北京市第三十一中学2022年数学九年级上册期末预测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.用一个圆心角为120°,半径为4的扇形作一个圆锥的侧面.则这个圆锥的底面圆的半径为（）

43

A.—B.1C.-D.2

34

2.如图，AABC中，ZACB=90°,沿CD折叠ACBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=22。，则

ZBDC等于

A.44°B.60°C.67°D.77°

3.已知三角形的周长为12,面积为6,则该三角形内切圆的半径为（）

A.4B.3C.2D.1

k_

4.反比例函数）=一在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）

x

A.3B.5C.6D.8

5.用配方法解方程X2+6X+4=0,下列变形正确的是()

A.(x+3)2=-4B.(x-3)2=4C.(x+3)2=5D.(x+3)2=

4

6.用配方法解方程2x2--x-2=0,变形正确的是()

3

89110

A.(X—1)2=—B.3——)2=0C.(=+-)2=—D.(x」)2=W

3933939

7.如图，四边形力BCD内接于Q）,为直径，AD^CD,过点D作于点E,腌4C交DE于点F.若

3

sinZO4B=-,DF=5,则BC的长为(

5

D

8B.10C.12

若3a=5b（br0）,则下列各式一定成立的是（

a_3a+1_4

b5万335

9.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AF平分NCAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=3,AB=5,

则CE的长为（）

4

3

10.如图，0。的直径AB的长为10,弦AC长为6,NACB的平分线跖。于D,则CD长为（）

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，是。。的弦，45=4,点C是。。上的一个动点，且NAQ?=45°.若点M,N分别是A3,8c的中点,

则MN长的最大值是.

12.如图，已知A（5,0）,B（4,4）,以OA、AB为边作OABC,若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的

解析式为.

13.一个圆锥的母线长为5cm,底面圆半径为3cm,则这个圆锥的侧面积是cn?.（结果保留班）.

14.如图，0,E分别是A4BC边AB,AC上的点，40E=4CB,若4D=2,AB=Q,AC=4,则力E=.

15.二次函数y=2（x-3）2+4的图象的对称轴为x=.

16.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-/i）2+k的形式为.

17.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3,0）,点尸（1,2）在正方形铁片上,

将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图（1）位置，第二次旋转至图（2）位置…，则

正方形铁片连续旋转2018次后，点尸的纵坐标为

4(1)(2)

18.如图，正方形ABCD的边长为a,在AB、BC、CD、D4边上分别取点/、B、C、D,

1111

1

AA=BB=CC=DD-q,在边AB>BC、CD、DA上分别取点使

1111411111111*2222

1

AA=BB=CC=DD=_AB_依次规律继续下去，则正方形4BCD的面积为__________

12121212411nnnn

三、解答题（共66分）

19.（10分）为了“创建文明城市，建设美丽台州”，我市某社区将辖区内一块不超过1000平方米的区域进行美化.经

调查，美化面积为100平方米时，每平方米的费用为300元.每增加1平方米，每平方米的费用下降0.2元。设美化面

积增加x平方米，美化所需总费用为y元.

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为多少元；

（3）当美化面积增加多少平方米时，美化所需费用最高?最高费用是多少元？

20.（6分）如图，点B、C、D都在。O上，过点C作AC〃BD交OB延长线于点A,连接CD,且

ZCDB=ZOBD=30°,DB=6-^-cm.

（1）求证：AC是。O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.（结果保留好

21.（6分）在一个不透明的袋子里，装有3个分别标有数字-1,1,2的乒乓球，他们的形状、大小、质地等完全相

同，随机取出1个乒乓球.

（1）写出取一次取到负数的概率；

（2）小明随机取出1个乒乓球，记下数字后放回袋子里，摇匀后再随机取出1个乒兵球，记下数字.用画树状图或列

表的方法求“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”发生的概率.

22.（8分）如图，O是AB所在圆的圆心，C是AB上一动点，连接OC交弦AB于点D.已知AB=9.35cm,设A,

D两点间的距离为％cm,O,D两点间的距离为3cm,C,D两点间的距离为了2cm.小腾根据学习函数的经验，分别对

函数V,y随自变量X的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整:

12

（1）按照下表中自变量了的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值:

12

x/cm0.001.002.003.004.005.006.007.108.009.35

m

y}/cm4.933.992.281.701.592.042.883.674.93

y/cm0.000.941.832.653.233.342.892.051.260.00

2

⑵①在同一平面直角坐标系xQy中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,（x,y）,并画出（1）中所确定的

12

函数的图象;

（3）结合函数图象，解决问题：当时，AO的长度约为cm（结果保留一位小

数）.23.（8分）（1）解方程：x2+4x-1=0

（2）已知妫锐角，若sinQ-15,=*，求0的度数,

24.（8分）如图，。是等边三角形ABC内一点，将线段4。绕点A顺时针旋转60。，得到线段AE,连接CD,BE.

