5.2.2 同角三角函数的基本关系6种常见考法归类（原卷版）

5.2.2同角三角函数的基本关系6种常见考法归类1、同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2α＋cos2α＝1同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1商数关系eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三点：（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．2、已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法(1)若已知sinα＝m，可以先应用公式cosα＝±eq\r(1－sin2α)，求得cosα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(2)若已知cosα＝m，可以先应用公式sinα＝±eq\r(1－cos2α)，求得sinα的值，再由公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)求得tanα的值．(3)若已知tanα＝m，可以应用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝m⇒sinα＝mcosα及sin2α＋cos2α＝1，求得cosα＝±eq\f(1,\r(1＋m2))，sinα＝±eq\f(m,\r(1＋m2))的值．(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．3、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．4、正、余弦齐次式的计算(1)已知tanα＝m，可以求eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)或eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的．(2)对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值．(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．5、sinθ±cosθ与sinθcosθ之间的关系(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ，利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．(2)求sinθ＋cosθ或sinθ－cosθ的值，要注意判断它们的符号．6、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值考点二利用同角三角函数的基本关系化简、求值考点三正、余弦齐次式的计算考点四由条件等式求正、余弦考点五sinθ±cosθ型求值问题考点六三角函数恒等式的证明考点一已知一个三角函数值求其他三角函数值1．（2023上·四川·高三统考学业考试）已知，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·高二统考学业考试）已知，且，则（

）A． B． C． D．4．（2023上·上海静安·高三上海市市西中学校考开学考试）设为第二象限角，若，则.5．（2023·全国·高一随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；（2）已知，在第二象限，求，的值；（3）已知，求，的值；（4）已知，求，的值．考点二利用同角三角函数的基本关系化简求值6．（2023上·江苏·高一专题练习）化简：(1)－；(2)；(3)．7．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值(1)；(2)．8．（2023·全国·高一随堂练习）化简：．9．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高一课堂例题）化简：(1)；(2)．考点三正、余弦齐次式的计算11．（2023上·山东青岛·高二校考期中）已知，则.12．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知，则.13．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.14．（2023上·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）若，那么．15．（2023·全国·高三专题练习）如果，那么，，．16．（2023上·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．17．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知，(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．18．（2023下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．19．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知角终边上,且，求的值．考点四由条件等式求正、余弦20．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）若，则21．（2023上·四川南充·高一统考期末）若，则.22．（2023上·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．23．（2023上·高一课时练习）若，，则（

）A． B． C． D．24．（2023下·浙江·高二校联考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．25．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知，那么的值为（

）A．6 B．4 C．2 D．0考点五sinθ±cosθ型求值问题26．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知，且则的值为（

）A． B． C． D．27．【多选】（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．28．【多选】（2023上·山东德州·高一校考阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．29．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知是第四象限角，且满足，则．30．（2023上·江苏·高一专题练习）已知（），求和的值．31．（2023上·广东深圳·高一深圳外国语学