41 数列的概念（八大题型）

4．1数列的概念【题型归纳目录】题型一：数列的有关概念和分类题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式题型三：数列通项公式的简单应用题型四：递推公式的应用题型五：前项和公式与通项的关系题型六：数列单调性的判断题型七：求数列的最大项与最小项题型八：周期数列【知识点梳理】知识点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．知识点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项．知识点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号．类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的．数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项．知识点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项．知识点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．知识点三、数列的通项公式与前n项和数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．知识点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的．如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是．（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．数列的前n项和数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；与的关系当时；当时，故．知识点四、数列的表示方法通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．12…………图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：数列：，1，5，9，13，…，可用递推公式：，表示．数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：，，表示．知识点五、数列与函数（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上．数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式．数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项．（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式．【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．2、求数列最大（小）项的方法（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．（2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解大小即可确定．题型一：数列的有关概念和分类例1．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列C．数列的第k项为D．数列0，2，4，6，可记为【答案】C【解析】对A，数列可为常数数列，A错误；对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；对C，当时，，C正确；对D，数列中的第一项不能用表示，D错误.故选：C例2．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是（

）A．数列可表示为集合B．数列，，，与数列是相同的数列C．数列的第项为D．数列，可记为【答案】C【解析】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误；C中第项为，正确；D中，错误.故选：C例3．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（

）A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数B．数列的项数一定是无限的C．数列的通项公式的形式是唯一的D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式【答案】A【解析】对于A，由数列定义知，A正确；对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误；对于C，数列的通项公式可以为，也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误；对于D，该数列的通项公式可以为，D错误.故选：A变式1．（2023·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【答案】B【解析】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；就是③的一个通项公式，③错误；设，则，所以，，所以④正确.故选：B.变式2．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（

）①数列与数列是同一数列；②数列的第项是；③数列中的每一项都与它的序号有关.A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】对于①，数列与数列的顺序不一样，故不是同一数列；对于②，数列的第项，即把代入，故数列的第项是；对于③，根据数列的定义，数列中的每一项都与它的序号有关；故选：B变式3．（2023·高二课时练习）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B【方法技巧与总结】（1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．（2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外．题型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式例4．（2023·全国·高二随堂练习）根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式．(1)

(2)

