常州高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第18页/共18页2021-2022学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..1.对于实数，“”是“”的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.详解】当时，例如当，但，故充分性不成立；反之，若，则，故必要性成立.故选：B.2.若，则角的终边在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【详解】试题分析：直接由实数大小比较角的终边所在象限，，所以的终边在第三象限．考点：考查角的终边所在的象限．【易错点晴】本题考查角的终边所在的象限，不明确弧度制致误．3.已知向量不共线，且，，，则共线的三点是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】需结合观察法，对四个选项进行排除，经检验C相符合题意【详解】已知向量不共线，且，，，由，得，则，即，所以三点共线，中对应点经检验均不符合题意，舍去故选：C.【点睛】本题考查三点共线的向量求法，可简记为：若三点共线，则（表达方式不唯一），属于基础题4.已知，，那么2x+y的值为（）A.8 B.3 C.1 D.log23【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算求解作答.【详解】由，得，而，因此，所以故选：B5.函数的值域是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由的范围，可得的范围，结合余弦函数的性质进而求出函数的值域．【详解】因为，所以，因为函数在上递增，上递减，又，，，所以即.故选：A．6.函数的大致图象是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】从函数的定义域，奇偶性，以及特殊值，排除选项.【详解】函数的定义域是，排除A，，所以函数奇函数，关于原点对称，故排除C，当时，，故排除B,满足条件的只有D.故选：D7.已知偶函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得，，，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．【详解】因为，，，又由为偶函数，则，，，又函数在上单调递增，所以，又在上单调递减，则有，故选：D．8.若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图象，要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，下列结论中正确的有（）A.若，则是的整数倍B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称D.函数在单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值代入可得A错误；对于选项BC，利用带入检验法可得是函数的一条对称轴，是的一个对称中心，可知BC正确；由正弦函数单调性可得D错误.【详解】对于A，若，可令，可得，但不是的整数倍，即A错误；对于B，将代入可得，取得最小值，即可知直线是函数的一条对称轴，即B正确；对于C，将代入可得，即可得是的一个对称中心，所以C正确；对于D，若时，，由正弦函数单调性可知，在上不是单调递增的，所以D错误.故选：BC10.要得到函数的图像，只要将的图像A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数转化成，所以将的图像向左平移个单位长度得到.【详解】，∴将的图像向左平移个单位长度可得的图像.【点睛】本题考查三角函数的图像的平移，属于简单题.11.若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（）A.若，则M是边BC的中点B.若，则M是边BC的中点C.若，则点M是△ABC的重心D.若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据向量的运算得到，即可求解.【详解】对于A，由，得，即，因此点M是边BC的中点，故A正确；对于B，，，则点在边的延长线上，所以B不正确；对于C，设中点，则,，由重心性质可知C正确；对于D，，且，设分别取AB，的中点为N，，则，即点M在过AB中点且平行BC的直线上即M在上，在的中位线上，的面积是的，选项D正确.故选：ACD.12.已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A.若f（x）的最小值为-1，则B.当时，恒成立.C.当时，存在且，使得D.存在，使得对任意恒成立.【答案】ABC【解析】【分析】A.分和时，由对数型函数和二次函数的性质求解判断；B.由时单调递增判断；C.取时作图判断；D.分和由二次函数的性质求解判断.【详解】A.当时，单调递增，则，所以时，，若，则在递减，则，不符合题意；若，在上递减，在上递增，则在上最小值为，解得或（舍去），故正确；B.当时，单调递增，则，若，则在递减，则，则当时，恒成立，故正确；C.当时，，如图所示：由图象知：当时，存在且，使得，故正确；D.假设存在，使得对任意恒成立，当时，在上的最小值为，则，即，显然不成立；当时，在时取得最小值为，则，即，显然不成立，故错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：___________.【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案.【详解】原式故答案为：.14.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2【答案】400π【解析】【分析】由扇形的面积公式计算即可得到答案.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故答案为：400π15.已知正数满足，则的最小值为_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得到的最小值．【详解】因为,所以，当且仅当即时，取等号．故答案为：916.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则a的最小值是_________.的最小值是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由分段函数解析式可画出函数图象，利用函数与方程的思想即可得时，方程有四个不同的解，且，，化简并利用基本不等式即可得的最小值是.【详解】根据题意，画出函数的图象如下图所示：若方程有四个不同的解，等价于与的图象有四个交点，结合图象可知；所以a的最小值是；由图可知关于对称，所以；由图知满足，而即，所以；所以，当且仅当时等号成立；所以的最小值是.故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设m为实数，（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）{或}；（2）【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）由题意得恒成立，则，解不等式组可求出实数的取值范围.【小问1详解】当时，解得或故不等式的解集为或，【小问2详解】由题意可得，恒成立，则，解得故m的取值范围为18.在平面直角坐标系：中，角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.（1）若，求tanα及的值；（2）若，求点P的坐标.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数间的关系求解即可；（2）由题意可求出，联立方程即可求解.【小问1详解】若角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，若，则，则，可得，【小问2详解】由题意又，①两边平方，可得，可得，可得，②联立①②，可得所以点P的坐标为.19.已知函数（1）求证：函数是上的减函数；（2）已知函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，判断函数的图象是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在对称中心【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义按照步骤证明即可得函数是上的减函数；（2）利用有对称中心的充要条件可知恒成立，即可得存在对称中心.【小问1详解】证明：设，则，由，可得，则，即，所以函数是上的减函数；【小问2详解】由已知条件“函数的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称”，即可得，可得所以化简可得，则需满足，代入可得，解得，所以函数的图象存在对称中心.20.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且恒成立.（1）求函数的解析式（2）求函数在上的单调递增区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期，进而求得，再由恒成立得到，从而得解；（2）利用正弦函数的性质求得在上的单调递增区间，结合取交集即可得解.【小问1详解】因为函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，则，故，又，故，所以又恒成立，所以当时，取得最大值，所以，即，又，所以，所以.【小问2详解】令，得，可得的单调递增区间为，结合，可得的单调递增区间为.21.某自然资源探险组织试图穿越某峡谷，但峡谷内被某致命昆虫所侵扰，为了穿越这个峡谷，该探险组织进行了详细的调研，若每平方米的昆虫数量记为昆虫密度，调研发现，在这个峡谷中，昆虫密度是时间（单位：小时）的一个连续不间断的函数其函数表达式为，其中时间是午夜零点后的小时数，为常数.（1）求的值；（2）求出昆虫密度的最小值和出现最小值的时间；（3）若昆虫密度不超过1250只/平方米，则昆虫的侵扰是非致命性的，那么在一天24小时内哪些时间段，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰.【答案】（1）（2）昆虫密度的最小值为0，出现最小值的时间为和（3）至至【解析】【分析】（1）由题意得，解出即可；（2）将看成一个整体，将函数转化为二次函数，根据二次函数的单调性即可得出结论；（3）解不等式即可得出结论．【详解】解：（1）因为它是一个连续不间断的函数，所以当时，得到，即；（2）当时，，，则当时，达到最小值0，，解得，所以在和时，昆虫密度达到最小值，最小值为0；（3）时，令，得，即，即，即，解得，，因为，令得，令得所以，所以，在至至内，峡谷内昆虫出现非致命性的侵扰．【点睛】本题主要考查分段函数在实际问题中的应用，同时考查了三角函数的应用，属于中档题．22.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）函数是偶函数,所以得出值检验即可；（2）因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为是上的偶函数，所以，即解得，经检验：当时，满足题意.（2）因为，所以因为时，存在零点