所以四边形EMN尸为平行四边

形，所以EF//MN,又£尸二平面ABCD，的Vu平面ABCD，所以所//平面ABCD.

【小问2详解】

如图所示:

分别取中点K,L,由（1）知，EF11MN&EF=MN,同理有,

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF/ILN、GF=LN,由平面知识可知,

BDA.MN,MN±MK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体

KMNL-EFGH的体积加上四棱锥3-MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4近，EM=8sin60=46，点8到平面MN庄的距离

即为点B到直线MN的距离d，d=2&，所以该几何体的体积

V=k0『x46+4xgx4&x4Gx2正=128百+等省=一百.

2.【答案】（1）证明见解析；

⑵正.

5

【小问1详解】

证明：在四动形A8CO中，作小，AB于£,CFLAB于F，

因为C£>//A5,A£>=CO=CB=1,=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=BE=L,

2

G.__________

故DE=5，BD=dDE°+BE2="

所以AD2+BD?=AB?，

所以ADL8D，

因为PD_L平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以PD工BD，

又PDcAD=D,

所以3。_L平面PAD，

又因P4u平面「AD，

所以8OLQ4；

【小问2详解】

解：如图，以点。原点建立空间直角坐标系,

BD=6

则A(1,O,O),网0,6,0),网0,0,石)，

则而=(-LO，句，而=倒,-6月,加=e,0,@,

设平面R4B的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=-尤+A/3Z=0

则有｛可取5=(瓜1R,

n-BP=~\fiy+y/3z=0

所以PO与平面尸AB所成角的正弦值为好.

3.【答案】(1)证明详见解析

(2)立

4

【小问1详解】

由于45=CD,E是4C的中点，所以ACLQE.

AD^CD

由于=,所以△ADBMNSCDB,

NADB=NCDB

所以AB=C3,故AC_LB£>,

由于DEcBD=D,DE,BDI平面5ED，

所以AC，平面3ED，

由于ACu平面AC。，所以平面BED，平面AC。.

【小问2详解】

依题意AB=3£>=5C=2,NACB=60°，三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,5E=6,

由于AO=C£>,AO_LC。，所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE1+BE1=BDr,所以DE上BE，

由于ACcBE=E,AC,BEu平面ABC,所以DEL平面ABC.

由于所以NrB4=NEBC,

BF=BF

由于,NFBA=AFBC,所以&FBANAFBC,

AB^CB

所以Ab=b,所以EELAC,

由于凡"c=g,AC-E/，所以当EE最短时，三角形ARC的面积最小值•

过E作所_LBD，垂足为E,

FHBF3

过F作FH上BE,垂足为〃，则FH〃DE,所以万77_1_平面43。，且——=—=一，

DEBD4

3

所以b”=一，

4

所以％-ABCng,S-ABC，尸"=；X；X2XGX;=¥.

4.【答案】(1)证明过程见解析

(2)与平面A%)所成的角的正弦值为拽

7

【小问1详解】

因为AD=CD,E为AC的中点，所以AC_LOE；

在△48。和&CBD中，因为A£>=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以AAB原△CB。，所以A3=CB,又因为E为AC的中点，所以AC，BE；

又因为DE,BEu平面BED，DECBE=E，所以AC,平面BED，

因为ACu平面ACD,所以平面平面ACT).

【小问2详解】

连接EE，由(1)知，AC,平面8ED，因为斯u平面8七D，

所以AC_LE/"所以=

当所，BZ)时，EF最小,即△?!八，的面积最小.

因为△ABD^ACBD,所以CB=A3=2,

又因为NAC3=60°,所以AABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=£C=1,BE=6

因为ADLC。，所以。E=，AC=1,

2

在ADEB中,DE+Bf=BD‘，所以BELDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E一肛z,

则A(i,o,o),B(o,6,o),o(o,o,i),所以而=(-1,0,1),丽=卜1，瓜0),

设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),

n-AD—x+z=0f--//—\

则《,取y=G，则〃=3,j3,3,

n.AB-x+V3y=0'7

(石3、_(

又因为C(—1,0,0),F°，T，］，所以b=|L63、

-'4/

nCF64G

,os《,CF)=

所以°一啊可〒

设CE与平面他所成的角的正弦值为eowev5,

所以sin。=,,,常卜半

所以CF与平面4步所成的角的正弦值为生5.

