2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《等比数列》

-、单选题（本大题共12小题，共60分）

1.（5分）等比数列｛册｝满足=13,。2+。3+。4=葭，则05=（）

14

A.1B.-C.—D.-1

3279

2.（5分）给出以下命题：

①存在两个不等实数a,p,使得等式sin（a+p）=sina+sinp成立；

②若数列｛a"是等差数列，且a„i+即=as+4（m、n、s、t6N*）,则m+几=s+t；

③若又是等比数列｛a"的前n项和，则品，S12—S6,S18—S12成等比数列；

④若Sn是等比数列｛a"的前ri项和，且Sn=Aqn+B；（其中4、B是非零常数，neN*）,

则4+B为零；

⑤已知4ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（^+川〉。2，贝以ABC

一定是锐角三角形.

其中正确的命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（5分）设7；为等比数列｛a3的前n项之积，且为=-6,=一1则当7n最大时，

n的值为（）

A.4B.6C.8D.10

4.（5分）等比数列｛an｝,满足的+坝+。3+。4+。5=3,a：+谖+谴+成+磺=

15,则+。3—。4+g的值是（）

A.3B.V5C.-V5D.5

5.（5分）已知在等比数列｛an｝中，公比q是整数，%+。4=18，4-a3=12,则此

数列的前8项和为（）

A.514B.513C.512D.510

6.（5分）已知正项数列｛an｝,出"分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d,

q（d,qWN*）,且d=q,即+瓦=1,%+坛=3.若an+bn=2013（n>3）,则几=

（）

A.2013B.2012C.100D.99

7.（5分）若a,b,c成等比数列，则关于x的方程a/+bx+c=0（）

A.必有两个不等实根B.必有两个相等实根

C.必无实根D.以上三种情况均有可能

8.（5分）公比为2的等比数列｛an｝的各项都是正数，且a3ali=16,则bg2Qio=（）

A.4B.5C.6D.7

9.（5分）记Sn为等比数列｛a"的前n项和，已知S?=2,S3=-6,则｛%｝的通项公式

为（）

nnnn

A.an=（-2）B.an=-2C.an=（-3）D.an=-3

10.（5分）正项等比数列｛%｝中,a3=2,a4.a6=64,则等的值是（）

A.4B.8C.16D.64

11.（5分）在等比数列｛a｝中，a,QiI是方程/+5乂+2=0的二根，则2侬的值

n7a5a13

为（）

A.-萼B.-V2C.V2D.-a或企

12.（5分）已知等比数列｛an｝的前n项和为%,953=S6=63,则S1。=

A.255B.511C.

1023D.2047

-、填空题（本大题共5小题，共25分）

13.（5分）已知等差数列｛an｝的公差d。0,且的+的=Qio-。8,若册=0，贝！J

n=__________

14.（5分）若等比数列｛an｝的前n项和Sn满足：an+l=alSn+l（n^N*）,则al=

15.（5分）在等比数列｛an｝中，已知前n项和Sn=5n+l+a,则a的值为.

16.（5分）若等比数列｛an｝的首项为|,且以=J：（l+2x）dx,则公比q等于

17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺

次为第1群，第2群，……，第九群，……,第九群恰好有九个数，则第九群中九个数的和

是.

1

23

465

812107

162420149

324840281811

三、解答题（本大题共6小题，共72分）

18.（12分）已知｛xn｝是各项均为正数的等比数列，且％]+必=3,%3T2=2.

(1)求数列｛今｝的通项公式；

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点Pi(xJ),22(>2,2)，…，

Pn+l(%i+l，n+1)得到折线。记2…Pn+l，求由该折线与直线y=0，x=%1>X=%1+1所

围成的区域的面积

19.(12分)如果等比数列位"中公比q>1,那么｛aj一定是递增数列吗?为什么？

20.(12分)数列｛a”｝满足的=1,an=2an_1-3n+6(n>2,n£N+).

(1)设bn=an-3n,求证：数列｛砥｝是等比数列;

(2)求数列｛5｝的通项公式.

21.(12分)设各项均为正数的数列｛即｝的前n项和为无，满足4S4=a"i—4n—l,

neN*,且a2,a5,国4构成等比数列.

(1)证明：a2=J4al+5；

(2)求数列｛即｝的通项公式；

证明：对一■切正整数有一-—

(3)71,I---F...H--a---a--------<

。2。3nn+12

22.(12分)已知数列｛即｝是等差数列，其首项为2,且公差为2,若为=2a«nWN*).