（1）求证：EB=DC；

（2）除OE,若N8E£>=50。，求N4OC的度数.

25.（10分）篮球课上，朱老师向学生详细地讲解传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位同学配合朱老师进行传球训

练，朱老师把球传给甲同学后，让四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲同学第一个传球时，求甲同学传给下一个

同学后，这个同学再传给甲同学的概率

26.（10分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；并且进价50件工艺品与销售40件工艺品的价钱

相同.

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件.若每件工艺品降价

1元，则每天可多售出该工艺品4件.问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少

元

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】根据扇形的弧长公式求出弧长，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长求出半径.

【详解】解：设圆锥底面的半径为r,

120兀X48

扇形的弧长为：z71，

1803

•.•圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

8

二根据题意得2nrf兀，

4

解得：r=—,

故选A.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，掌握弧长公式、周长公式和圆锥与扇形的对应关系是解题的关

键.2、C

【解析】分析：ZkABC中，ZACB=90°,NA=22。，

；.NB=90°-NA=68。.

由折叠的性质可得：ZCED=ZB=68°,NBDC=NEDC,

:.ZADE=ZCED-ZA=46°.

180°-ZADE

NBDC==67°.

2

故选C.

3、D

1厂

【分析】设内切圆的半径为r,根据公式：fC三角产S巾形，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径.

【详解】解：设内切圆的半径为r

1

2。12=6

解得：r=l

故选D.

【点睛】

16

此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：_yc=s是解决此题的关键.

4、B

【分析】根据点（1,3）在反比例函数图象下方，点（3,2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答

案.

【详解】•.•点（1,3）在反比例函数图象下方，

.\k>3,

•.•点（3,2）在反比例函数图象上方，

k

：.M2,即k<6,

3

•*.3<k<6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.

5、C

【解析】X2+6X+4=0,移项，得x2+6x=—4,配方，得x2+6x+32=—4+32,即（x+3）2=5.

故选C.

6、D

4

【解析】用配方法解方程2X2-QX-2=0过程如下：

4°

移项得：2炉一X=2，

4

二次项系数化为1得：门一》=1，

6

411

配方得：彳2-一%+一=1+一，

699

,10

即0n：（%；）2=_.

39

故选

D.7、

C

【解析】连接3。，如图，先利用圆周角定理证明NNDE=NDNC得到尸D=E4=5,再根据正弦的定义计算出

EF=3,则NE=4,DE=8,接着证明A/4DE〜ADBE,利用相似比得到BE=16,所以力B=20,然后在R/A4BC

中利用正弦定义计算出BC的长.

【详解】连接BD,如图，

•••AB为直径，

:.ZADB=AACB=90°,

-AD^CD,

：.ZDAC^ZDCA,

而ADCA=ZABD,

：.ZDAC=ZABD,

DEIAB,

：.ZABD+ZBDE=90°,

而£ADE+NBDE=90°,

；.ZABD=ZADE,

：.ZADE=ZDAC,

:.FD=E4=5,

在BJUEF中，•••sinZO4B="=3.

AF5

：.EF=3,

；.AE«52-32=4,DE=5+3=8,

•••ZADE=NDBE,ZAED=NBED,

：.AADE~ADBE,

：.DE：BE=AE：DE,即8:BE=4:8,

：.BE=16,

:.AB=4+16=20,

BC3

在R/A/BC中，VsinZCAB=_

3~AB~5,

ABC=20x_=12,

5

故选c.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对

的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键.

8、B

【分析】由等式的两边都除以3b,从而可得到答案.

【详解】解：*.3a=5Z?(bK0),

•••等式的两边都除以：3b,

.3a_5b

"3b~3b'

a5

"h"3'

超B.