【解析】（1）有，，，故；（2），，，故.例5．（2023·高二课时练习）观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【解析】（1）因为，，原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5，故.（2）由，原数列可化为，，，，，，，…，可得.（3）由，，原数列可化为，，，，，，，得.（4）因为原数列可化为，，，，…，所以.例6．（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.【解析】（1）根据数列的规律可知其是偶数数列，于是空格填，符合的通项为；（2）根据数列的规律发现后一个数是前一个数的倍，故三个空分别填，符合的通项为；（3）根据数列的规律发现后一个数比前一个数少，故三个空分别填，符合的通项为；（4）根据数列的规律可知其是每个正整数的平方，故两个空分别填，符合的通项为.变式4．（2023·高二课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．(1)(2)(3)【解析】（1）设第项的点数为，，，，，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：（2）设第项的点数为，，，，，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：（3）设第项的点数为，，，，，该数列的第项为，数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：变式5．（2023·高二课时练习）写出以下各数列的一个通项公式，并根据你写的通项公式求出各数列的第10项.(1)；(2).【解析】（1）由知，第一项分母为2，第二项分母，第三项分母，依次规律，第n项分母为，所以通项公式，故.（2）先不考虑符号，第一项1，第二项3，第三项5，第四项7，故第n项，再考虑符号，可得.故.变式6．（2023·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式：(1)，，，，，…；(2)1，，，，，…；(3)6，66，666，6666，66666，…；(4)2，0，2，0，2，…．【解析】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列，则（2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增，故（3）9，99，999…的一个通项公式为则6，66，666…的一个通项公式为（4）1，1，1，1，1，…．的一个通项公式为，则2，0，2，0，2，…．的一个通项公式为.变式7．（2023·高二课时练习）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1)0，1，0，1，…；(2)7，77，777，7777，…；(3)，，，，…；(4)，，，，…．【解析】（1）根据所给数列可得，.（2）根据所给数列可得，（3）根据所给数列可得，（4）根据所给数列可得，【方法技巧与总结】根据数列的前几项求通项公式的解题思路（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等．（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．（3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．题型三：数列通项公式的简单应用例7．（2023·河南周口·高二统考期末）将等差数列按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第5个数是.【答案】583【解析】记每一行的第1个数组成数列则累加得所以则第20行从左到右的第5个数是故答案为：583例8．（2023·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）数列1，2，，，，…，则是这个数列的第项．【答案】8【解析】原数列前几项可以看为，，，，，根据此规律可得数列通项公式为.令，则.故答案为：8.例9．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校考阶段练习）1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：，，1，，，，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”、“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯波得定则”．根据规律，新数列的第8项为．【答案】/【解析】原数列，从第项起，每一项是前一项的两倍，所以其第项为，新数列，是将原数列的对应的项：先加，然后除以所得，所以，新数列的第项为.故答案为：变式8．（2023·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为．【答案】55【解析】1，1，2，3，5，8，13，21，，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，，，故则该数列的第10项为55.故答案为：55．变式9．（2023·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第个数是【答案】/【解析】可写为：，第个数为，则第个数为.故答案为：.变式10．（2023·河南信阳·高二统考期中）数列，，，，，，，，，，，…，则该数列的第28项为．【答案】【解析】由题可知，数列的各项分母为的有个，因为，所以数列的第28项为.故答案为：.【方法技巧与总结】（1）利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．（2）判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．题型四：递推公式的应用例10．（2023·黑龙江佳木斯·高二校考期中）已知数列中，，，则其第3项为．【答案】【解析】因为，所以，故，所以.故答案为：例11．（2023·湖北恩施·高二校考阶段练习）在数列中，，，则．【答案】2022【解析】因为，所以，所以，所以是常数列，又，所以．故答案为：2022.例12．（2023·高二课时练习）已知数列满足，，则．【答案】【解析】因，，则，，.故答案为：.变式11．（2023·高二课时练习）2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．【解析】依题意，可知，，，，，，而且，由图可知，在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆，即得到第个“三角形数”图案，因此，为数列的一个递推关系．【方法技巧与总结】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项．题型五：前项和公式与通项的关系例13．（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式.【解析】时，，时，，不适合上式，数列的通项公式为.例14．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式．(1)；(2)．【解析】（1）当时，，又满足，故；（2）当时，，当时，，故例15．（2023·甘肃临夏·高二临夏中学校考期中）已知数列的前n项和为.(1)求，；(2)求这个数列的通项公式.【解析】（1）因为数列的前n项和为，所以，则；（2）当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式.变式12．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由．【解析】（1）由可得：当时，，当时，，也符合上式，所以（2），因此，故，故当时，，故，当时，，故此时单调递减，故当时，取最大值，，因此不存在正整数，使得成立.变式13．（2023·高二单元测试）数列满足，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值；(3)设函数是与n的最大者，求的最小值．【解析】（1）由，当时，，两式相减得，则，因为，所以，所以，则，以上各式相乘得：，所以，当时，上式也成立，所以；（2），故当或时，取得最小值，所以；（3），当时，，当时，，故，当时，，则，当时，，则，因为，所以.变式14．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．(1)求的值；(2)求数列的通项公式．【解析】（1）由，得，即，解得：(舍或.（2）由，得，即或（舍）当时，．当时，．验证时上式成立，．变式15．（2023·全国·高二周测）已知数列满足，求数列的通项公式．【解析】∵，∴当时，，两式相减得，∴.又∵当时，，∴，满足.∴.变式16．（2023·陕西渭南·高二统考期末）设数列满足，则（

）A．7 B． C． D．【答案】C【解析】令，可得，令，可得，两式相减可得，所以.故选：C.变式17．（2023·四川·校联考三模）已知数列满足，则的通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，有，所以，当时，由，，两式相减得，此时，，也满足，所以的通项公式为.故选：B.【方法技巧与总结】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式．题型六：数列单调性的判断例16．（2023·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知，则数列是（