(I)求证：数列｛%｝是等比数列；

(11)设0=an+bn,求数歹!j｛"right｝的前n项和4n.

23.(12分)已知等差数列｛%｝和等比数列｛bn｝满足的=瓦=1,a2+a4=10,

b2b4~

(I)求｛&"｝的通项公式；

(II)求和：瓦+匕3+既+…+b2n-l.

四、多选题(本大题共5小题，共25分)

24.(5分)已知等差数列｛a"的公差和首项都不等于0,且a2,a,，。8成等比数列，则

下列说法正确的是()

A.吁的+的的值为3B./+劭+的的值为2

。2+。3%+。3

C.数列｛a“｝的公差和首项相等D.数列｛a"的公差和首项不相等

25.(5分)设数列｛an｝,｛匕｝的前"项和分别为土,”,则下列命题正确的是0

A.若an+「an=2(riGN*),则数列｛a“｝为等差数列

B.若%+i=2%(nGN*),则数列｛b｝为等比数列

C.若数列｛册｝是等差数列，则%,S2n-Sn,S3ns2n□□56N*)成等差数列

D.若数列｛bn｝是等比数列，则〃，T2n-Tn,成等比数列

26.(5分)在公比q为整数的等比数列｛厮｝中，是数列｛七｝的前n项，若的+a4=

18,a2+a3=12,则下列说法正确的是()

A.q=2B.数列｛Sn+2｝是等比数列

C.S8=510D.数列\left｛Ig&J是公差为2的等差数列

27.（5分）已知等差数列｛即｝的首项为1,公差d=4,前n项和为无，则下列结论成立

的有（）

A.数列｛§｝的前10项和为100

B.若的,Qm成等比数列，则m=21

c.若邓1=」一>2则n的最小值为6

田田+125

D.若。加+册=。2+a10f则'+F的最小值为工

28.（5分）已知数列｛an｝为等差数列,｛,｝为等比数列，｛an｝的前几项和为%,若%+

a6+an=3zr,b】b5b9=8,则（）

A.Su=UTTB.sin^^=-

11b4b62

C.a3+a7+a8=37rD.63+&7>4

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：设等比数列｛an｝的公比为q,

由a2+CI3+CZ4=(%+a2+d3)q，得,=13q,解得q=1,

又5+a2+aj=%+1a[+：%=日％=13>解得的=9,

44

所以=aTq=9X(|)=i,

故选：D.

设等比数列｛%i｝的公比为q,通过+。3+。4=(%++Ct3)q可求出q值，进一步根

2

据%+a2+a3=ar+arq+arq=13可求出ar最后利用=。皿"进行求解即可.

此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础

题.

2.【答案】B;

【解析】

该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及

三角形的判断，是一道综合题，属于中档题.

利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性

质，判断③的正误；根据等比数列的前n项的和推出4B判断④的正误.利用特殊三

角形判断⑤的正误；

解：对于①，实数a=0,0r0,则sin(a+。)=sin。，sina+sinp=sin。,所以等式成

立；故①正确；

对于②，当公差d=0时，命题显然不正确，例如a1+a2=。3+。4，1+2H3+4,

故②不正确；

对于③，设即=(一1)"，则$6=0,S12-S6=0,S18—S12=0，••・此数列不是等比数

列，故③不正确；

对于④，Sn是等比数列｛an｝的前n项和，且Sn=4q"+B；(其中A、B是非零常数，

nGN*),

所以此数列为首项是的,公比为q*1的等比数列，

则S皿山，

i-q

所以4=一2，B=2,

l-q1-q

・•・A+B=0,故④正确；

对于⑤，如果三角形是直角三角形，Q=5,b=3,c=4,满足。2+82>。2,故⑤不

正确；

所以正确的有2个，

故选:B.

3.【答案】A;

【解析】解：因为等比数列｛斯｝中，%=-6,Ci4=-：,则由&4=%q3可得q=

1n(n-i)

n

7；为等比数列加工的前n项之积，Tn=(-6).(i)^~,

因为求最大值，故只需考虑n为偶数的情况，

...—=36x(工产+1,

由特》1可得n=1,

T2n

•••T2<T4>T6>T8>

则公比q=｝当7；最大时，n的值为4.

故选:A.

由已知可得q=；.只需考虑n为偶数的情况，由铲》1可得n=L即可求解.