【点睛】

本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关

键.9、A

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCFA=90°,ZFAD+ZAED=90",根据角平分线和对顶角相等得出

ZCEF=ZCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【详解】过点F作FG_LAB于点G,

VZACB=90°,CDA.AB,.,.ZCDA=90°,/.ZCAF+ZCFA=90°,ZFAD+ZAED=9Q°,尸平分NC4B,

：.ACAF=AFAD,；.NCFA=NAED=NCEF,：.CE=CF,尸平分NC4B,NAC尸=NAG尸=90°,：.FC=FG,

BFFG

,:NB=NB,ZFGB=ZACB=90°,：./\BFG<^ABAC,rr-,\'AC=3,AB=5,ZACB=9Q°,：.BC=4,

ABAC

4-FCFG4-FCFC33

----------=——，VFC=FG,-----------=——，解得：FC=即CE的长为一故选A.

535322

【点睛】

本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，

关键是推出NCEF=NCFE.

10、B

【解析】作DFLCA,交CA的延长线于点F,作DG_LCB于点G,连接DA,DB.由CD平分NACB,根据角平分线

的性质得出DF=DG,由HL证明AAFDgzlXBGD,ACDF^ACDG,得出CF=7,又ACDF是等腰直角三角形，从

而求出CD=772.

【详解】作DFJ_CA,垂足F在CA的延长线上，作DGLCB于点G,连接DA,DB,

；CD平分NACB,

/.ZACD=ZBCD

；.DF=DG,ADBD,

，DA=DB,

VZAFD=ZBGD=90°,

/.△AFD^ABGD,

.\AF=BG.

易证ACDF且ZXCDG,

ACF=CG,

VAC=6,BC=8,

.\AF=1,

；.CF=7,

VACDF是等腰直角三角形，

；.CD=7向，

嬲B.

【点睛】

本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强,

有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、2y/2

【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值.

【详解】解：•点M,N分别是AB,8c的中点，

1

/.MN=-AC,

2

..当AC取得最大值时，MN就取得最大值，

当AC时直径时，最大，

如图，

\-ZACB=ZD=45°,力B=4,

AD=4/2,

1

MN=-AD=^,

故答案为：-

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将的值最大

问题转化为AC的最大值问题，难度不大.

4

12、y=--

x

【分析】直接利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用反比例函数解析式的求法得出答案.

【详解】解：VA(5,0),B(4,4),以OA、AB为边作OABC,

ABC=AO=5,BE=4,EO=4,

AEC=1,故C(-1,4),

4

若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为：y=--.

x

4

故答案为：y=-

x

【点睛】

本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，将反比例函数上的点带入解析式中即可求解.

13、15兀

【分析】圆锥的侧面积="底面半径x母线长，把相应数值代入即可求解.

【详解】解：圆锥的侧面积=7rx3x5=l5kcm2

故答案为：153

【点睛】

本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关

键.14、1

【分析】证明AADEs^ACB,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

/.AADE^AACB,

ADAE_2AE

:.----=----,即H一=----，

ACAB46

解得，AE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关

键.15、1

【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴.

【详解】Vy=2(x-1)2+4是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，

对称轴为直线x=

1.故答案为L

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴问题，掌握抛物线的顶点式是解题的关

键.16、j=(X—2)2+1

【分析】利用配方法整理即可得解.

【详解】解：y=启-4x+5=心-4x+4+1=(x-2)2+1,

所以y=(X-2)2+1.

故答案为y=(x-2)2+1.

【点睛】

本题考查了二次函数的解析式有三种形式：

⑴一般式：y=ax2+bx+c(b、c为常数)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k；

(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x)(x-x)

12

17、1

【分析】由旋转方式和正方形性质可知点P的位置4次一个循环，首先根据旋转的性质求出々〜P5的坐标，探究规律

后，再利用规律解决问题.

【详解】解：•••顶点A的坐标为(3,0),点尸(1,2),

二第一次旋转90°后，对应的A(5,2),

第二次尸2(8,1),

第三次尸3(10，1)，

第四次尸4(13,2),

第五次尸5(17,2),

发现点尸的位置4次一个循环，

：2018+4=504余2,

《018的纵坐标与尸2相同为3

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的

图形全等.也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法,

属于中考常考题型.

5

【分析】利用勾股定理可得A[B]2=da2,即正方形AiBiJDi的面积，同理可求出正方形AzB/zD?的面积，得出规律

O

即可得答案.

【详解】•.•正方形ABCD的边长为a,AA=BB=CC=DD=-a,

iiii4

315J—

/.ABz=AB2+BBz=(_a)2+(_)2=_az,AB=50a,

1111448114

5

正方形AiBJiD]的面积为7a2,

o

1D

VAA=BB=CC=DD=_48，

12121212411

/.AB2=(^x^A^d)2+(^X5^0'a)2=(£)2a2,

2244448

5

二正方形A2B2c2口2的面积为“)232,

o

...正方形ABC。的面积为（2）na2,

nnnn8

故答案为：（;JnaZ

8

【点睛】

本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键.