7

5.【答案】(1)母

⑵正

2

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-4用G中，设点A到平面AXBC的距离为h,

则匕-ABC=1S.4BC,〃=~Y~h=〃-ABC=1S-ABC.AA=；匕跣…6=

解得h=y/2，

所以点A到平面ABC的距离为血；

【小问2详解】

取4台的中点£连接AE,如图，因为A4=A5,所以

又平面ABC±平面A,平面\BCD平面ABB}\=A/,

且AEu平面所以AEJ_平面ABC,

在直三棱柱ABC—A4£中，"L平面ABC,

由BCu平面ABC,8。（=平面48。可得4£，3。，BB.1BC,

又AE,BB、u平面ABB^且相交，所以BC，平面,

所以8c,BA,64两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（1）得AE=五,所以A4,=A6=2,48=24，所以8C=2,

则A（0,2,0）,A（0,2,2）,3（0,0,0）,C（2,0,0）,所以AC的中点£＞（1,1,1）,

则而=（1,1,1）,丽=（0,2,0）,1=（2,0,0）,

—m-BD-x+y+z=0

设平面4?£）的一个法向量加=（x,y,z）,则〈_____,

m-BA=2y=0

可取〃z=（l,0,-1）,

_,、\m-BD=a+b+c=0

设平面BOC的一个法向量〃=（a,b,c）,则＜_____.,

mBC=2a=0

可取7=（0」,一1）,

则/----〃-\"m就-n]

夜X02

V3

所以二面角A—8D—C的正弦值为

2

6.【答案】（1）证明见解析

13

小问1详解】

证明：连接B0并延长交4C于点。，连接。4、PD，

因为PO是三棱锥P—ABC的高，所以PO_L平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以POLAO、POA.BO,

又PA=PB，所以△POAwAPOB，即OA=O3,所以NQ45=NOB4,

又A3_LAC,即/胡C=90°，所以NO/W+N（MO=90°，ZOBA+ZODA^90°,

所以NQQ4=NQ4£>

所以AO=DO,即AO=£>O=Q5,所以。为BO的中点，又E为PB的中点，所以

OE//PD,

又OEU平面PAC,PDu平面P4C，

所以OE〃平面P4C

【小问2详解】

解：过点A作Az〃OP,如图建立平面直角坐标系,

因为PO=3,AP=5,所以Q4=JAP?_PO?=4，

y

又NOBA=NOBC=30°,所以30=204=8,则AD=4，AB=，5

所以AC=12,所以0（2百,2,0）,8（46,0,0）,网2后2,3）,C（0,12,0）,所以

贝ij通=13&,1，5）,XB=（4>/3,0,0）,AC=（0,12,0）,

一n-AE=3s[3x+y+-z=Q

设平面但法向量为”=（x,y,z）,则《-2,令z=2,则

n-AB-45/3x=0

y=-3,x=0，所以“=（0,—3,2）；

—,、m-AE-3\[3a+b+-c-0厂

设平面AEC的法向量为加=（a,A,c）,则<2,令a=J5，则

m-AC=l2b=0

c--6,b=0,所以加=（百,0,-6）；

n-m-124G

RWW713x^913

设二面角C—AE—8为。，由图可知二面角C—AE—3为钝二面角，

所以cos6=-生叵，所以sin6=Jl-cos?夕=U

1313

故二面角C-AE-8的正弦值为?；

7.【答案】(1)见解析(2)见解析

【小问1详解】

取A3的中点为K，连接MKNK,

由三棱柱ABC-Agq可得四边形ABB}\为平行四边形，

而B.M=MA],BK=KA,则MK//BB,,

而MK二平面CBB©,BB}<=平面C8B1G,故MKH平面C叫G,

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面,

而NKnMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面CBB£,而MNu平面MKN,故MN//平面CBB£,

