第二章-有理数及其运算串讲(同步+复习)

第二章有理数及其运算

七年级（上册）

第一单元：有理数正数、负数和0相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量。具有相反意义的两个量，规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示。正数：带正号“+”的数；负数：带负号“－”的数。其中正数的正号可省略不写。0不仅表示“没有”，它还是正数与负数的分界。同时也是具有相反意义的量的基准量。既不是正数又不是负数。重新认识两个符号——【例1】做一做1.如果零上5℃记作+5℃,那么零下3℃记作什么?2.东西为两个相反方向,如果-4米表示一个物体向西运动4米,那么+2米表示什么?物体原地不动记为什么?3.某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨记作什么?4.如果把每月生产180个零件记作0个,则一月份加工160个零件记作_____,二月份加工210个零件记作______.正数有正整数、正分数、正小数。负数有负整数、、负分数、负小数。有理数的概念及分类分数与小数：小数：有限小数；无限小数（循环；不循环）分数：可化为整数、有限小数或无限循环小数。无限不循环小数不能化为分数（不是分数）。有理数：整数和分数统称为有理数。有理数的分类（两分法和三分法）：表附后。分数中的有限小数和无限循环小数属于有理数中的分数。无限不循环小数不是有理数。小数都是有理数的说法错误！非负数：零和正数。即：大于或等于0的数。整数分数正有理数0负有理数正整数0负整数正分数负分数正整数正分数负整数负分数注：1、按定义分——两分法；按性质分——三分法。2、分类里的分数，包括有限小数和无限循环小数。3、熟记非负数的概念。4、分类讨论要牢记：人有两性分男女；数有三性正负零。5、无限不循环小数（如圆周率）不能化成分数，所以不是有理数（初二学习的无理数）。课堂小结1、正数与负数都来自于实际生活；用正、负数可以表示实际问题中具有相反意义的量，例如…2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限。3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正数、零、负数分成三大类。

某一中学初一(2)班学生的平均身高是160厘米(1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米),试完成下表.姓名小明小彬小丽小亮小颖小山身高159154165身高与平均身高的差值-1+20+3(2)谁最高?谁最矮?(3)最高与最矮的学生身高相差多少?162160-6+516311厘米小山最高,小亮最矮练一练第二单元：认识数的工具—数轴数轴的概念、辩识和画法数形结合的思想：数的准确与形的直观结合。定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴有三要素：原点、正方向和单位长度。数轴的画法：水平直线→原点（标0）→确定方向（用箭头表示）→选取单位长度。注意：画数轴时，原点的位置和单位长度的长短要根据题目的实际需要灵活确定。数轴的辨识：三要素+单位长读是否统一。【例1】下列各项中，是数轴的是（）A1B102-1D0-112C0-123-2数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点并不是都表示有理数。有理数与数轴上的点不是“一一对应”的关系。正有理数用原点右边的点表示；负数用原点左边的点表示；0用原点表示。小数最好化成分数后再在数轴上找对应点。数轴上表示某个数时，在该数所在点的位置标一个实心的小黑圆点，再上面或者下面写上对应的数即可。2、指出数轴上A、B、C、D、E点分别表示什么数？1234560-1-2-3-4-5ABCDE1.5，-2，2，0，，

2932-1、画数轴并表示出下列有理数．【例2】数轴与有理数的大小利用数轴可以方便快捷地比较有理数的大小。正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数。数轴上原点右边的点表示的数为正数；原点左边的点表示的数为负数；右边的点表示的数比左边的大。简记为：右大左小。注意：两个负数比较大小时：“表面越大”的数反而越小。【例3】．如果点A、B、C、D所对应的数为

a、b、c、d，则a、b、c、d

的大小关系为（）

A.a＜c＜d＜bB.b＜d＜a＜c;C.b＜d＜c＜aD.d＜b＜c＜aC【例4】．校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了－70米，此时张敏的位置在()A.在家B.在学校