）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定【答案】A【解析】由题意可知，即从第二项起数列的每一项比它的前一项大，所以数列是递增数列；故选：A例17．（2023·广西桂林·高二统考期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A.例18．（2023·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．变式18．（2023·河南焦作·高二统考期中）已知数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【解析】由题意得数列为递增数列等价于“对任意恒成立”，得，即对任意恒成立，故，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选：A.变式19．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知，，若数列满足，对任意都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，为递减数列，则，可得.故选：C变式20．（2023·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故选：C【方法技巧与总结】1、判断数列的单调性的方法（1）作差比较法：⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列．（2）作商比较法：ⅰ．当时，则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列；ⅱ．当时，则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列．题型七：求数列的最大项与最小项例19．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式是，试问数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．【解析】因为，所以当时，；当时，；当时，．于是，数列的第8项和第9项为最大项，且，即最大项为.例20．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．【解析】因为，所以，又，所以当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，又，所以存在最大项，不存在最小项.综上可得当时单调递增，当时单调递减，存在最大项，不存在最小项.例21．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为．(1)写出这个数列的前5项．(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？【解析】（1）由题设，，，，.（2）由，对应二次函数开口向上且对称轴为，所以有最小项，为第四项.变式21．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式为，判断该数列是否有最大项．若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由．【解析】因为，所以，所以当时，，当时，，即；当时，．所以数列有最大项，第8项和第9项最大．变式22．（2023·高二课时练习）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．【解析】，，而，，若要最大，则需要取最小正数，则当时，最大，若要最小，则需要取最大负数，则当时，最小．所以该数列前30项中的最大项为，最小项为.变式23．（2023·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴数列为递增数列，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有：当为奇数时，则，故，即；当为偶数时，则，故，即；综上所述：实数c的取值范围是.故选：B.变式24．（2023·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）若数列满足，若恒成立，则的最大值（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由于，当时，，即，当时，，又，以上两式相减可得，得，上式对也成立，所以恒成立即为恒成立，由为递增数列，得的最小值为，所以，即的最大值为.故选：C.【方法技巧与总结】可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项．题型八：周期数列例22．（2023·福建·高二统考期中）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，数列满足，，可得，所以数列构成以3项为周期的周期数列，则.故选：A.例23．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知数列满足且，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】由题意数列满足，则，故由，得，由此可知数列的周期为4，故，故选：B例24．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（

）个A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【解析】由，得，当时，，两式相减得，即，于是，依题意，若，有，则，即是递减数列，由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾，因此，即，于是数列是周期为2的周期数列，当时，由，得，即，从而，所以的可能值有6个.故选：C变式25．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）已知数列满足，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为数列满足，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以．故选:D．变式26．（2023·北京丰台·高三统考期中）数列满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为数列满足，所以，，，，则是以4为周期的周期函数，所以，故选：C.变式27．（2023·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）已知在数列中，，，则数列的周期为

（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【解析】由联想到两角和的正切公式，把换为，则，，，；所以，即.所以数列的周期为6.故选：B.变式28．（2023·北京东城·高二东直门中学校考期中）数列满足,若．则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则，因为，所以，因为，所以，因为，所以，……，故为周期数列，最小正周期为4，，故故选：D变式29．（2023·河北·高三校联考阶段练习）若数列满足，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.又因为，所以，所以是周期为4的数列，故.故选：B【方法技巧与总结】列举法【过关测试】一、单选题1．（2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）已知数列的前项和，则的值为（

）A．125 B．135 C．145 D．155【答案】D【解析】由题意可得：，所以.故选：D.2．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.故选：B3．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）设数列满足，则（

）．A．4 B．4 C． D．【答案】D【解析】由，则，则，，则.故选：D.4．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】观察可知，该数列的一个通项公式为.故选：D.5．（2023·江苏苏州·高二统考期中）数列中，，，则（

）A．77 B．78 C．79 D．80【答案】D【解析】依题意，，所以，由，解得.故选：D6．（2023·湖南·高二校联考期中）已知数列中，，，则等于（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的周期数列，又，所以，故选：D.7．（2023·江苏·高二海安市曲塘中学校考期中）记正整数的最大公约数为，例如，．已知数列的前项和为，且，则（

）A．50 B．75 C．100 D．1275【答案】B【解析】依题意，，以此类推……，可知当时：当为奇数时，当为偶数时，，所以.故选：B8．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】C【解析】；；，，当时，，所以，所以数列中的最大项的项数或.故选：C二、多选题9．（2023·江苏苏州·高二校考阶段练习）某地年月日至年月日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．数列是递增数列 B．数列不是递增数列C．数列的最大项为 D．数列的最大项为【答案】BC【解析】由每日确诊病例变化曲线图可知：数列一开始是先递增到，再递减至，即数列不是递增数列，故A选项错误，因为年月日没有确诊病例，所以，数列不是递增数列，B选项正确．由每日确诊病例变化曲线图可知：数列的最大项是第项，即是最大项，故C选项正确．由每日确诊病例变化曲线图可知：第天以后，每天还是有确诊病例，故数列的最大项不是．故选：BC．10．（2023·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期末）已知数列满足，若，则下列是数列的项的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因为数列满足，且，则，，，，以此类推可知，对任意的，，故选：ABD.11．（2023·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，记数列的前n项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，，得，，故A正确；又，所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故B正确；，故C错误；因为，，所以，故D正确．故选：ABD．12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由题意，，故A正确，，故C正确；，，，∴数列是周期数列，周期为3．，故B错误；，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．（2023·福建龙岩·高二校考阶段练习）数列

的一个通项公式为.【答案】【解析】可化为，所以分子部分为，分母部分为，奇数项为正，偶数项为负，则，则.故答案为：14．（2023·辽宁大连·高二育明高中校考期中）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.