专题18 归纳平面向量中的范围与最值问题（解析版）

专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法：（1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论（2）坐标法第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步:将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解（3）基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论（4）几何意义法第一步:先确定向量所表达的点的轨迹第二步:根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设，则，①②①②两式相加得：（2）极化恒等式：上面两式相减，得：————极化恒等式①平行四边形模式：几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.②三角形模式：（M为BD的中点）AABCM三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：。【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则，设，则四.等和线（1）平面向量共线定理已知，若，则三点共线；反之亦然。（2）等和线平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；【题型归纳目录】题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线【典型例题】题型一：三角不等式例1．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由条件可得，由向量性质可得，从而，然后代入结合可得出答案.【详解】解析：因为，则，因为，由，由，即，由，则恒成立.由,即则，解得，又所以.故答案为：例2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知平面向量，，，，若，，则的最小值是________.【答案】##【解析】【分析】令，，即可得到且，令，，，，根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；【详解】解：令，，则，故，且，令，，，，所以根据已知条件有，所以，即，当且仅当，，时等号成立，所以的最小值是故答案为：例3．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．【答案】【解析】【分析】利用绝对值三角不等式，及三角函数的有界性可进行化简分析.【详解】设，由，根据三角不等式，有，得，故.故答案为：.例4．（2022·浙江·模拟预测）已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】设出得到，由不得关系得到，从而得到最小值.【详解】由题意,可以设，则由得，由，所以，解得：即的最小值是.例5．（柯桥区2022届高三下学期5月第二次适应性考试数学试题）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】设为AB中点，令，结合图形，利用向量的线性运算求出，转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设为AB中点，令，则

①，因为，故有，

②，由①②得，从而，因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.，，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：例6．（2022·全国·高三专题练习）已知非零平面向量满足，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为的不等式即可得解.【详解】依题意，，，，当时，上述最后等式不成立，从而有，，当且仅当时取“=”，又，当且仅当与同方向时取“=”，则有，解得，当且仅当=时取“=”，所以的最小值是4.故选：A例7．（2022·湖北·华中师大一附中高一阶段练习）已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【解析】【分析】借助于垂径定理处理，结合向量整理可得，再根据向量的加法可得．【详解】取EF的中点M，连接CM，则，，又，所以，所以，当且仅当向量与共线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，故选：C．例8．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，满足，．若，则的最大值是______．【答案】【解析】【分析】将代入所求，可得到，分情况讨论，同号和异号两种情况，利用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.【详解】当，同号时，，而，则．当，异号时，，而，则．因此的最大值为．故答案为：．例9．（2022·全国·高一课时练习）已知在三角形中，，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出，最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因为，所以，所以，即；故选：A例10．（2022·全国·高一专题练习）已知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．【详解】因为，，与的夹角为，所以，，，所以满足，因为，所以，所以，故选：C例11．（2022·浙江宁波·高三期末）已知平面向量，，，其中，是单位向量且满足，，若，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件将向量代入整理可得关于x、y的二元二次方程，然后通过换元，利用方程有解可得.【详解】又，是单位向量且上式令，代入上式整理得：关于x的方程有实数解整理得：，解得故答案为：.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．【答案】##【解析】【分析】根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】∵向量，是平面内的两个非零向量，∴，当且仅当时取等号，∴，即，∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，∴当取最大值时，与夹角为.故答案为：.题型二：定义法例13．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先求得、，进而平方，计算即得结论．【详解】设向量的夹角为，，，则，令，则，据此可得：，即的最大值是故答案为：.例14．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的边长分别为，点为的外心，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，对数量积进行转化得到，求出的取值范围，进而求出答案.【详解】取的中点，则，所以.因为，则，即.所以，故选：D.例15．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】【分析】连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.【详解】解：连接，在正六边形中，，∴，∵正六边形的边长为2，∴，因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，所以当在上运动时，取得最大值，为，当移动到点时，取得最小值，为0．∴，，∴．故选：D.例16．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】【分析】由取得最小值得点为线段的中点，由得，由配方可得答案.【详解】当时，取得最小值，因为，所以此时点为线段的中点，因为，所以，故，则，因为，故．故选：B.例17．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知A，B为圆上的两动点，，点P是圆上的一点，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到的中点的距离最值问题即可得解.【详解】设M是AB的中点，因为，所以，即M在以O为圆心，1为半径的圆上，，所以．又，所以，所以．故选：C.例18．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，即，则．因为点P是圆O内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,故选：A.例19．（2022·全国·三模（理））已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】通过数量积与模长的关系可得，，再根据数量积的运算律以及概念即可得结果.【详解】，因为，所以，所以，所以，，设与的夹角为，故，因为，所以，故选：A.题型三：基底法例20．（2022·天津河北·二模）已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值．【详解】解：如图，，，且，，．由题意可得，，，，，则，（当且仅当时等号成立），的最小值为．故答案为：．例21．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））菱形中，，点是线段上的动点（包括端点），则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】设，运用向量的线性运算和数量积运算得，设，利用二次函数的性质可求得的最小值.【详解】解：不妨设，则，所以，因为，所以，设，则，对称轴为，所以，所以的最小值为.故答案为：.例22．（2022·全国·高一）在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出圆的半径，由，结合向量数量积运算律将的最大值转化为求的最大值，即可求出结论.【详解】由题意，设到的距离为，则，故，其中，设的夹角为，，当且仅当与反向或同向时取得端点值；综上，的范围为.故选：A．例23．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件探求出，结合转化为二次函数并求函数的最小值即可.【详解】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则，于是得，而，且与不共线，则，即有，因此，，当且仅当时取“=”，此时M为BC中点，所以的最小值为.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，，点是边上的动点，则当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用“插点法”，重新表述，结合向量的数量积运算，将其转化为的二次函数形式进行求解.【详解】在中，，，.，则当时，取得最小值，此时，.故选：.例25．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知两个模都为10的向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心，10为半径的上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算及数量积的运算性质化简，问题转化为求的最大值，由模为定长知同向时最大求解即可.【详解】要使最小，即最大而为定值，为定值10只要与同向即可使最大的最小值为.故选：A例26．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知中，，，，点P为边AB上的动点，则的最小值为（