C.在书店D.不在上述地方-80-60-40-20020406080100120140学校家书店B北【例5】．写出大于－4.1且小于2.5的所有整数，数并把它们在数轴上表示出来.解：大于－4.1且小于2.5的所有整数为-4，-3，-2，-1，0，1，2.-5-4-3-2-10123456如图所示：第三单元：相反数与绝对值相反数定义代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数。也称这两个数互为相反数。规定：0的相反数是0。几何定义：在数轴上，如果表示两个数的点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，我们称其中的一个数是另一个数的相反数。（互为相反数）相反数的性质和求法性质：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0。求法：按照定义直接写；联想数轴上的位置确定一个数的相反数；“计算法”：a的相反数是－a。巧用相反数“计算法”化简多重括号。【例1】做一做求12，0，0.7,-0.05,x，0的相反数.直接写得数：－（－3）=＋（＋3）=＋（－3）=－（＋3）=－{－[－（＋3）]}=－（－a）=注：1、“＋”可以表示本身，自己；“－”表示相反，变号。2、去掉（化简）多重括号可以总结为：奇负偶正。数一数负号的个数，若为奇数个，则结果为负；若为偶数个，结果为正。01234-1-2-3大象距原点多远?两只小狗分别距原点多远?绝对值的概念几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离，叫做该数的绝对值。代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。互为相反数的两个数的绝对值相等。一个数的绝对值一定是非负数。符号语言：IaI表示有理数a的绝对值。读做a的绝对值。绝对值的计算公式：

a(a＞0)0(a=0)-a(a＜0)即：︱a︱=或6、若IxI=x，则x≥0若IxI=－x，则x≤0任何一个有理数的绝对值都是非负数.即：【例2】小试牛刀求下列各数的绝对值：3.6，+12，+25，-7，-1，-6.3，0一个数的绝对值等于5，这个数是

。一个数的绝对值小于5，这个数的取值范围内是什么？有理数的绝对值一定是正数。对吗？若|a|＝|b|，则a＝b。对吗？若|a|＝－a，则a必为负数。对吗？7.如果－|a|=|a|，那么a＿＿＿＿＿.两个负数大小的比较（有理数比较大小）两个正数比较大小：绝对值大的数较大。两个负数比较大小：绝对值大的数反而小。正数大于负数；负数小于0；正数大0。数形结合比较法：数轴上，数所对应的点在右边的数一定大于左边的数。有理数的两个重要属性：符号决定方向、目标；绝对值决定距离、数量、长度。确定一个有理数：一定值号，二定值。【例3】有理数的大小比较

【例4】某出租车周日下午以钟楼为出发点，在东西方向的大街上行驶，规定向东为正，向西为负，行驶里程按照先后顺序记录如下(单位：km)：＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10.(1)最后出租车离开钟楼多远？在钟楼的什么方向？

(2)若每千米的收费价格是2.4元，该出租车周日下午的营业额是多少？【例5】[答案]D第四单元：有理数的加法有理数加法法则有理数运算的原则：一定号；二定值。互为相反数的两数相加，和为0；两数和为0，这两数互为相反数（都为0或符号相反，绝对值相等）。0+任何数=任何数。加法法则口诀：（一步一回头，提高准确率）结合加法的意义：“合并加；多几加”消化理解。一定号二定值同号同号一边倒两绝加一起异号异号拍马屁大绝减小绝类型法则【例1】计算：【想一想】若a+b=c，c一定大于a或b，对吗？若a与b的和为正数，a与b一定都是正数。对吗？如果不对，有哪几种可能？如果两个非负数的和为0，这两个非负数一定都等于0。对吗？【练一练】若IAI+IBI=0，则必有A=（）；B=（）若Ia+3I+Ib－5I=0，则a+b的相反数为（）有理数加法的运算律加法交换律：加法结合律：交换→结合的原则。相反数结合到一起。同号的数结合到一起。分母相同的数结合到一起。相加能得到整数的数结合到一起。【例2】利用加法运算律进行计算：（1）16＋（－25）＋24＋（－32）（2）31＋（－28）＋28＋69（3）（）+（）+（）+（）573271812515.5（4）4.1+（）+（）+（10.1）+71412【例3】有一批食品罐头，标准质量为每听454克。现抽取10听样品进行检测，结果如下表（单位：千克）听号12345质量444459454459454听号678910质量454449454459464这10听罐头的总质量是多少？随堂练习1、计算：（1）23＋（－17）＋6＋（－22）（2）（－8）＋10＋2＋（－1）（4）+（）++（）+（）2345121213（3）（－18.6）+（－6.15）+18.15+6.152、某日小明在一条南北方向的公路上跑步。他从A地出发，每隔10分钟记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：米）：－1008，1100，－976，1010，－827，9461小时后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距A地多远？小明共跑了多少米？3、某个食品店一周内每天的利润如下（单位：元）：50，－60，－30，70，60，－20，40.总的来说，这个食品店本周是盈利了还是亏损了？请你先估计一下，然后再列式算一算，并把结果与同学交流。第五单元：有理数的减法全国北方主要城市天气预报城市天气最高温最低温温差西安多云1578兰州小雨954哈尔滨小雪3-36银川小雪0-11沈阳小雪5-27呼和浩特雨夹雪-1-32乌鲁木齐晴12-113………….………..……….………..2013年9月22日有理数减法的法则减法的意义：求差减；剩余减、少几减。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。抓住两变：减号变加号，减数变相反数。求数轴上两点之间的距离：这两个点所表示的有理数的差的绝对值。减法的应用：求差、求剩余、求少几用减法。【例1】做一做（1）3－（－3）＝___；（2）（－11）－2＝______；（3）0－（－6）＝___;（4）（－7）－（＋8）＝_____；（5）－12－（－5）＝______；（6）3比5大_______；（7）－8比－2小______；（8）－4－（）＝10；（9）如果a>0,b<0，则a-b的符号是______；