三、解答题（共66分）

19、（1）y=-0.2x2+280X+30000；（2）当美化面积增加ioo平方米时，美化的总费用为56000元（3）当美化面

积增加700平方米时，费用最高，最高为128000元

【分析】（1）设美化面积增加x平方米，所以美化面积为100+x;每平方米的费用为300元，每增加1平方米，每平方

米的费用下降0.2元，所以每平方米的费用为（300-0.2X）元，故总费用y与美化面积增加x的关系式为

y=（100+x）（300—0.2x）再化简即可；

（2）把x=ioo代入解析式即可求解；

（3）代入顶点坐标公式：当X=一2,y取最大值把士求解即可.

2a4a

【详解】(1)依题意得：y=(100+x)(300-0.2x)=-0.2x2+280x+30000

故y与x的函数关系式为：y=-0.2x2+280x+30000

(2)令x=100代入y=-0.2x2+280x+30000,得y=56000.

所以当当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为56000元

(3);y=-0.2x2+280x+30000

.-.a=-0.2,b=280,c=30000

b=_280=700

2a2x(-0.2)

4ac-b24x(-0.2)x30000-2802

-------=---------——-------=128(X)0

4a4x(f-0.2)

因此当X=700时，费用最高，最高为128000元

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用，解题关键在于理解题意列出二次函数的解析式，再利用二次函数的最值解决生活中的最

值问题

20、(3)证明(3)2冗cm3.

【分析】连接BC,OD,OC,设OC与BD交于点M.(3)求出NCOB的度数，求出NA的度数，根据三角形的内

角和定理求出NOCA的度数，根据切线的判定推出即可；

证明△色从而得至

(3)CDMZiOBM,US阴1t影屈形UTJ

【详解】如图，连接BC,OD,OC,设OC与BD交于点M.

(3)根据圆周角定理得：ZCOB=3ZCDB=3x30°=20°,

VAC/7BD,

.*.ZA=ZOBD=30°,

AZOCA=380°-30°-20°=90°,即OCJLAC,

voc为半径，

.•.AC是。O的切线；

(3)由(3)知，AC为。。的切线，

.,.OC±AC.

VAC/7BD,

AOCIBD.

由垂径定理可知，MD=MBQBD=M\

在RtAOBM中，

MB3^3

ZCOB=20°,OB=COS30°忑=2.

~T

在^CDM与4OBM中

NCDM=NOBM=30。

<MD=MB,

ZCMD=ZOMB=90。

.'.△CDMg△OBM(ASA),

•s=s

•,^ACDMAOBM

：•阴影部分的面积S=SB()=6°t62=2兀(cm3).

阴影扇形BUI360

考点：3.切线的判定；3.扇形面积的计算.

15

21、(1)-；(2)-

oy

【分析】(1)由概率公式即可得出结果；

(2)由树状图得出第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

1

【详解】解(D取一次取到负数的概率为可；

(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，“第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的有5种情况，

5

第一次得到的数与第二次得到的数的积为正数”的概率为

y

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

22、(2)①见解析；②3.1(3)6.6cm或2.8cm

【分析】(2)①根据画函数图象的步骤：描点、连线即可画出函数图象；②根据题意，利用图象法解答即可；

⑶根据题意：就是求当yy肘对应的x的值，可利用函数图象，观察两个函数的交点对应的x的值即可.

14

【详解】解：⑵①如图所示：

②观察图象可得：当x=2时，匕=3.1,

故答案为：3.1;

故答案为：6.6cm或2.8cm.

【点睛】

本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的有关知识和动点问题的函数图象，熟练运用图象法、灵活应用数形结合的思

想是解题的关键.

23、(1)x=-2+器,X=-2-^5；(2)75°.

12

【分析】(1)用公式法即可求解；

(2)根据特殊角的三角函数求解即可.

【详解】(1):/=从一4ac=42-4x1x(-1)=20>0,

...乂=_"山2_4"=一4±而=_2±5

2a2

x=-2+^5,x=-2-75，

12

(2)•.•sin600=三

2

.•.a-15°=60°,

.•.a=75°.

【点睛】

本题考查了利用公式法解一元二次方程和利用特殊角的三角函数值求角的度值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)110°

【分析】⑴根据等边三角形的性质可得NA4c=60。，AB=AC,由旋转的性质可得NO4E=60。，AE=AD,利用SAS

即可证出从而证