【高频考点题型】28.2 解直角三角形及其应用（拔高篇）（解析版）

【冲刺高分】人教版九年级数学下学期学神考霸养成优选练测卷【高频考点题型】28.2解直角三角形及其应用（拔高篇）（考试时间：90分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共22小题，单选8题，填空8题，解答6题，限时90分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022·全国·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为（）A．3sin35° B．2cos35° C．3cos35° D．3tan35°【答案】C【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝3，则BC的长为3cos35°，因此，应选C.2．（2021·福建南安·九年级阶段练习）球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】过铅球C作CB⊥底面AB于B，在Rt△ABC中，AC=5米，根据锐角三角函数sin31°=，即可求解．【详解】解：过铅球C作CB⊥底面AB于B，如图在Rt△ABC中，AC=5米，则sin31°=，∴BC=sin31°×AC=5sin31°．故选择A．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．3．（2021·北京大兴·九年级期中）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．【答案】A【分析】解直角三角形求出AB即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，已知直角三角形的锐角及斜边，用正弦即可求得这个角的对边.4．（2022·北京平谷·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】根据30度的锐角三角形函数，△ADC的面积为1，分别用表示出，进而根据三角形面积公式求解即可【详解】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∠CAD=30°，CD⊥AD于D，在中，,,△ADC的面积为1，即,故选C【点睛】本题考查了解直角三角形，将都用表示出来是解题的关键．5．（2021·重庆实验外国语学校九年级期中）为测量垂直于水平面的某建筑物AB的高度，小明利用山坡CD进行估算，已知山坡底端C处到AB的水平距离CB为200米，山坡顶端D处到AB的水平距离DE为40米（点A，B，C，D在同一平面内）．且在D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，已知山坡的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．．92.3 B．．97.5 C．106.7 D．．114.3【答案】D【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据坡比可得DF的长，利用50°角的正切可得AE，进而可得答案．【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，由图可得，四边形DEBF是矩形，∴DF=EB，BF=DE=40（m），∴CF=200-40=160（m），∵山坡的坡度（或坡比）为i=1：2.4，∴DF=160÷2.4=（m），即BE=（m），∵∠ADE=50°，∴tan50°==1.19，∴AE=47.6（m），∴AB=AE+BE=47.6+≈114.3（m）．故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．（2022·山西大同·九年级期末）如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为31°，自动扶梯AB的长为15m，则大厅两层之间的高度BC为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin31°=，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：sin31°==，则BC=15sin31°（m）．故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键．7．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】设正六边形的边长为1，当在上时，过作于而求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点过作于并求解此时的函数解析式，当在上时，连接并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.【详解】解：设正六边形的边长为1，当在上时，过作于而当在上时，延长交于点过作于同理：则为等边三角形，当在上时，连接由正六边形的性质可得：由正六边形的对称性可得：而由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，所以符合题意的是A，故选A【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.8．（2022·吉林·长春外国语学校九年级期末）为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30cm，当BC=60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为()(结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm【答案】B【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出CM，再用CM减去MN即可．【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N由题意可知MN=30cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，∴sin∠ABE=sin70°==0.94∴CM≈56cm∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。9．（2021·北京大兴·九年级期中）青岛位于北纬36°4′，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的最小间距为______________米，才能保证不挡光．【答案】【分析】根据题意作出图形，根据已知直角三角形的一个锐角和一边求另一边的问题．【详解】解：如图，,∴即故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角比是解题的关键．10．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD为3米，路基高为1米，斜坡AB的坡度，那么路基的下底宽BC是_________米．