八年级数学上册第11章数的开方 教案华东师大版

第11章数的开方

11.1平方根与立方根

1.平方根

孽L教与目标

【基本目标】

1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念.

2.理解平方运算与开平方的互逆关系.

3.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根.

【教学重点】

理解平方根与算术平方根概念；会求一个正数的平方根.

【教学难点】

算术平方根的非负性与算术平方根的特征.

产教与亘旌

一、创设情景，导入新课

同学们，2013年6月17时38分神十成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速度V”而

小于第二宇宙速度vz,vi,v2满足v二gR,V2?=2gR,要求vi与vz就要用到平方根的概念.

多媒体展示教科书导图提出的问题，（）2=25.

二、师生互动，探究新知

1.用平方运算求平方根.

【教师活动】自学课本P2到例1止，什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？

【学生活动】小组交流讨论后，代表发言.

【教学说明】教师板书平方根概念

并强调：弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负

数没有平方根.在此基础上完成例1,并注意学生利用平方运算求一个数的平方根时语言的

规范性.

2.算术平方根

【教师活动】正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作&a,正数a的平方根

记作士G,0的平方根是0,0的算术平方根是0.

【学生活动】完成例2.

【教学说明】教师强调用平方运算求平方根，并用数学符号±丁表示平方根，用«表

示算术平方根.

3.利用计算器求算术平方根

【学生活动】用计算器操作.

【教学说明】教师强调：正确的操作程序与精确度.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课堂练习部分，教师根据完成情况指导小组进行点评，特别

是平方根与算术平方根的区别.

四、典例精析，拓展新知

例三角形的三边长为a、b、c且J二2+|b-3|=0,c为偶数，求AABC的周长.

【分析】^表示a-2的算术平方根，故a-220,即而|b-3]20,利

用非负数和为0,则分别为0,求出a、b,再由三边关系求解.

【答案】Z\ABC的周长为7或9.

【教师点拨】a表示a的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0,则各非负数为

0.

五、运用新知，深化理解

1.3a-2的平方根是它的本身，b+1的算术平方根是它本身，则@=,b=.

2.，记的平方根是.

3.n为整数，m=y/3^n+yfn^3+\,则m+n=.

2

【答案】1.—T或02.+23.3或4

3

【教学说明】从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确.如J话先转化为4,再求4

的平方根.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上

教师归纳总结.

；'课后作业

2

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

教学反思

本节课概念较多，从神十飞天入手导入新课，抓住了学生的兴趣点.从正方形的面积为

25,求它的边长，进行平方根与算术平方根的教学.整堂课师生互动，以学生为主体，考虑

到概念课的特殊性，呈现教师引导、学生表达，教师归纳、学生理解模式.

求平方根时，利用平方运算，并适时进行用士/或一表示平方根或算术平方根.典例

精析对a的双重非负性，学生可能有困难，教师给予适当的关注.

2.立方根

教学目标

【基本目标】

1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.

2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.

3.让学生体会一个数的立方根的惟一性.

4.分清一个数的立方根与平方根的区别，并会用计算器求一个数的立方根.

【教学重点】

立方根的概念，并会求一个数的立方根.

【教学难点】

立方根与平方根的区别.

：＞教学亘木呈

一、创设情景，导入新课

（出示电热水器图片）

问题（1）：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50L

的.如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器

的底面直径应取多少？

（学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演.）

解：设容积的底面直径为xdm,则乃学？2—。

3

可得，x3=---84

71

问题是什么数的立方会等于31.84呢？学生百思不得其解,教师可在此处设置一个台阶.

再设问：要制作一种容积为27m：'的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

二、师生互动，探究新知

1.立方根的概念

在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程：

设这种包装箱的边长为xm,则x'=27.

这就是求一个数，使它的立方等于27.

因为3-27,

所以x=3.

即这种包装箱的边长应为3m.

归纳：如果一个数的立方等于a,那么这个数是a的立方根.

例1根据立方根的意义，求下列各数的立方根：125/8,-64,-1/27,1,-1.

(1)对于2'=8,可以进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于

8呢？对于下面几个问题可以类似设问.

(2)思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个

负数有几个立方根？零的立方根是什么？(学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的

性质.)

即：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

2.用数学符号表示立方根

例2见教材P6

解略.

【教学说明】注意立方根定义及用3表示一个数的立方根，教师可设问3a中a取什么

数？a中a取什么数以引起学生对平方根、立方根区别的认识.

3.用计算器求一个数的立方根.

(教学说明】教师提醒学生注意操作的程序与精确度的要求.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.

四、典例精析，拓展新知

4

例3求下列各式的值：

(1)脂;(2)二方;(3)建

(4)，-焉土廊；(6)\M;

710U0

(7)^12-画+V^T-/-2+与.

V64

41

解:⑴4；⑵-3；(3)半；(4)-自;⑸±

8;(6)8;(7)-1-.

【教学说明】通过以上求值让学生能熟练运用与3求平方根与立方根，进一步区分平方

根与立方根.

五、运用新知，深化理解

1.-64的立方根是.

2.赛品=一5成立吗？.

3.(x+1)J-64的解是.

4.立方根是本身的数有.

5.般的立方根是.

6.一个正方体的体积是0.512m：',则它的边长是m.

【答案】1.-4；2.成立；3.x=-5；4.0、±1；5.次；6.0.8

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上

教师归纳总结.

「课后作业

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

教学反思.

本节课的教学设计是以课程标准为依据，在教学上体现了创设情景一一提出问题——建

立模型一一解决问题思路，在教学中体现了自主学习思路.

