专题11 等腰三角形与其他知识的综合（原卷版）

专题11等腰三角形与其他知识的综合（原卷版）类型一等腰三角形与平行线、角平分线的综合1．（2022秋•洛江区期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115˚2．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．3．（2020秋•延边州期末）如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE＝DB．（2）如图②，点E在边AB上时，AEDB（填：“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若AB＝1，AE＝2时，直接写出CD的长．类型二等腰三角形与垂直平分线的综合4．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．128° D．118°5．（2024秋•湛江期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．6．（2020秋•休宁县期中）如图，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求BE的长度．

7．（2022秋•亳州期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）求证：PB＝PC+2PE．类型三等腰三角形与几何变换的综合8．（2011秋•鼓楼区校级期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A′E′是∠CE′D′的角平分线；（3）试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

9．（2015•赵县一模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？10．（2021春•漳州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直