2及n

该题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

4.【答案】D;

【解析】解：设数列｛an｝的公比为q,且（7力1,则

aaa=

ax+a2+3+4+5。（以）=3①，

al+a2+a3+a4+a5="T；-，=15②

...②+①得宜+吆IzQl=皿Ql=5,

1-q21-q1+q

..ai（l+qS）

・•・的—。2+。3-。4+=\+q=5.

故选：D.

先设等比数列｛斯｝公比为q，分别用的和q表示出研+谖+试+田+瑞，a.+a2+

aa

a3+a4+。5和%—a2+a31a4+s>发现a：+谖+送+谖+磅除以%+a2+3+

a4+(15正好与的-a2+。3-Q4+。5相等，进而得到答案.

此题主要考查了等比数列的性质.属基础题.解题时要认真审题，注意等比数列的性

质的灵活运用.

5.【答案】D;

【解析】由己知得｛%+%"；=It，解得：q=2或q=1：q为整数，.•.q=2.；.

£2

arq+arq=12

9

ax=2..-.S8==2-2=510.

6.【答案】A;

【解析】

此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.

解.“」+瓦=1

,

-U3+b3=3

[_1+瓦=1

2

1%+2d+brq=3'

d=q,

所叱二累焉匚，

解得d=<7=1,

n-1

•••an+bn=ar+(n—l)d+d1q=/+«—l++=2013,

•••n=2013.

故选4

7.【答案】C;

【解析】若a,b,c成等比数列，则b2=ac

由题意得4=b2-4ac=b2-4b2=-3b2

等比数列中没有为0的项，

；.-3by)

△小于0,即方程ax2+bx+c=0必无实根

故选Co

8.【答案】B;

【解析】

这道题主要考查等比数列的性质和对数的运算规律，求得。7=4,是解答该题的关键,

属于中档题.

利用等比数列的性质求得的值，进而求出结果.

解：,**a3ali=16,cty—16,***ct^>0,*,•a?—4.

CIJQ=口7勺3=4x2、3—2$,log2^io=5,

故选：B.

9.【答案】A;

【解析】解：根据题意，设等比数列的首项为由,公比为q,

又由S?=2,S3=-6,

则有6，

(«1(1+q+染)=-6

解可得%=-2,q=-2,

则斯=(一2产；

故选:A.

根据题意，设等比数列｛即｝的首项为的，公比为q,则有解可

得的与q的值，由等比数列的通项公式计算可得答案.

此题主要考查等比数列的通项公式以及前71项和公式，关键是求出等比数列的公比以及

首项，属于基础题.

10.【答案】C;

【解析】

此题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

设正项等比数列｛a“｝的公比为q,由。3=2,a4.a6=64,利用通项公式解得q2,再利

用通项公式即可得出.

解：设正项等比数列｛斯｝的公比为q,

,**=2,。务=64,

28

・•・arq=2,alq=64,

解得才=4,

...山=<^1^2=q4=16

at+a2at+a2

故选c.

11.【答案】B;

【解析】解：在等比数列｛an｝中，a7，的1是方程/+5*+2=0的二根,

贝=2,«'•CLg——\[*2»J

则24=-V2.

as."够

故选：B.

利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解.

此题主要考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

12.【答案】C;

【解析】

此题主要考查等比数列的求和，关键是掌握求和公式，是基础题.

由9s3=$6=63,结合等比数列的求和公式找到的和q=2,代入等比数列的求和公

式即可得Si。

解：设｛/｝的公比为q,由9s3=56，得8s3=56-53，即8s3=q3s3,

所以q=2.由9s3=63,得63al=63,所以%=1,所以=2n-1,

_olO

所以Si。=—1—=1023.

1—2

故选c.

13.【答案】5:

【解析】因为数列｛%｝是等差数列，所以。3++因为+。9=%。一。8,

所以=%0—。8，即得。2+。8=0•在等差数列中，a2+a8=2a5,所以CI5=

0,所以n=5.

14.【答案】1;

【解析】解：由题意得

an+1=alsn+1①

an+2=alsn+l+1②

②-①，得/i+i(q-1)=。1出1+1，

即ax=q-l,亦即q=1+%,

=a

所以当n=l时,a2iSi+l»

2

则有aiq=a/+],即的(1+的)=a1+l,

解得©=1.

故答案为1.

15.【答案】-5;

【解析】解：•••在等比数列｛%｝中Sn=5—+a,

=

a1=25+a,a2S2-Si=100,a3=S3-S2=500,

:.(25+a)«500=10000,解得a=-5.

