第1章勾股定理-同步能力达标训练2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步能力达标训练（附答案）1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米2．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定3．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m4．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣6＝（10﹣x）2 B．x2﹣62＝（10﹣x）2 C．x2+6＝（10﹣x）2 D．x2+62＝（10﹣x）25．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米6．给出下列四个说法：①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）A． B． C． D．8．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16 B．25 C．144 D．1699．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B． C．D．10．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（）A．9 B．12 C．15 D．1811．如图两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．6412．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形 C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形13．三角形的三边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A． B．a2﹣b2＝c2 C．a2＝（b+c）（b﹣c） D．a：b：c＝13：5：1214．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（）A．50 B．36 C．47 D．6415．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．16．如图，已知在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝．17．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为5，最短的边长为3，则图中阴影部分的面积为．18．在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为．19．在正方形网格中，A、B、C、D均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，过C作CF∥BD交ED于F．（1）若∠A＝36°，求∠CFD的度数；（2）若BC＝5，AB＝13，求AD的长度．21．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．22．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？23．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD＝3，求AD的长．

参考答案1．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．故选：C．2．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．3．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．4．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝10﹣x，BC＝6，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．故选：D．5．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝10m，故选：B．6．解：①由于0.32+0.42＝0.52，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误；②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a2+b2＝c2，故③说法正确；④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确．故选：C．7．解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．故选：B．8．解：根据勾股定理得出：AB＝5，∴EF＝AB＝5，∴阴影部分面积是25，故选：B．9．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．10．解：过点A作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝18＝9，∴AD＝12（cm），∴它底边上的高为12cm；故选：B．11．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．12．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．13．解：A、∵，b＝，c＝，∴b2+c2≠a2，即此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；B、∵a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵a：b：c＝13：5：12，∴b2+c2＝a2，即此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．14．解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4，∵所有的三角都是直角三角形，∴SA+SB+SC+SD＝SF，∴S＝47，故选：C．15．解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′＝10cm．故答案为：10．16．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．故答案为：2π．17．解：∵直角三角形斜边长为5，最短的直角边边长为3，∴该直角三角形的另外一条直角边长为4，∴S阴影＝52﹣4××3×4＝1．故答案是：1．18．解：如图1，△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，由勾股定理得，BD＝16，在Rt△ADC中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得，DC＝5，则BC的长为BD+DC＝9+16＝21，△ABC的周长为：13+20+21＝54，如图2，同（1）的作法相同，BC＝11，△ABC的周长为：13+20+11＝44，故答案为：44或54．19．解：如图所示，把△ADE移到△CFG处，连接AG，此时∠DAE＝∠FCG，∵CF∥BD，∴∠BAC＝∠FCA，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠FCA﹣∠FCG＝∠ACG，设小正方形的边长是1，由勾股定理得：CG2＝12+32＝10，AC2＝AG2＝12+22＝5，∴AC2+AG2＝CG2，AC＝AG，∴∠CAG＝90°，即△ACG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∴∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45°．20．证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠DBC＝27°，∴∠BDC＝63°，∵CF∥BD，∴∠DCF＝∠BDC＝63°．∵∠CDF＝∠ADE＝54°，∴∠CFD＝180°﹣∠DCF﹣∠CDF＝63°．（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝13，∴AC＝12，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴DC＝DE，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴AD＝12×＝．21．解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，∴A