专题14.3积的乘方（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】（解析版）

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】专题14.3积的乘方班级：_____________姓名：_____________得分：_____________本试卷满分100分，建议时间：30分钟.试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．试题包含基础题、易错题、培优题、压轴题、创新题等类型，没有标记的为基础过关性题目.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋•秦淮区校级月考）计算（﹣ab2）3的结果是（）A．a3b2 B．﹣a3b2 C．a3b6 D．﹣a3b6【答案】D【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．【解答】解：（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．2．（2023秋•西山区校级期中）22021×0.52022的计算结果正确的是（）A．1 B．2 C．0.5 D．10【答案】C【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．【解答】解：原式＝（2×0.5）2021×0.5＝12021×0.5＝0.5．故选：C．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键．3．（2023春•新晃县期末）计算(-1A．13 B．-13 C．19【答案】B【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．【解答】解：(-＝（-13）×（-13）＝（-13）×（-＝（-13）×（﹣1＝（-13=-1故选：B．【点评】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2023•陕西）计算：(-1A．-16x6y3 B．-18【答案】C【分析】根据积的乘方法则计算即可．【解答】解：原式=-18x6y故选：C．【点评】本题考查积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．（2023秋•叙州区校级月考）给出下列等式：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝（a+2b）9；②25•25＝26；③a2m＝（﹣am）2；④a2m＝（﹣a2）m．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：①（a+2b）4（﹣2b﹣a）5＝﹣（a+2b）9，故①错误；②25•25＝210，故②错误；③a2m＝（﹣am）2，故③正确；④a2m＝（﹣a2）m（m为偶数），故④错误；所以，上列等式，其中正确的有1个，故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．（2023春•城阳区期中）计算（﹣3x3）2+[（﹣2x）2]3＝（）A．x5 B．17x6 C．73x6 D．﹣17x5【答案】C【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：（﹣3x3）2+[（﹣2x）2]3＝（﹣3x3）2+（﹣2x）6＝9x6+64x6＝73x6．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则是解决问题的关键．7．（2022春•开江县期末）已知am＝3，an=13，则a2m+3A．13 B．3 C．9 D．【答案】A【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵am＝3，an=1∴a2m+3n＝a2m•a3n＝（am）2•（an）3＝32×（13）＝9×=1故选：A．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．8．（2019秋•徐汇区校级月考）计算22019×52018的积是（）位整数．A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】C【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，把22019×52018化成2×102018，即可判断出它们的积是几位整数．【解答】解：22019×52018＝2×22018×52018＝2×102018∴计算22019×52018的积是2019位整数．故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．9．（2020春•杭州期末）我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n．设5m＝3，5n＝15，5p＝75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．【解答】解：∵5m＝3，∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，∴n＝1+m，∵5p＝75＝52×3＝52+m，∴p＝2+m，∴p＝n+1，①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）＝1+m2+2m﹣2m﹣m2＝1，故此结论正确；故正确的是：①③．故选：B．【点评】本题考查同底数幂的乘除法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．10．（2023•湛江二模）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据对数的定义和乘方解题即可．【解答】解：∵60＝1，∴log61＝0，说法①符合题意；由于dm•dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn，则m＝logdM，n＝logdN，于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意；则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意；设p＝logab，则ap＝b，两边同时取以c为底的对数，logcap=logcb，则p所以p=logc则log827=lo∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，∴a＝0，说法③符合题意；故选：A．【点评】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•香坊区校级期中）（2a2bc3）4＝16a8b4c12．【答案】16a8b4c12．【分析】根据积的乘方等于乘方的积，计算求解即可．【解答】解：（2a2bc3）4＝16a8b4c12，故答案为：16a8b4c12．【点评】本题考查了积的乘方．解题的关键在于熟练掌握：积的乘方等于乘方的积．12．（2023秋•浦东新区期中）已知27n＝9×32m﹣3，4m＝16n，求m+n的值是3．【答案】3．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及二元一次方程组的解法，进而得出答案．【解答】解：∵27n＝9×32m﹣3，4m＝16n，∴33n＝32m﹣3+2，4m＝16n＝42n，∴3n=2m-1m=2n∴解得：m=2n=1∴m+n＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、二元一次方程组的解法，正确得出关于m，n的等式是解题关键．13．（2023春•张店区期末）已知2x+5y+3＝0，则4x•32y的值为18【答案】见试题解答内容【分析】所求式子第二项底数化为以2为底的幂形式，利用同底数幂的乘法法则计算，将已知等式的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵2x+5y+3＝0，即2x+5y＝﹣3，∴4x•32y＝则22x•25y＝22x+5y＝2﹣3=1故答案为：1【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2023秋•西山区校级期中）如果3m＝4，3n＝5，那么3m+2n＝100．【答案】100．