【答案】6【分析】过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，根据DF的长和坡度即可求得BE、CF的值，根据AB=BE+EF+CF即可计算BC，即可解题．【详解】解：如图，过A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，AE=DF=1米，AD=EF=3米，∵坡度===，∴BE=CF=1.5米，∴BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6米．故答案为6．【点睛】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求BE、CF的长是解题的关键．11．（2022·全国·九年级课前预习）某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，堤坝高BC＝50m，则AB＝____m．【答案】100【解析】略12．（2021·上海徐汇·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是_____．【答案】##【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【详解】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴·CD·EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tanC＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造合适的直角三角形是解题的关键．13．（2022·福建泉州·九年级期末）如图，在矩形中，点E在上，且于F，连结，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________（填写序号即可）．【答案】①④##④①【分析】根据矩形的性质，等角的余角相等可得,，即可证明进而判断①，根据可得，根据，结合相似比可得，进而判断②，过点作，反证法证明可得，进而判断③，连接设则，勾股定理求得各边，根据建立关系式，进而可得，进而求得，即可判断④【详解】解：四边形是矩形,,，故①正确；即故②不正确过点作，如图，若，则即与矛盾，故故③不正确设则中，连接，如图，在中，在中，即①又②①+②得故④正确，故答案为：①④【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，根据特殊角的三角函数值求角度，掌握以上知识是解题的关键．14．（2022·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校九年级期末）如图，△ABC中，BA=CB=AD，∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝6+8，则线段BC长度为_____．【答案】【分析】作AF⊥DC于点F，作BE⊥AC于点E，首先根据tan∠BAC＝表示出，，然后根据等腰三角形的性质和30°角直角三角形的性质表示出AC和AF的长度，然后根据勾股定理表示出FC和FD的长度，最后根据CD的长度列方程求解即可．【详解】解:如图所示，作AF⊥DC与点F，作BE⊥AC与点E，∵tan∠BAC＝，BE⊥AC∴设，∴∴∵，BE⊥AC∴∴∵AF⊥DC，∠ACD＝30°∵∴在中，∴在中，∵∴，解得：∴，故答案为：10．【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是根据题意正确作出辅助线，以及熟练掌握以上知识点和性质定理．15．（2021·上海宝山·九年级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP＝_______．【答案】【分析】①如图1所示，由题意知，EF为△ABC的中位线，∠EFC＝∠ABC＝45°，∠PAO＝45°，∠PAO＝∠OFH，∠POA＝∠FOH，∠H＝∠APO，在Rt△APC中，EA＝EC，有PE＝EA＝EC，∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∠H＝∠BAH，BH＝BA，∠ADP＝∠BDC＝45°，∠ADB＝90°，知BD⊥AH，∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∠ADB＝∠ACB＝90°，有A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∠DAC＝∠DCA＝22.5°，知DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，tan∠CAP＝＝计算求解即可；②如图2所示，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝，PC＝a﹣a，tan∠CAP＝，计算求解即可，而情形2满足要求．【详解】解：①如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a＝AP，∴tan∠CAP＝＝＝+1；②如图2中，当点P在线段CD上时，同理可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝∴PC＝a﹣a，∴tan∠CAP＝＝＝，∵点P在线段EF上，∴情形1不满足条件，情形2满足条件；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了中位线，等腰三角形的判定与性质，旋转，直角三角形斜边上中线的性质，正切函数等知识点．解题的关键在于表示出正切中线段的长度．16．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是________海里．（结果保留根号）【答案】【分析】作BD⊥AC于点D，在直角△ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC于点D．由题可知海里，，．∴，∵在中，，即，∴海里．