【小问2详解】

因为侧面CBB©为正方形，故CB，BB],

而Q3u平面CBB©,平面CBB©±平面ABB^,

平面CBBGn平面ABB1A,=BB,,故C8_L平面ABB,4,

因为NKHBC,故NK，平面ABB}A1,

因为ABi平面ABga，故NKLAB,

若选①，则A3,肱V,而NK1AB,NKCMN=N,

故AB_L平面MNK,而MKu平面MNK,故AB_LMK，

所以用，而C8_LB耳，CBcAB=B,故851J•平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,()),"((),1,2),

故丽=(0,2,0),加=(1,1,0),加=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为3=(x,y,z),

n-BN=0[%+y=0

则<_____.，从而〈c八，取z=—l则分=（一2,2,—1）,

n-BM=01y+2z=0

设直线AB与平面BMW所成的角为6,则

42

sin0-cos(n,AB

M-3

若选②，因为NKIIBC,故NKJ_平面,而KWu平面MKN,

故NKLKM,而BM=BK=1,NK=1,故耳/=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故ABB[MM^MKN,

所以N84M=NMKN=90。，故4与_1_84，

而CBJ.B与，CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系,则8(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),历(0,1,2),

故丽=(0,2,0),丽=(1,1,0),旃=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),

nBN=。x+y=0

则＜_____.,从而〈,取z=-1，则1=(-2,2,-1),

n-BM=0y+2z=0

8.【答案】(1)证明见解析：

(2)前,

14

【小问1详解】

过点E、。分别做直线OC、A8的垂线EG、并分别交于点交于点G、H.

四边形ABC。和EFCD都是直角梯形，ABIIDC,CDIIEF,AB=5,DC=3,所=1,

ZBAD=ZCDE=60°,由平面几何知识易知，

DG=AH-2,Z.EFC—Z.DCF-/DCB-Z.ABC=90°，则四边形EFCG和四边形

DC3”是矩形，，在RIAEGD和RJOHA，EG=DH=25

VDC±CF,DCA.CB,且CEcC3=C,

二DC±平面BCF,ZBCF是二面角产一DC—B的平面角，则ZBCb=60°，

二△3CF是正三角形，由。Cu平面ABC。，得平面ABCDJ_平面BCF,

•••N是5c的中点，，又。平面5b,FNu平面BCF,可得FN上CD,

而5CcCD=C,二FN_L平面438,而ADu平面ABC£>..F7V，A£>.

【小问2详解】

因为FN，平面ABCD,过点N做A3平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NF

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N-%yz,

'5/33

设A(5,瓜0),B(0,V3,0),D(3,-V3,O),E(l,0,3),则M3,—,-

/.BM=|3,--|MZ)=(-2,-2A/3,0),DE=(-2,逐,3)

22

设平面ADE的法向量为乃=(x,y,z)

n-AD^O得卜2x—2百y=0

取为=(疯-1,两，

n-DE-0-2x+6y+3z=0

设直线BM与平面ADE所成角为0,

3阮冬挈

5A/35X/7

sin0=|cos(n,BM〉卜\n-BM\

1"”用1百币.V7-273-14

9.(1)详见解析(2)也

6

【分析】

(I)根据面面垂直性质定理得AOJ_平面BCD,即可证得结果；

(2)先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.

【解析】

(1)因为AB=AD,0为BD中点，所以AO_LBD

因为平面ABD「平面BCD=BD,平面ABD,平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因为CDu平面BCD,所以AO_LCD

⑵作EF1BD于F,作FM_LBC于M,连FM

因为AOJ_平面BCD,所以AO_LBD,AO_LCD

所以EF_LBD,EFJ_CD,3£>cCD=D因此EFL平面BCD,即EF^BC

因为FM_LBC,FM\£/=尸，所以BC_L平面EFM,B|JBC1MF

JI

则AEMF为二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=一

4

因为8O=QD,M)CD为正三角形，所以△OCD为直角三角形

111?

因为比=2£。,・・・在河=耳8/=2(1+§)=§

2

从而EF=FM=—AO=1

3

QAOJ_平面BCD,

所以V='AO,S.Rrr)=--xlx-xlx>/3=

328326

10.（1）证明见解析；（2）二.

