高二下学期期末学业水平监测数学理试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2013-2014学年江苏省常州市高二（下)期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分）1．已知复数z1=1+i，z2=m﹣i（m∈R，i是虚数单位），若z1•z2为纯虚数，则m=_________．2．二项式(x﹣）6的展开式中第5项的二项式系数为_________．（用数字作答)3．若随机变量X～B（3，），则P（X=2）=_________．4．计算：+=_________．（用数字作答）5．抛掷一颗质地均匀的骰子，设A表示事件“正面向上的数字为奇数”、B表示事件“正面向上的数字大于3"，则P（A｜B）=_________．6．用0，1，2，3四个数字,组成没有重复数字的四位数，则其中偶数的个数为_________．7．已知函数f（x)=sin（2x﹣),那么f′（）的值是_________．8．记n!=1×2×…n（n∈N*），则1!+2！+3!+…+2014!的末位数字是_________．9．已知随机变量X的概率分布如下表所示,且其数学期望E（X）=2，X0123Pab则随机变量X的方差是_________．10．已知在等比数列{an｝中，若m+2n+p=s+2t+r，m,n，p，s，t，r∈N＊，则am•an2•ap=as•at2•ar．类比此结论，可得到等差数列｛bn｝的一个正确命题，该命题为：在等差数列{bn｝中，若m+2n+p=s+2t+r,m，n，p，s，t，r∈N＊,则_________．11．设正四棱锥的侧棱长为3，则其体积的最大值为_________．12．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和,若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为_________．13．已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，且f′（x)=0的两根为0和2，若函数f（x）在开区间（2m﹣3，）上存在最大值和最小值，则实数m的取值范围为_________．14．某宿舍的5位同学每人写一张明信片并放在一个不透明的箱子中，每人从中任意取出一张，记一个“恰当”为有一位同学取到的明信片不是自己写的，用ξ表示“恰当”的个数,则随机变量ξ的数学期望是_________．二、解答题(本大题共6小题，共80分）15．(12分)某小组有4名男生，3名女生．（1)若从男，女生中各选1人主持节目，有多少种不同的选法？（2）若从男,女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻,共有多少种不同的排法？16．（12分）设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4(2）（a0+a2+a4）2﹣(a1+a3+a5）2．17．（12分）已知函数f(x)=(x＞﹣1）．(1)求曲线y=f（x）在点（1，f（1)）处的切线方程；（2）求f(x）的最小值．18．(14分)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中恰有2个是奇数的概率；（2)设X为所取3个数中奇数的个数,求随机变量X的概率分布及数学期望．19．(15分)已知数列{an}的首项a1=1，设Tn=a1+a2+a3+…+an+an+1(n∈N*）．（1）若数列｛an}是等差数列，且公差d=2,求Tn;（2)若数列{an｝是等比数列,且公比q=2．①求Tn;②用数学归纳法证明：Tn＞n2+2n（n∈N＊，n≥2)．20．（15分）已知函数f(x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3)若方程f(x）=0在区间［，e］上有且只有一个解,求实数a的取值范围．三、选做题(在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4—1:几何证明选讲】21．（10分）如图，AB为圆O的直径,BC与圆O相切于点B，D为圆O上的一点，AD∥OC，连接CD．求证:CD为圆O的切线．【选修4—2：矩阵与变换】22．已知矩阵A=，向量=，求矩阵A的逆矩阵，及使得A=成立的向量．【选修4-4：坐标系及参数方程】23．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，），半径为1，求圆C的极坐标方程．【选修4—5：不等式选讲】24．求函数y=+的最大值．

二、解答题(本大题共6小题，共80分）15． 解:（1）完成这是事情可分为两步进行：第一步,从4名男生中选1名男生，有4种选法,第二步，从3名女生中选1名女生，有3种选法，根据分步计数原理,共有4×3=12种选法答：有12种不同的选法；（2）完成这是事情可分为四步进行:第一步第一步,从4名男生中选2名男生，有=6种选法,第二步，从3名女生中选2名女生，有=3种选法,第三步,将选取的2名男生排成一排，有=2种排法，第四步，在2名男生之间及两端共3个位置选2个排2个女生，有=6，根据分步计数原理，不同的排法种数为6×3×2×6=216答：有216种不同的排法．16． 解:当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时,a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0)（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×(﹣243）=﹣24317． 解：(1)∵f（x）=,∴f′（x）=，∴f′(1）=，∵f（1）=，∴曲线y=f（x）在点(1，f(1））处的切线方程为ex﹣4y+e=0;(2)令f′(x）=0,可得x=0，x∈(﹣1，0）时，f′（x）＜0,函数单调递减，x∈（0，+∞)时,f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，f(x）的最小值为1．18． 解：（1）记“3个数中恰有2个是奇数”为事件A，从9个自然数中，任取3个不同的数，共会出现=84种等可能的结果，其中3个数中恰有2个是奇数的结果有=40种，故这3个数中恰有2个是奇数的概率P（A）=．（2）由题意得X的取值范围为0,1，2，3，P（X=0)=，P（X=1）==,P（X=2）=，P（X=3）=，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P EX==．19． 解：（1）由题意得，an=2n﹣1，∵=，Tn=a1+a2+a3+…+an+an+1，∴Tn=an+1+an+…+a2+a1=an+1+an+…+a2+a1，…2分∴2Tn=(a1+an+1）+（a2+an）+…+（an+a2）+(an+1+a1)，=（a1+an+1）（++…++）=（1+2n+1）2n,∴Tn=（n+1）•2n…4分（2）①由题得，an=2n﹣1，Tn=a1+a2+…+an+an+1=+2+22+…+2n﹣1+2n=（1+2）n=3n…7分②证明：（i）当n=2时，T2=32=9,22+2×2=8，T2＞8，不等式成立，…9分（ii)假设n=k（k∈N，k≥2）时，不等式成立，即3k＞k2+2k,…10分当n=k+1时,3k+1=3•3k＞3（k2+2k）…11分∵3（k2+2k）﹣［(k+1）2+2（k+1）]=2k2+2k﹣3，∵k≥2，∴2k2+2k﹣3＞2k﹣3＞0，∴3k+1＞（k+1）2+2（k+1）．即当n=k+1时,不等式也成立…14分根据(i）（ii）可知，对任意n∈N*（n≥2),不等式成立…15分20． 解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣2lnx,x＞0,∴f′（x)=,令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜﹣1(舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在(0,1）递减,在（1，+∞)递增,∴x=1时，f(x)取到极小值f(1）=1，(2）∵f′（x）=，x＞0,①a≤0时,f′（x）＞0,f（x）在（0，+∞）递增，②a＞0时,令f′（x）＞0,解得:x＞，x＜﹣（舍），令f′(x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减,在（,+∞)递增;综上：a≤0时，f（x）在（0,+∞）递增a＞0时，f（x)在（0,）递减，在（，+∞)递增；（3)由题意得：方程a=在区间［，e］上有且只有一个解,令g（x)=，则g′（x）=,令g′（x）=0，解得：x=,∴g（x）在(，）上递减，在（，e）递增,又g（）=＜g（e）=e2，∴方程a=在区间[,e]上有且只有一个解时，有＜a≤e2，或a=2e，∴实数a的取值范围时：｛a｜＜a≤e2或a=2e｝．三、选做题（在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】21． 证明：连接OD,∵AD∥OC，∴∠A=∠COB,∠ADO=∠COD，∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS)，∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．22． 解：矩阵的行列式为=﹣2，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1=,∴=A﹣1=．23． 解：在圆C上任意取一点P(ρ，θ）