二次方程和二次函数中隐含条件

中的

隐含条件一元二次方程和二次函数一元二次方程形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程。当Δ=b2–4ac≥0时，该方程有两个实数根，设两根为x1和x2，则有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a；二次函数形如y=ax2+bx+c（a≠0）

的函数。当Δ=b2–4ac≥0时，该函数图象（抛物线）与x轴有交点，设为A（x1，0）和B（x2，0），则x1和x2

是方程ax2+bx+c=0（a≠0）

的两个实数根。请同学们注意：（1）一元二次方程和二次函数之间的紧密联系！（2）有没有“方程有实数根”或“抛物线与x轴有交点”之类的条件（明的或隐藏的）？如果有，那么首先必须满足什么条件？请同学们做下面的练习题：例1：设α、β是关于x的方程x2-(2k–1)x+3=0的两实数根，求α2+β2

的最小值。

例2：关于x的方程x2-(m2–2)x+4m=0两根的倒数和为1/4，则m的值是（）。（A）-1；（B）2；（C）-1或2；（D）-2或1。从例1的正确解答中，你是否认为你所选的答案C可能有问题呢？让我们来验证一下：Δ=(m2–2)2–16m，当m=-1时，Δ=？

有问题吗？那么当m=2的时候呢？正确答案应该是（）A请问你做对了吗？请你千万要注意“有实数根”这一隐含条件！

解：由韦达定理，α+β=2k-1，αβ=3，则α2+β2=(α+β)2-2αβ=(2k-1)2

–6,∵原方程有实数根，即Δ=（2

k–1）2-12≥0，∴（2k–1）2≥12,

则(2k–1)2-6≥6,∴α2+β2

的最小值是6。下面各题该怎样解答？各需注意什么问题？1.如果方程x2–3x+2p+4=0的两根同号，求p的取值范围。2.函数y=x2+(k2–3k–4)x+2k的图象交x轴于A、B两点，且A、B关于原点对称，求k的值。3.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于点O，且AO、BO的长是方程x2–(2m–1)x+4(m–1)=0

的两根，求m的值。(-2<p≤-7/8)(k=-1)(m=4)

在第3题中，除了Δ≥0之外，还有哪些问题需要注意的呢？

两个正根三角形两边之和大于第三边例3：若方程m2x2–(2m–3)x+1=0两根的倒数和为S，求S的取值范围。

解：Δ=(2m–3)2–4m2=-12m+9,∵原方程有实数根，∴Δ=-12m+9≥0，即m≤3/4,设方程两根是x1

和x2，则x1+x2=(2m–3)/m2,x1x2=1/m2,

S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3由一次函数的性质知，S随着m的减小而减小，∵m≤3/4，∴S≤-3/2。问题：1）Δ表示什么？

；

一元二次方程的根的判别式

2）什么叫一元二次方程？；

形如ax2+bx+c=0的方程

（a≠0）的方程

3）正确答案应该是。S≤-3/2且S≠-3例4：函数y=(m–2)x2+2mx+m+3的图象与x轴有交点，求m的取值范围。

解：Δ=(2m)2-4(m–2)(m+3)=-4(m–6)，∵抛物线与x轴有交点，∴Δ=-4(m–6)≥0，∴m≤6。对了吗？又∵m–2≠0，即m≠2，∴m的取值范围是m≤6且m≠2。现在呢？例4：函数y=(m–2)x2+2mx+m+3的图象与x轴有公共点，求m的取值范围。

解：（1）当m–2≠0，即m≠2时，函数图象为抛物线，此时Δ=(2m)2-4(m–2)(m+3)=-4(m–6)，∵抛物线与x轴有交点，∴Δ=-4(m–6)≥0，

得m≤6，又∵m≠2，∴m≤6且m≠2；（2）当m–2=0时，m=2，此时，函数为一次函数y=4x+5，

其图象与x轴有交点。由（1）和（2）得

m≤6且m≠2，或m=2，∴m的取值范围是m≤6。例3与例4的比较例3：若方程

m2x2–(2m–3)x+1=0

两根的倒数和为S，求S的取值范围。例4：函数

y=(m–2)x2+2mx+m+3的图象与x轴有交点，求m的取值范围。问：在例4中，如果将“有交点”改为“有两个交点”，那么题目一样吗？小结所谓的隐含条件，是指那些题目中并没有明确指出,但却确实存在的条件。

隐含条件存在于多种内容的题目之中，除了在一元二次方程和二次函数中比较常见外，在其它内容中也时有所见。如：在二次根式中，字母的取值必须使得被开方式的值不小于零；在分式中，字母的取值必须使得分母的值不为零，如此等等。只要我们认真仔细地阅读题目，从最基本的基础知识入手分析，一般不难发现。另外请大家注意：在发掘隐含条件的同时，不要增设虚假条件！练习：

1.如果方程x2–3x+2p+4=0的两根同号，求p的取值范围。2.函数y=x2+(k2–3k–4)x+2k的图象交x轴于A、B两点，且A、B两点关于原点对称，求k的值。

3.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于点O，且AO、BO的长是方程x2–(2m–1)x+4(m–1)=0的两根，求m的值。4.两个自然数的和是19，求这两个数的乘积的最大值。答案和提示1.-2<p≤-7/8△≥0；2.k=-1△>0;3.m=4

△>0,两个正根，三角形两边之和大于第三边；4.

90

当x=9或x=10时达到，