分层随机抽样教学设计公开课

本小节的主要内容为分层随机抽样.教材首先通过实例让学生体会分层随机抽样的必要性，再结合实例介绍分层随机抽样的概念、各层样本量比例分配方法、样本均值和总体均值的计算，最后通过多次重复抽样的方法了解样本均值和总体均值之间的关系。

一、教学目标1.理解分层随机抽样的概念，了解分层随机抽样的特点、适用范围和必要性;掌握各层样本量比例分配的方法，会用分层抽样得到的样本均值估计总体均值。2.在课程中引导学生理解抽样方法的多样性，能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据；3.关注学生统计观念的形成，强化抽样思想，和用样本估计总体的思想。二、重难点重点：分层随机抽样的特点、适用范围和步骤；难点：比例分配分层随机抽样中，用样本均值估计总体均值。

教材分析

1.上一小节已经提到简单随机抽样在实施中有其不足之处.小节引言主要是对简单随抽样可能产生“极端”样本的讨论，让学生体会改进抽样方法的必要性。在高一年级学生中实施简单随机抽样，样本可能出现大部分是高个子或矮个子的“极端”的样本，使得样本均值大幅度地偏离总体均值.显然，从估计的角度来看“极端”样本是“坏”样本.为了尽可能避免“极端”样本的出现，提高样本的代表性，需要从抽样方法上作改进.

2.问题3在问题1背景的基础上，增加了男女生人数的信息.目的在于为改进简单随机抽样，引入分层随机抽样提供辅助信息，问题3的解决过程体现了分层随机抽样解决问题的思路.在引入分层的思想之前，应该引导学生分析导致简单随机抽样出现“极端”样本的原因，一是总体中个体之间差异较大，二是样本抽取的随机性。这可以明确解决问题的方向是如何减少总体中个体之间的差异，而较为有效的办法是将总体划分为组内差异小、组间差异大的若干子总体，再对各子总体分别进行简单随机抽样并汇总。这样抽取的样本由于在各个子总体中都有代表，可以减少“极端”样本出现，从整体上具有更好的代表性。

3.借助辅助变量划分总体.因为总体身高的情况在调查之前是不知道的，所以无法直接把总体划分为层内身高差异小、层间身高差异大的若干子总体，通过对性别与身高的关系分析，可以发现性别和身高存在密切相关，男生身高相对高，女生身高相对矮，而且男女生人数的信息是已知的.利用性别这个辅助变量，可以把高一年级学生这个总体划分成符合要求的两个子总体.因此，划分总体的辅助变量需要与关注的指标密切相关，这样划分才会有意义，而且要能确定划分后的各子总体所含个体数或比例关系.4.确定样本量在各子总体之间的分配.各子总体中样本量的分配方式不止一种，教材设置了一个思考栏目，“对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？”对于男、女生中样本量的分配，学生比较容易想到的是按比例抽取男、女生的样本量，人数多的多抽，人数少的少抽，使得每个学生抽到的概率相等，这其实就是高中阶段需要掌握的比例分配.教学中，也可以提供另一种比较简单的样本分配方式——等额分配供学生讨论，即对男、女生抽取一样多的个体数.等额分配由于没有考虑男、女生人数，从直觉上判断似乎没有比例分配更合理.样本量对估计精度的影响的准确计算需要用到很多概率知识.在实际研究中，样本量的分配是一个比较复杂的问题，不仅要考虑不同分配方式对估计精度的影响，而且还要考虑各层抽样调查费用的影响.显然，这些不在高中阶段讨论的范围内.5.教材以样本量为50为例，用简单随机抽样分别从男、女生中抽取23人和27人，计算男生、女生身高的样本平均数分别为170.6,160.6.由于170.6可以作为男生平均身高的估计，160.6可以作为女生平均身高的估计，教材把作为总体平均数的估计.上式通过适当变形,还可以写成如下形式从中容易看出，这个估计量就是男生、女生身高的样本平均数的加权平均数，权分别为各自人数在所有学生数中所占的比例，即各层在总体中所占的比例.对各层样本平均数加权（层权）求和是分层随机抽样中构造估计量的一般思路.6.在高一学生身高分层随机抽样调查的基础上，教材给出了分层随机抽样和比例分配的一般性定义。分层随机抽样有三个条件：一是每层都抽样；二是各层都是独立地抽样；三是各层的抽样都是简单随机抽样，对于分层随机抽样计算总体均值和样本均值，教材只对最简单的2层的情形用符号进行了表示，在分层随机抽样中，总体平均数和样本平均数分别为

这两个平均数具有相同的形式和结构,但对总体平均数的估计,一般并不能直接用样本平均数,而是需要用各层样本平均数关于层权的加权平均数

只有在比例分配的分层随机抽样中,因为

我们才可以直接用样本平均数估计总体平均数.从直观上解释,比例分配的分层随机抽样是一种等概率抽样,样本在总体的分布已经比较均匀,不需要用权进行调整.

7.样本量比例分配的分层随机抽样的一般步骤如下:(1)根据已掌握的信息,将总体分成互不相交的L层,;(2)根据总体中的个体数N,各层中的个体数和样本容量n,计算第i层抽取的个体数,使得各ni之和为n;（3）在各层中,用简单随机抽样方法抽取步骤（2）确定的个体数,合在一起得到容量为n'的样本.在步骤（3）中,经常会遇到不是整数的情况,在实际应用中有不同的处理方法.教学中,可以先按的整数位分配样本,对剩余的样本量,再按各层小数位的大小,从大到小逐个分配,直到分配完为止,这样各ni之和等于n.在实际调查中,一般分层随机抽样都是应用于总体较大的情况,样本量也都较大,一个层多抽取一个或少抽取一个样本对后续的估计不会有太大的影响.

8.为了直观感受比例分配分层随机抽样的估计效果,教材设置了一个探究栏目,抽取10个容量为50的样本,计算各样本的平均数.为了便于与简单随机抽样比较,把分层随机抽样和简单随机抽样的平均数画在同一图上.从抽样的结果看,虽然简单随机抽样的结果大多数并不比分层随机抽样差,但确实出现了一个比较“极端”的样本.

当然,教学中也可以引导学生进一步讨论,在这些抽样结果中,为什么分层随机抽样没有明显好于简单随机抽样.原因可能是多方面的,例如,这只是10次的抽样结果,在一定程度上也存在偶然性,比较两种方法需更多次试验,即由于结果具有随机性,好的统计方法并不意味着每次都会有好的结果;男生层内的身高差距和女生层内的身高差距,相对男女生层间的身高差距来