）A．4 B．2 C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】设,,所以当时，取得最小值为.故选：A例27．（2022·全国·高三专题练习）在凸四边形中，，，且为等边三角形，若点在四边形上运动，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别讨论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值.【详解】如图所示，四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则，①当点在边上运动时，设，则，∴，当时，的最小值为；②当点在边上运动时，设，则，∴，当时，的最小值为；综上，的最小值为；故选：B.【点睛】方法点睛：根据向量定义把向量点积转化为函数问题来求解最值.题型四：几何意义法例28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】利用向量的模的运算求得，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，求得平面向量+的终点N的轨迹，由与的夹角为，得到C的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的最大值，即为所求.【详解】解：∵，,∴，如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，则平面向量+的终点N到O的距离为2，设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上.由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上，当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值,此时,,|CN|=,故答案为：.例29．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围.【详解】设，，如图所示，则，因为与的夹角为，所以，因为，所以由正弦定理得：，所以，因为，所以故答案为：.例30．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，若有，，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】由条件可以求得，从而可作，并连接，取的中点，连接，则有，根据条件可以得到，可作，并连接，，从而可以得到，即点在以为直径的圆上，从而得出当在上的投影最大时，最大．通过计算，即得出在上的投影最大值，从而得出的最大值.【详解】解：根据条件，；；，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；；作，连接，，则；；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：例31．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.【详解】设，如图所示：则，因为与的夹角为120°，所以，因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A例32．（2022·江苏·高二）飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形中，，，，，点P是八边形内（不含边界）一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据给定图形，求出在方向上的投影向量长的范围即可计算作答.【详解】在四边形中，，，，则，且，过D，H分别作直线OA的垂线，垂足分别为N，M，如图，依题意，，，因此，，对任意点P，过P作于Q，而点P是八边形内（不含边界）一点，当点P在四边形和四边形内时，，当点P在四边形和四边形内时，，显然，，而，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，当点P在四边形内时，，则，所以的取值范围是.故选：B例33．（2022·湖南·模拟预测）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.【详解】因为，所以，，三点共线，且点在线段外，因为点为线段的中点，所以，即是直角三角形，所以，由数量积的定义可得：，因为，所以，即，故选:C.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．例34．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知为圆：上长度为4的动弦，点是直线：上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设的中点为，则，则由题意可得点在以为圆心，1为半径的圆上，从而可得的最小值即为圆心到直线的距离减去半径1，进而可求得答案【详解】由，得，所以圆心，半径，设的中点为，则，因为，半径，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值即为圆心到直线的距离减去半径1，所以，所以的最小值为，故选：A例35．（2022·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】由题设画出示意图，易得且在以中点为圆心，为半径的劣弧上，根据圆的性质可求的最小值.【详解】由题设，可得如下示意图，所以，因为，即在以中点为圆心，为半径的劣弧上，所以要使的最小，即最大即可，由圆的性质知：当为劣弧的中点时最大，又AC=，此时，故的最小值为.故选：D例36．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知△ABC的外接圆半径长为1，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析取最小值的状态，结合数量积的意义和二次函数可求答案.【详解】由题意，为钝角时，取到最小值；如图，为的中点，在上的投影向量为；由可知当在上的投影长最长时，即与圆相切时，可取到最小值；，当时，，所以的最小值为.故选：B.例37．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】有题意知，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，求出即可得出答案.【详解】如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以.故选：A.例38．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三期末（理））已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，，则，可令，可得出，结合图形可知，当时，线段最短，由此可求得的最小值.【详解】如图所示，设，，则，可令，则，点在上，因为与的夹角为，则，当时，线段最短，此时取最小值，即.故选：C.例39．（2022·江苏·高二）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依题意过点作交的延长线于点，即可求出，设与的夹角为，结合图形即可得到在方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点作交的延长线于点，则，设与的夹角为，因为点为直角梯形内一点（不包含边界），所以在方向上的投影，且，所以故选：A例40．（2022·全国·高三专题练习）已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为60°，则的取值范围是（）A．（0，） B．[，1） C．[，+∞） D．（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】设，，则，进而得为射线上的动点（不包括点），故.【详解】解：如图所示，设，，则.因为与的夹角为60°，所以，则，则为射线上的动点（不包括点），又，即，所以由图可知，.故选:D.题型五：坐标法例41．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.【答案】5【解析】【分析】利用换元法令，再将模的问题转化为三角函数问题，接着利用换元法和导数求得函数的最值.【详解】令，，，，令，设，则，，令，若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，显然，函数在取得最值，，故答案为：5.例42．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】先设，且，再根据向量模化简，最后化简整理结合柯西不等式即可求出结果.【详解】设，且，而，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故答案为：.例43．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知平面向量满足，，，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】结合数量积的运算律，可根据求得，进而得到；令，，设，根据数量积的坐标运算可求得点满足的轨迹方程，将问题转化为直线上的点到和的距离之和；通过作出点关于直线的对称点，可知所求最小值为；利用点关于直线对称点的求法求得坐标后，即可利用两点间距离公式得到结果.【详解】，，，解得：，即，即，不妨令，，设，则，，，则的几何意义为：直线上的点到和的距离之和，即；作出点关于直线的对称点，，（当且仅当三点共线时取等号），设，则，解得：，，即的最小值为.故答案为：.例44．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先判断出，再以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：然后利用平面向量数量积的坐标表示求出，再根据圆心到直线的距离小于等于半径可求出结果.【详解】因为，又，所以，所以，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：则，，设，则，，，所以，设，即，依题意直线与圆有交点，所以，得，所以的最小值为.故答案为：例45．（四川省泸县第四中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】由题意可设的坐标，设，利用求得的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设，设，由得：，即，即，则的终点在以为圆心，半径为的圆上，故的最大值为，故答案为：例46．（2022·北京市第十二中学三模）为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.例47．（江苏省泰州市2022届高三下学期第四次调研测试数学试题）平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．【答案】##【解析】【分析】设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，由于,∴，∴，即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,故，故答案为：例48．（2022·全国·高三专题练习）点是边长为2的正六边形内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的运算以实现简化.【详解】解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，设，在中，∵，，∴，高，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴最大值与最小值之差为8.故选：D.例49．（2022·全国·高三专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B．15 C．16 D．17【答案】B【解析】【分析】以为原点，建立适当的直角坐标系，设，根据的长度得到的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最小值.【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设，则，即，其中．