∵在中，，即，∴海里．故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线是解决本题的关键．三、解答题：本题共6个小题，17-20每题10分，21-22每题12分，共64分。17．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．(1)求证：；(2)联结，如果，求的正切值；(3)联结，如果，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)30【分析】（1）作CG⊥CE，交FD延长线于G点，可根据题意得出四边形FECG为矩形，再结合矩形和正方形的性质推出△BCE≌△DCG，从而得到CE=CG，即四边形FECG为正方形，即可证得结论；（2）在（1）的基础之上，连接CF，首先通过旋转的性质和三角形的内角定理推出△CEF和△DFP均为等腰直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质推出PF和EF之间的关系，从而表示出BE的长度，即可求出∠BCE的正切值，再根据余角的关系证明∠ABP=∠BCE，即可得出结论；（3）根据正方形的性质以及前面两个问题的求解过程推断出A、C、D、F四点共圆，即可得到在变化过程中，∠AFC始终为90°，从而在Rt△ACF中运用特殊角的三角函数值求解角度即可得出结论．【详解】解：(1)：如图所示，作CG⊥CE，交FD延长线于G点，∵CE⊥BP，DF⊥BP，CG⊥CE，∴∠EFG=∠FEC=∠ECG=∠BEC=90°，∴四边形FECG为矩形，∠G=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，BC=DC，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECG=∠ECD+∠DCG，∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCG，即：∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，∴△BCE≌△DCG(AAS)，∴CE=CG，∴四边形FECG为正方形，∴CE=EF；(2)解：如图所示，连接CF，由（1）知，CE=EF，CE⊥EF，则△CEF为等腰直角三角形，由旋转的性质得：∠PAD=n°，AP=AD，∴∠PAB=90°+n°，∠APD=（180°-∠PAD）=90°-n°，∵AP=AB，∴∠APB=（180°-∠PAB）=45°-n°，∴∠FPD=∠APD-∠APB=45°，∵DF⊥AB，∴∠DFP=90°，∴△DFP也为等腰直角三角形，PF=DF，∴△DFP∽△CEF，∵，∴，设PF=DF=x，则FE=CE=3x，由（1）知四边形CEFG为正方形，∴FG=FE=3x，∴DG=FG-DF=2x，∵△BCE≌△DCG，∴BE=DG=2x，∴在Rt△BEC中，，∵∠ABP+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，∴∠ABP=∠BCE，∴；(3)解：∵，∴如图所示，连接AF和对角线AC，由（2）可知，∠EFC=45°，∠EFD=90°，∴∠CFD=45°，∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠CAD=45°，AC=AB，∴∠CAD=∠CFD，∴点A、C、D、F四点共圆，∴∠AFC=∠ADC=90°，∵AF=AB，∴AF=AC，则在Rt△AFC中，，∵∠ACF为锐角，∴∠ACF=30°，∠FAC=90°-30°=60°，∵∠CAD=45°，∴∠FAD=60°-45°=15°，∵AP=AD，AF=AF，PF=DF，∴△AFP≌△AFD，∴∠FAD=∠FAP=15°，∴∠PAD=30°，∴n=30．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键．18．（2022·广西岑溪·九年级期末）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为30m．求这栋高楼的高度（结果保留根号）．【答案】这栋高楼的高度为米【分析】根据三角函数求出BD、CD，相加即可求出楼高．【详解】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴BD＝ADtan30°＝30×=（米），在Rt△ADC中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝ADtan60°＝30×＝（米），∴BC＝BD＋CD＝＋＝（米）．答：这栋高楼的高度为米．．【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握各三角函数值的计算方法是解题的关键．19．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，在东西方向的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．(1)求AB两地的距离：（结果保留根号）(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）【答案】(1)(2)不能，理由见解析【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM、ON的大小即可得出结论．【详解】解：(1)过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得MN=1,OM=58,，OA=60,OB=30∴AC=，∴∴(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸延长AB交l于D，∵AC∥OD∴∴∴，解得∵MN=1,OM=58∴ON=59∴∴如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船不能行至码头MN靠岸【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．(1)当点D是边AC中点时，求的值；(2)求证：；(3)当时，求．【答案】(1)；(2)见解析；(3)5：3【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，设，，由勾股定理得，由中点定义和三角形的等面积法求得DH，再根据勾股定理求得AH、BH，由求解即可；（2）根据相似三角形的判定证明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可证得结论；（3）设，，则DF=4k，根据余切定义和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根据相似三角形的性质求得AB即可求解．【详解】解：(1)解：过D作DH⊥AB于H，在中，，，设，，∴，∵D为AC的中点，∴AD=AC=，∴，∴，在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；(2)证明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；(3)解：由可设，，则DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．21．（2022·安徽省六安皋城中学九年级期末）已知平行四边形的顶点、分别在其的边、上，顶点、在其的对角线上．图1图2(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图1，当，，求时，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据四边形，四边形都是平行四边形，得到和，然后证明，即可证明出；（2）作于M点，设，首先根据，证明出四边形和四边形都是矩形，然后根据同角的余角相等得到，然后根据同角的三角函数值相等得到，即可表示出BF和FH的长度，进而可求出的值；（3）过点E作于M点，首先根据题意