故答案为：-5

16.【答案】3:

【解析】解：由已知得：CI4=J：(1+2x)dx=x+x2\l=18.

又因为等比数列的首项为常设公比为q根据等比数列的通项公式Qn=的妙一1,

令Ti=4得：Q4=?xq3=18,解得q3=¥，=27,所以q=3.

3—

故答案为3.

先计算定积分得到。4,因为等比数列的首项为|，然后根据等比数列的通项公式列出关

于q的方程，求出即可.

该题考查定积分运算及等比数列基本量的求解.

17.【答案】3X271-2n—3;

【解析】

此题主要考查归纳推理与等差数列的通项及等比数列的求和公式，错位相减法求和，

意在考查考生的观察与归纳能力及运算求解能力.

解：根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16,...

构成以1为首项，以2为公比的等比数列，

所以第n群的第一个数是2-1,

第n群的第2个数是3x2-2,……，

第n群的第n-1个数是(2n-3)x21,

第n群的第n个数是(2n—1)x2。，

所以第n群的所有数之和为2"T+3x2吁2+...+(2n-3)x21+(2n-1)X2°,

根据错位相减法求和得其和为3x24-2n-3.

故答案为3x2"-2n—3.

18.【答案】解(1)设数列｛xn｝的公比为q.

2

由题意得｛&%i+xrq=3,xrq—x、q=2,所以3q?-5q-2=0.

由已知得q>0,所以q=2,Xj=1.

因此数列｛x.｝的通项公式为孙=271-1.

(2)过A，P2,P“+i向x轴作垂线，垂足分别为Qi，Q2,Qn+1.

n

由(1)得f+i-xn=2-2"-i=2"T.

记梯形HiPn+iQn+iQn的面积为匕.

由题意得办="+1)X2n~x=(2n+1)x2n-2,

n3

所以7；=by+b2+...+bn=3x2-i+5x2。+7x21+...+(2n-1)x2-+(2n+

1)x2吁2.①

又2〃=3x2°+5x21+7x22+...+(2n-1)x2n-2+(2n4-1)x②

①-②得

一〃=3X2T+(2+22+…+2=T)-(2n+1)X2n-1

=-+迎:”-(2n+1)x2“T

21-2、7

所以生竽%

【解析】

此题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法，数列综合应用，考查分析问题解决

问题的能力和运算化简的能力，属于中档题.

(1)由｛xn｝是各项均为正数的等比数列，且与+右=3,X3-X2=2,利用等比数列通

项公式求得知=271-1；

(2)由题意求出梯形BPn+lQn+lQn的面积为%=(2n+1)X2n-2,再利用错位相减法求

和即可.

19.【答案】解：不一定是，

•••当%>0时，an=a「qnT,又q>1,可知此等比数列单调递增；

n1

当的<0时，an=a1-q-,又q>L可知此数列各项为负数，且绝对值递增，则此

数列递减.

故综上，该等比数列不一定是递增数列.；

【解析】此题主要考查了等比数列的单调性的判断，属于基础题.

根据等比数列的通项公式以及性质直接判断数列的单调性，即可得出答案.

20.【答案】解：(1)因为bn=a„-3n,所以an=£>n+3n.

又0n=2即_I-3n+6,所以bn+3n=2[bn_i+3(n-1)]-3n+6,

即%=2%-1(n>2,nGN+),

所以数列｛%｝是以b尸的-3=-2为首项，2为公比的等比数列.6分

ni

(2)由(1)得bn=(-2)-2-,

所以cin=bn+3n=(-2)•2n-l+3n.

故数列｛a”｝的通项公式为a"=3n-2n.l2分.；

【解析】(1)利用已知条件转化为：垢=2%_「即可证明数列｛%｝是等比数列.

(2)利用(1)的结果求出数列的通项公式，然后求解数列的通项公式即可.

21.【答案】

2

解：(1)当n=1时，4al=a2-5,

2

•••a2=4al+5,

van>0,

,*•a?=14al+5.

(2)当n>2时，4Sn_i=欣-4(n—1)-1,

-4ali=4Sn-4Sn-i=W+i-W-4,

・•・欣+i=+4an+4.

van>0,

•**an+i=。九+2.

・・・当九》2时，｛an｝是公差d=2的等差数列.

・・・。2，。5，。14构成等比数列，

**•Ctg—口2@14，(。2+6)2=@2(。2+24),

解得。2=3，

由(1)可知，4al=诚-5=4,

:.1=1.