时取“=”，所以的最小值为15，故答案为：15.例50．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，.若点E为边上的动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设，用数量积的坐标表示求出数量积，结合二次函数性质得最小值．【详解】如图所示，以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B做轴，过点B做轴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴，设，∴.；∴，当时.取得最小值为.故选：D．例51．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，则，所以，所以，所以当时，取最小值，故选：C例52．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标表示结合基本不等式解决向量模长问题.【详解】如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，轴建立直角坐标系，即，，，则，.设，则，，，所以.设，，解得，，则，所以长度的最小值为.故选：B例53．（2022·全国·高三专题练习）等边的面积为，且的内心为M，若平面内的点N满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积求出三角形的边长，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由条件得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为，且，然后用向量数量积的坐标公式得出的表达式，在求其最小值.【详解】设等边的边长为，则面积，解得以为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.由为的内心，则M在上，且则，由，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.设，则，即，且，故选:A【点睛】本题考查动点的轨迹方程和利用坐标求向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系得出点N在以M为圆心，1为半径的圆上，其方程为，且，进而得出，属于中档题.例54．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，因为，，所以，所以，，所以，所以，所以当，即时，的最小值为.故选：B例55．（2022·全国·高三专题练习）已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算作答.【详解】是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则，设点，，于是得：，当时，取得最小值，所以的最小值是.故选：B例56．（2022·全国·高三专题练习）四叶回旋镖可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，M为线段上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：由题意，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系则，，M为线段上一动点，设，其中，，当时，的最小值为.故选：D.例57．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））是等腰直角三角形，，，，其中，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，建立坐标系，由数量积公式以及距离公式得出的最小值.【详解】由知点为的中点，设为中点，由得，因为，所以点在直线上，建立如下图所示的平面直角坐标系，，，当时，最小，的直线方程为，即，由点到直线的距离公式可得：，即的最小值.故选：B例58．（2022·山东潍坊·模拟预测）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（