5

在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际

问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学

生的学习兴趣.“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用

类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识.教学中突出立方根与平方根的对比，分析它

们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根

的理解和掌握.通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充

分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立

方根与立方的互逆运算中寻找解题途径.

11.2实数

第1课时实数的有关概念

教学目标

【基本目标】

1.理解无理数与实数的概念.

2.知道实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步培养数形结合的思想.

3.会比较两个实数的大小.

【教学重点】

实数的概念.

【教学难点】

实数与数轴上的点一一对应的关系.

：＞教学亘木呈

一、创设情景，导入新课

如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼

成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长为2.通过观察

教材P8的计算你发现了什么？它是一个什么数？

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二、师生互动，探究新知

1.无理数与实数的概念

教师启发归纳，任何一个有理数都可以写成有限小数，或无限循环小数，而2是无限不

循环小数，是无理数.

无理数与有理数统称实数.

(1)概念反馈：我,"，71,—,^中是无理数的是力、的，它们全部都属于实数.

7-----

(2)判断：无限小数是无理数.(X)

无理数是无限小数.(J)

【教学说明】无理数、实数的概念由2引出用无限不循环小数进行定义，进而辨析无理

数时不能只看形式，还要看结果，即带根号的数不一定是无理数.

2.实数与数轴上的点一一对应

利用边长为1的正方形的对角线为血，进而在数轴上画出表示后的点，-后的点.

教师在学生操作的基础上归纳：实数与数轴上的点一一对应.

［教学说明］无理数在数轴上表示目前较为困难,利用课前操作方法作出V2.让学生亲

身经历数轴上表示垃的点的方法，进而建立实数与数轴一一对应的关系.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

四、典例精析，拓展新知

7

例(1)求下列各式中的工

①Ixl=1-yl；

②求满足xW8+38的正整数认

(2)比较下列各有理数的大小.

①区,1.4;②-5,-后;③-2：氏

解：⑴①“=土圣②1、2、3、4、5、6;

(2)。〉1.4,_5〉_后,_2＜两

【教学说明】在完成上述例题中，引导学生掌握有理数比较大小的方法，有理数运算法

则,进而让学生很自然的迁移实数的大小比较与运算，并体会到一种重要的数学思想“类比”.

五、运用新知，深化理解

1.在数1.44、—J5、工、3—6、3.14、病中，无理数有()个.

7

A.1B.2C.3D.4

2.与数轴上的点一一对应的数是()

A.有理数B.无理数C.实数D.整数

3.实数a在数轴上的位置如图：

—,_.____.____y

-2-1012

化简：|aT|+(a_2)2=

【答案】LB2.C3.1

【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上,

教师归纳总结.

厂,课后作业

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

教学反思

波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”、

“学东西最好的途径是亲自去发现它”、“学生在学习中寻求欢乐”.在本节课的教学设计中

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注意从学生的认知水平和亲身感受出发,创设学习情境，提高学生教学的积极性和学习兴趣,

设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发

现并与同学交流结论，从而得出数轴上的点与实数是一一对应的关系.注意类比思考，以旧

迎新.

第2课时实数的性质及运算

教字目标

【基本目标】

1.了解有理数的相反数、绝对值等概念、运算法则、运算律在实数范围内仍然适用.

2.能对实数进行大小比较和四则混合运算.

【教学重点】

实数的性质、实数的大小比较及运算.

【教学难点】

实数的大小比较.

,教学士旌

一、复习回顾

1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律.

3.平方差公式、完全平方公式.

4.有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？

二、师生互动，探究新知

1.填空

V2与_____互为相反数，、后与________互为倒数，1-^/3|=.

2.概括

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运

算律仍然适用.

三、随堂练习，巩固新知

完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.

四、典例精析，拓展新知

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例试估计有+及与"的大小关系.

解:用计算器求得

6+及~3.14626437,

而n*3.141592654,

因此垂>+>/2>n.

五、运用新知，深化理解

1.请你试着计算下列各题.

(2)-2+3J2=；

(3)海+(-沟=.

2.比较下列各组数中两个实数的大小：

(1)2国口3©(2)—?和一方

3.试解答下列问题：

(1)指出5在数轴上位于哪两个整数之间；

(2)写出绝对值小于4的所有整数.

【答案】1.(1)1(2)2血(3)02.(1)<(2)>

3.(1)2和3(2)0,1,2,3,-1,-2,-3

［教学说明］跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上,

教师归纳总结.

厂,课后作业

完成练习册中本课时对应的课后作业部分.

教学反思

1.比较两个实数的大小的方法：(1)比较被开方数的大小；(2)平方法；(3)近似取值

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法.

2.实数的运算包括加减、乘除、乘方、开方三级（6种）运算，以前的运算法则、运算

律仍然适用.

本章复习

敦与目标

【基本目标】

1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示.

2.了解平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，会用平方与立方的运算求某些数的平

方根与立方根.

3.了解无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.

4.能进行实数的运算，会估算无理数的大小.

【教学重点】

平方根与立方根，实数及运算.

【教学难点】

实数的估算，平方根的性质.

守教学国程

一、知识框图，整体建构

数

的

开

方

二、知识梳理，快乐晋级

本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解.

问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？

问题2：有理数与实数的定义是什么？

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问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？

问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？

问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？

【教学说明】教师提出问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，进行必要的

讲解与说明，做到切中要害、言简意赅.

三、典例精析，升华旧知

例1(1)(-2)z的平方根是()

A.-2

B.2

C.±2

D.±4

(2)下列说法中，正确的是()

A.正数的立方根是正数

B.负数的平方根是负数

C.无理数是开方开不尽的数

D.数轴上的点只能表示有理数

(3)-1—的立方根是_________.

64

(4)81的算