用插值法求抛物线的解析式

用拉格朗日插值法求抛物线的解析式李立波在数学的学习过程中，我们总是在不断总结规律，尽量得出一些形式化的结论.比如我们用配方法已经能够很好地解决一元二次方程根的求解问题,但是我们仍不满足,进而我们又有了公式法这一利器.今天,笔者想就抛物线解析式的求法作一下类似的探究.在初中阶段我们主要利用待定系数法求抛物线(指对称轴与x轴垂直的抛物线,本文中的抛物线均是该类型)的解析式.下面笔者就介绍一种更加直接的方法：拉格朗日插值法.引理:若抛物线y二ax2+bx+c(a丰0)经过抛物线y二ax2+bx+c(a丰0)上的三点A(x,y)、111111B(x,y)、C(x,y)，则必有a二a,b二b,c二c.2233111证明：TA(x,y)、B(x,y)、C(x,y)在抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)上112233x,x,x互不相等123•・•抛物线y二aix2+bix+ci和抛物线y二ax2+bx+c都经过点A.ax2+bx+c=0 ①11ax2+bx+c=0②11111①一②，得：(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=011111同理：(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=0,(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=01212113131/.x,x,x是(a—a)x2+(b—b)x+(c—c)=0的三个根123111由代数基本定理可知，必有a-a1=°,b-b1=°,c—c1=0即a=a,b=b,c=c111该引理说明如果过三个点有一条抛物线,那么它必定是唯一的一条.定理：若一条抛物线经过A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)三点，则它的解析式为112233y=yiXy=yiX(x—x)(x—x) (x—x)(x—x)2 3 +yx 1 3-(x—x)(x—x) 2(x—x)(x—x)1 2 1 3 2 1 2 3(x—x)(x—x)+yx1 2-3 (x—x)(x—x)3 1 3 2③.证明：•A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)在同一抛物线上y—yx,x,x互不相等并且——1丰x—x31TOC\o"1-5"\h\z123 x—x—x3121故③式一定存在，下面证明它是一个二次函数:yyy在③式中x2的系数为 1 + 2 + 汁(x—x)(x—x) (x—x)(x—x)(x—x)(x—x)1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

整理,得(y-y)(x-x整理,得(y-y)(x-x)-(y-y)(x-x)2 1 3 1 3 1 2 1—(x-x)(x-x)(x-x)1 2 1 3 2 3x-xx-x2 1 3 1・•・(y2-人)(語—T-(y厂人)(x2-T丰0故在③式中x2的系数不为0.(x-x)(x-x)・y=yx 2 3 +yx1(x-x)(x-x) 2(x-x)(x-x)1 2 1 3 2 1一条抛物线.(x-x)(x-x) (x-x)(x-x)i3 +yx1 -3(x-x)(x-x)2 3 3—是一个二次函数，其图象是容易验证:当x二％时，y二帯当x二时,y二y2；当x二"3时'y二y3.由引理知：过A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)三点的抛物线解析式必为③式.1 1 2 2 3 3注:③式是我们用拉格朗日插值公式构造的.例:已知一抛物线经过A(0,—l),B(l,0),C(—1,2),求其解析式.解:所求抛物线的解析式为y=解:所求抛物线的解析式为y=-1Xx(x+1),2x(1-0)(1+1)x