）A．－1 B．1 C．－3 D．3【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.【详解】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，则，设，，所以当时，取得最小值.故选：C例59．（2022·湖南·临澧县第一中学高三阶段练习）在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立．故选：B．例60．（2022·山西·二模（理））在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：由菱形中，，可得且，设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，取中点，则，，设，则，所以当，时，取得最小值.故选：C．例61．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））在直角三角形中，，点是线段上的动点，且，则的最小值为（

）A．12 B．8 C． D．6【答案】B【解析】【分析】在直角三角形中，易得，作于点，如图，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设点在点的左侧，设，则，，根据数量积的坐标表示结合二次函数的性质即可得解.【详解】解：直角三角形中，，所以，所以，作于点，则，如图，以为原点建立平面直角坐标系，不妨设点在点的左侧，设，则，，，则，所以，当且仅当时，的最小值8.故选：B.例62．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知平面向量，，满足，且，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，得到，不妨设，利用坐标法求解.【详解】解：因为，所以，又，所以，如图所示：不妨设，则，所以，因为，所以，即，表示点C在以为圆心，以2为半径的圆上，所以最小值为，故选：D例63．（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知为单位向量，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设，以为原点建立直角坐标系，设，，可得.【详解】设，则，所以为等边三角形，以为原点建立如图所示直角坐标系，则，设，，则，所以在以为圆心，1为半径的圆上，因为，所以.故选：A.例64．（2022·全国·高三专题练习（文））已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，然后表示出，求其最小值即可，【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，因为，，，，所以，不妨设，，则，所以当时，取得最小值，故选：D例65．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知两个单位向量，，且它们的夹角为，点C在以O为圆心，1为半径的上运动，则·的最小值为（

）A． B．0 C． D．－【答案】A【解析】【分析】可以O为原点，OB为x轴建立坐标系，将C点设为，利用坐标法进行求解.【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，则由已知得.由点在以为圆心，1为半径的上运动可设，.∴，由知，，∴，因此当时，有最小值.故选：A.例66．（2022·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，的最小值为（

）A． B．12 C． D．24【答案】B【解析】【分析】根据题意，如图建立平面直角坐标系，故，，，，进而利用坐标法结合三角函数性质求解即可.【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，因为圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形所以点，，，所以，所以，所以当，的最小值为.故选：B题型六：极化恒等式例67．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，计算可得出，计算出的取值范围，即可得解.【详解】如下图所示：设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，，当为正方形的某边的中点时，，当与正方形的顶点重合时，，即，因此，.故答案为：.例68．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.