【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行计算即可．【解答】解：∵3m＝4，3n＝5，∴3m+2n＝3m•32n＝3m•（3n）2＝4×52＝4×25＝100．故答案为：100．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则，熟知以上知识是解题的关键．15．（2023秋•九龙坡区校级月考）已知2a=3，2b=43，则32a【答案】81．【分析】根据2a=3，2b=43求出2a×2b＝3×43，根据同底数幂的乘法得出2a+b＝22，求出a+b＝2，再根据幂的乘方进行计算，根据同底数幂的乘法得出32a【解答】解：∵2a∴2a×2b＝3×4∴2a+b＝4＝22，∴a+b＝2，∴32a×9b＝32a×（32）b＝32a×32b＝32a+2b＝32×2＝34＝81．故答案为：81．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，能熟记（am）n＝amn和am•an＝am+n是解此题的关键．16．（2020秋•浦东新区校级月考）若an＝2，am＝5，则am+n＝10．若2m＝3，23n＝5，则8m+2n＝675．【答案】10；675．【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可．【解答】解：∵an＝2，am＝5，∴am+n＝am•an＝5×2＝10；∵2m＝3，23n＝5，∴8m+2n＝（23）m+2n＝23m+6n＝23m×26n＝（2m）3×（23n）2＝33×52＝27×25＝675．故答案为：10；675．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019春•余姚市月考）计算下列各式，并用幂的形式表示结果．（1）﹣a6•a（2）x3•x5+x•x7（3）﹣（x3）4+3×（x2）4•x4【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算可得；（2）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可得；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可得．【解答】解：（1）﹣a6•a＝﹣a7；（2）x3•x5+x•x7＝x8+x8＝2x8；（3）原式＝﹣x12+3×x8•x4＝﹣x12+3x12＝2x12．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算及同底数幂的乘法、合并同类项法则．18．用简便方法计算：（1）（-43）2020×（﹣0.75）（2）2020n×（24040）n+1【答案】（1）-3（2）12020【分析】（1）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可；（2）把（24040）n+1化为(【解答】解：（1）（-43）2020×（﹣0.75=(4=(-4=(-1)=1×(-3=-3（2）2020n×（24040）n＝2020n×(＝2020n×(=(2020×1=1=1×1=1【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．19．（2020秋•大石桥市期中）计算；（1）x•x2•x3+（x2）3﹣2（x3）2；（2）[（x2）3]2﹣3（x2•x3•x）2；（3）（﹣2anb3n）2+（a2b6）n；（4）（﹣3x3）2﹣（﹣x2）3+（﹣2x）2﹣（﹣x）3．【答案】（1）0；（2）﹣2x12；（3）5a2nb6n；（4）10x6+x3+4x2．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可；（3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝x6+x6﹣2x6＝0；（2）原式＝（x6）2﹣3（x6）2＝x12﹣3x12＝﹣2x12；（3）原式＝4a2nb6n+a2nb6n＝5a2nb6n；（4）原式＝9x6﹣（﹣x6）+4x2﹣（﹣x3）＝9x6+x6+4x2+x3＝10x6+x3+4x2．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．20．（2023春•雅安期末）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若4×16x＝222，求x的值；（2）M＝2×9x﹣3×3x+5，N＝9x﹣3x﹣1，请比较M与N的大小．【答案】（1）x＝5；（2）M＞N．【分析】（1）将左边化为底数是2的幂的形式，进而求解；（2）设3x＝t，然后将M、N化为关于t的一元二次代数式的形式，再利用作差法解答．【解答】解：（1）∵4×16x＝222，∴4×16x＝22×24x＝22+4x＝222，∴2+4x＝22，∴x＝5；（2）设3x＝t，则9x＝（32）x＝（3x）2＝t2，∴M＝2t2﹣3t+5，N＝t2﹣t﹣1，∴M﹣N＝t2﹣2t+6＝（t﹣1）2+5＞0，即M＞N．【点评】本题考查了幂的运算性质和完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，掌握求解的方法是解题的关键．21．（2023秋•阳泉月考）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为am+n＝am•an，amn＝（am）n＝（an）m，ambm＝（ab）m；（m，n为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：（1）已知a＝255，b＝344，c＝433，请把a，b，c用“＜”连接起来：a＜c＜b；（2）若xa＝2，xb＝3，求x3a+2b的值；（3）计算：2100【答案】见试题解答内容【分析】（1）先逆用幂的乘方法则把255、344、433变形为指数相同的幂的形式，再根据指数相同，底数大的大得结论；（2）先逆用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则，最后整体代入得结论；（3）先逆用幂的乘方法则把底数变形，再利用同底数幂的乘法法则，最后利用乘法的结合律、逆用积的乘方法则得结论．【解答】解：（1）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝433＝（43）11＝6411．又∵32＜64＜81，∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b；（2）x3a+2b＝x3a⋅x2b＝（xa）3⋅（xb）2，∵xa＝2，xb＝3，∴原式＝23⋅32＝8×9＝72．（3）2＝2100×[（2）3]101×[（12）2]＝2100×2303×（12）＝2403×（12）＝23×2400×（12）＝23×（2×12＝8×1400＝8×1＝8．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则和逆用是解决本题的关键．22．（2023春•竞秀区期末）规定：如果两数a，b满足am＝b，则记为：（a，b）＝m．例如：因为23＝8，所以记为：（2，8）＝3．我们还可以利用该规定来说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立，理由如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m×3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（6，36）＝2；（2）计算（7，3）+（7，10）＝（7，30）；（3）如果（3，m+17）＝4，（9，m）＝n，那么（3，64）＝2n；（4）若（3n，2n）＝s，（3，2）＝t，请说明s与t的关系．（n为正整数）【答案】（1）2；（2）（7，30）；（3）64；（4）s＝t．【分析】（1）根据所给的定义可得6m＝36，求出m＝2；（2）根据所给的定义可得7m×7n＝7n+m＝30，则（7，3）+（7，10）＝m+n＝（7，30）；（3）由题意可得34＝m+17，解得m＝64，再由9n＝32n＝64，即可求解；（4）由题意可得3ns＝2n，3t＝2，则3ns＝3tn，从而得到s＝t．【解答】解：（1）令（6，36）＝m，∴6m＝36，∴m＝2，故答案为：2；（2）令（7，3）＝m，（7，10）＝n，∴7m＝3，7n＝10，∴7m×7n＝7n+m＝30，∴（7，3）+（7，10）＝m+n，∴m+n＝（7，30），∴（7，3）+（7，10）＝（7，30），故答案为：（7，30