3

【分析】

（1）由底面ABC。可得又P8LAM，由线面垂直的判定定理可得

AM±平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM_L平面PBD；

（2）由（1）可知，AMA.BD，由平面知识可知，ADAB〜AABM，由相似比可求出AD，

再根据四棱锥P-A5CD的体积公式即可求出.

【解析】

（1）因为底面ABC。，AMu平面ABC。，

所以PD_LA〃，

又PB上AM，PB^PD^P,

所以AM,平面P8D,

而AMu平面Q4M，

所以平面R4M_L平面.

（2）由（1）可知，AMJ_平面P8D,所以A〃_L8£＞，

从而ADAB〜AABM，设8"=尤，AD-2x,

则处=理，即2/=1，解得尤=也，所以4。=友.

ABAD2

因为PD_L底面ABCD,

故四棱锥P-ABC。的体积为V=；x（lx0）xl=[^.

11.（1）证明见解析；（2）15.

6

【分析】

（1）要证可证。C_LPM,由题意可得，PD1DC,易证£>M_LZX:,从

而。平面尸£>〃，即有DC_LPM,从而得证；

（2）取中点E，根据题意可知，ME,DM,PM两两垂直,所以以点M为坐标原点，

建立空间直角坐标系，再分别求出向量而和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的

向量公式求出.

【解析】

（1）在中，DC=1,CM=2,ZDCM=60.由余弦定理可得

所以=CA/2,。加工亦由题意女,叨且如门/^二。，..。。，

平面而PMU平面PDM,所以。CLAW,又AB//OC，所以

（2）由AB1PM，而45与DM相交，所以PM,平面ABQ9,因为

AM=币，所以PM=2及，取A£>中点E，连接ME,则ME,DW,PM两两垂直，

以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则A（—石,2,0）,P（0,0,20）,0（6,0,0）,M（0,0,0）,C（石，一1,0）

，-16，丽=

又N为PC中点，所以N

2)

由（1）得CO_L平面PZW,所以平面PDW的一个法向量五=（0』,0）

5

.0\AN-n\2

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为sin0="=I/

|利〃|

27+25+2

\44

B

12.(1)§；(2)证明见解析.

【分析】

(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面

垂直可得题中的结论.

【解析】

⑴如图所示，连结AF,

由题意可得：BF=\lBC2+CF2=A/4+1=y/5>

由于BCLAB,BBQBC=B,故平面BCG4,

而5/u平面BCC14，故AB，BE,

从而有AF='432+3^2="^=3,

2

从而AC=VAF-CF-=V9^i=2V2，

则AB2+BC2=AC2,.AB,BC,AAbC为等腰直角三角形，

S&BCE=}△/=gx(gx2x2)=1,VF_EBC=；XS.BCE*W=gxlxl=；.

(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体A8CM-46clM।,如图所示,

取棱AA/,BC的中点H,G,连结4","G,Gg,

4DBi

正方形BCG与中，G,R为中点，则

又BF_L44,A5fl4G=B],

故3/_L平面A与G”,而OEu平面

从而BF上DE.

13.(1)见解析；(2)4。=；

【分析】

通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明

线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.

【解析】

因为三棱柱ABC—AgG是直三棱柱，所以8g，底面ABC,所以84_LAB

因为4片〃43,所以6EL43，

又BBqBF=B,所以4?，平面BCqg.

所以84,8。,8片两两垂直.

以3为坐标原点，分别以曲,8c,8月所在直线为x,»z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以3（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,4（0,0,2）,A（2,0,2）,G（0,2,2）,

£（l,l,0）,F（0,2,l）.

由题设O（a,0,2）（0«aW2）.

（1）因为丽=（0,2,1）,方=。一。,1,一2）,

所以BF-DE=0x（l-a）+2xl+Ix（-2）=0,所以BF_LDE.

（2）设平面DEE的法向量为蔡=（x,y,z）,

因为方=（T,1』）,诙=（1_。,卜2）,

m-EF=Q卜x+y+z=0

所以〈_一，EPL,、

tn