【答案】【解析】【分析】首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.【详解】在上取一点，使得，取的中点，连接，，如图所示：则，，，，即.，当时，取得最小值，此时，所以.当与重合时，，，则，当与重合时，，，则，所以，即的取值范围为.故答案为：例69．（2022·全国·高一）设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.【答案】C为顶角的等腰三角形【解析】【分析】取BC的中点D，设O为AB的中点，根据可得，从而可知，再由中位线定理可知，，即可解出．【详解】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示：，同理，，，设O为AB的中点，即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.故答案为：C为顶角的等腰三角形．例70．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】因为相切，圆心到直线的距离等于半径，再将点代入圆方程解出，进而求得中点，则即可求解．【详解】圆的圆心的为，因为直线与圆相切于点则所以得，所以，，所以直线方程为，圆的方程为，所以，，的中点，则因为，所以故，所以的最大值为故答案为：例71．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设出边长，通过做辅助线，将转化为，然后利用解三角形的知识，把和表示出来，建立函数关系求解最值即可.【详解】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．∵关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．例72．（2022·陕西榆林·三模（文））四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得，即可求最小值.【详解】由题设，，取的中点，连接，，，则，，所以.故答案为：例73．（2022·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，设内切圆半径为，则，解得，设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，所以，，则，，所以，因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，所以的取值范围是，故选：C例74．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）半径为2的圆上有三点满足，点是圆内一点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设交于点，则由题意可得四边形是菱形，利用菱形的性质以及数量积的运算性质可得，由即可求得【详解】如图，设交于点，由，可得,所以四边形为平行四边形，因为，所以四边形为菱形，且，所以，由图可知，，所以,因为，所以,所以，因为点为圆内一点，所以，所以，所以的取值范围为，故选：A例75．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围【详解】由，得，则，圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为，因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，所以，即，所以，所以，所以的取值范围为，故选：C例76．（2022·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解.【详解】由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径为，又由，因为，即，可得，所以的取值范围是.故选：B.例77．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据为的中点，将用表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转化为的最小值，即到线段的距离的平方．【详解】解：由题意，，且，，所以，，所以，易知，当时，最小，所以，即，解得，故的最小值为．故选：B．例78．（2022·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（

）A．16 B．12 C．5 D．4【答案】C【解析】【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.【详解】如图，延长到D，使得．因为，所以点P在直线上．取线段的中点O，连接，则．显然当时，取得最小值，因为，则，所以，所以的最小值为．故选：C.例79．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，O为坐标原点，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意直线l过圆心，则，当OC垂直直线l时，取得最小值得出答案.【详解】圆的圆心，满足，所以直线l过圆心，所以，当OC垂直直线l时，取得最小值，所以的最小值为所以的得最小值为，故的最小值为．故选：A例80．（2022·北京·人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围，从而可得最小值.【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，当点位于正六边形的顶点时，取最大值，当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，所以，.所以，.的最小值为.故选：D.例81．（2022·江西·二模（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且，其中实数x，y满足，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】延长AC至M，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段AC的中点O，连接OD，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值.【详解】依题意，解得AB＝4，延长AC至M，使得,如图，因为，所以点D在直线BM上，取线段AC的中点O，连接OD，则，显然当OD⊥BM时，有最小值3，所以，故的最小值为5，故选：B．题型七：矩形大法例82．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（三）数学（文）试题）已知平面向量，，，满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的夹角公式可得，设，，，，，，根据数量积的坐标表示可得点的轨迹为圆，由几何意义可知：的最小值为减去半径即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以不妨设，，，，，，则，，因为，所以，化简为：，所以对应的点是以为圆心，半径为的圆，所以的最小值为，故选：B.例83．（北京市人大附中朝阳学校20192020学年度高一下学期期末模拟数学试题（1））设向量，，满足，，，则的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，由已知可得，表示以为圆心，为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，因为，所以，化简得，表示以为圆心，为半径的圆，则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题例84．（四川省资阳市20212022学年高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.【详解】解：可设，，则，即，则，，，当时，取得最大值为6，即的最大值为6.故选：C题型八：等和线例85．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，，设，，因为，所以，，.因为，所以，，所以.当且仅当，即，时取等号.故选:B.例86．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，则，∵BC//EF，∴设，则∴，∴∴故选：A.例87．（2022·全国·高一期