**a?-Q]=3—1=2

・•・｛Qn｝是首项1,公差2的等差数列.

:，an=2n—1.

(3)---I--—F•••4------—

aia2a2a3^n-lan

=—4--+­­­+-------------------

1x33x5(2n-l)(2n+l)

【解析】

此题主要考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.

(1)直接将n换为1代入递推式求解；

(2)借助即=Sn-S"_i(n>2)进行递推转化，进而构造数列｛斯｝为等差数列是解答该

题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.

(3)采用裂项相消法求和之后再证明.

22.【答案】解：(I)因为等差数列｛an｝的首项和公差都为2,

所以即=2+(n—1)x2=2n.

又因为九=22，瓦=4,

所以手=-4,

°n4

所以数列｛匕｝是以4为首项，4为公比的等比数列.

(II)因为％=c1n+bn=2n+4n,

且等差数列｛即｝的前n项和%=生要=n(n+l),

等比数列｛｝的前n项和〃="三答=9针—1),

所以数列｛%｝的前n项和An=Sn-7；=7i(n+l)*q(4n-l)(nGN*).;

【解析】

这道题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，其中涉及到等比数列的证明，等

差数列的通项公式的求解以及数列的求和，属于中等题.

(I)根据题中条件和等差数列的通项公式得到与，再根据等比数列的定义进行证明即

可；

(II)由(I)知，cn=an+bn,再分别利用等差数列的前n项和公式及等比数列的前n项

和公式分别求出｛%,｝｛%｝的前几项和，进而得出数列｛4｝的前n项和4入

23.【答案】解：(1)等差数列｛加｝，%=1，。2+。4=10，可得：l+d+l+3d=

10,解得d=2,

所以｛即｝的通项公式：%,=1+(n-1)X2=2n-1；

(H)由(I)可得=%+4d=9,

等比数列｛匕｝满足瓦=1,b2b4=9.可得仇=3或-3(舍去)(等比数列奇数项符号相同),

•••q2=3,

｛山-I｝是等比数列，公比为3,首项为1,

_3"-1

+b3+b5+…+h2n-i1-q2―2

【解析】该题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查

计算能力，属于一般题.

(I)利用已知条件求出等差数列的公差，然后求也.｝的通项公式;

(II)利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可.

24.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查等差数列的通项公式，等比中项，属于基础题.

利用三项成等比数列可得=。2乂。8,然后用首项和公比表示，解得％=d,利用

通项公式的表示可得选项.

解：设等差数列｛a“｝的公差为d,

因为。2，a4＞成等比数列，贝!|。42=X。8，即(由+3d)2=(%+4)(%+7d).

因为公差和首项都不等于0,可得ai=d,故C正确，。不正确.

口3=*-=辔=3.故4正确，B错误.

故选AC.

25.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查等比数列与等差数列的判定，属于中档题.

对于4,C,利用等差数列的定义判断即可，对于2,D,通过举反例判断.解：对于4

由等差数列的定义可知当即+1-即=2(neN*)时，数列｛斯｝为等差数列，所以4正确;

对于8,当垢=0时，满足“+1=2%OeN*),但数列｛时｝不是等比数列，所以B错误;

对于C,因为当｛即｝是等差数列时，Sn=net1+|n(n-l)d,

S2n—Sn=nan+1+^n(n—l)d,

S3n-S2n=na2n+i+|n(n—l)d,

2

二(S3n-s2n)-(S2n-Sn)=n(a2n+1-an+1)=nd,

2

(52"~Sn)—Sn=n(an+1—dj)=nd,

二(S3n-S27t)一(S27t—Sn)—(S2n—Sn)—Sn,

即入，S2n-Sn,S3n-S2n…成等差数，所以C正确；

71

对于。，当匕=(一1)时，兀为偶数时，Tn,T2n-Tn,T3n-T2n……(ziCN*)均为零,

所以不是等比数列，所以。错误.

故选4c.

26.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查等比数列的性质、通项公式和求和公式，属于中档题.

由已知两式，求出首项和公比，然后再逐一判断即可.

解：设等比数列的公比为q,

则1%+。4=%+%勺3=18

2

、％2+/=a1q+aAq=12'

因为公比q为整数，解得出=q=2,故4正确，

n+1

...==2n+i_2,...sn+2=2,=2,Si+2=4,

nn1

1-2Sn+2

故数列｛Sn+2｝是等比数列，故B正确：

...s=2n+1-2,DS=510,故C正确：