(10)A地的海拔高度是34米,B地的海拔高度是-10

米,AB两地海拔高度相差_______米【练一练】1、选择，下列说法正确的是（）。A,减去一个数等于加上这个数；B，0减去一个数仍得这个数；C，a-b=a+(-b);D,两个数的差一定比被减数小。2、计算下列各题：（1）9-（-5）（2）（-3）-1（3）0–8（4）（-5）-0第六单元：有理数的混合运算有理数加减法混合运算法一：只有加减法的运算，可以从左向右依次算（减法变为加法再算），有括号的先算括号里面的。法二：根据加减法法则，先把算式中的加法都变为加法，把加减法统一成加法，再根据加法的法则计算。简称为“一变二算”。统一为加法后注意应用“交换律和结合律”简算。【例1】计算（－20)＋(+3)一（－5)一（＋7)【探索】加减混合运算的“简便方法”：如：（－8）－（－10）＋（－6）－（+4）

1、用有理数减法法则把它统一成加法这个式子表示－8，+10，－6,－4的和。

2、和式的简化写法：通常把每个加数的括号和它前面的加号省略不写.上面的式子可以省略写成：－8＋10－6－43、式子的读法：（1）仍看作和式：读作“负8、正10、负6、负4的和”（2）按运算意义：读作“负8加10减6减4”

改写成：（－8）＋（＋10）＋（－6）＋（－4）有理数加加混合运算的简便方法—代数和法减法转化成加法（两变）。省略算式中的加号和括号。按照交换律和结合律“带号移位”，合理组合。按照加法法则计算。注：省略加号后的“摆在那里”的数叫这些数的代数和。代数和的意义和读法有两造：一是象小学那样按加减读；二是按省略加号后的代数和读；【例2】例1中第1题用代数和的形式计算：

（－20)＋(+3)一（－5)一（＋7)

＝（－20)＋（＋3)＋（＋5)＋（－7）＝－20＋3＋5-7

＝－20-7＋3＋5

＝－27+8

＝－19减法转化成加法省略式中的括号和加号运用加法交换律使同号两数分别相加按有理数加法法则计算【例3】计算：(1)－3＋5－7＋91－18；【例4】计算：1）2）3）4）5）4.7-3.4-(-8.5)小结：有理数加减混合运算步骤：第一步：写成省略加号的形式；第二步：运用加法交换律，交换加法的位置；第三步：适当运用加法结合律进行运算。注意：在有理数加减混合运算过程中，要强调：在交换加数位置时，要连同加数前面的符号一起交换。【例5】计算：提示：＝（150＋120＋100.2）＋（300－300）＋（－63.7－

200－112）＝370.2＋0＋（－375.7）答：该储蓄所在这一时段内现款减少了5.5元。＝－5.5由题意可得－63.7＋150－200＋120＋300－112－300＋100.2解：记存入为正，【例6】一储蓄所在某时段内共受理了8项现款储蓄业务：取出63.7元，存入150元，取出200元，存入120元存入300元，取出112元，取出300元，存入100.2元.问该储蓄所在这一时段内现款增加或减少了多少元？【例7】计算第七单元：有理数的乘法探究(−3)×4=−12，(−3)×3=

,(−3)×2=

,(−3)×1=

,(−3)×0=

,−9−6−30(−3)×(−1)=

,

(−3)×(−2)=

,(−3)×(−3)=

,(−3)×(−4)=

,36912由上述所列各式,你能看出两有理数相乘与它们的积之间的规律吗?归纳

负数乘正数得负，绝对值相乘；负数乘0得0；负数乘负数得正，绝对值相乘；试用简单练的语言叙述上面得出的结论。有理数乘法法则两数相乘：定号→同号得正，异号得负；定值→绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0。1乘任何数，仍得任何数；-1乘一个数，结果为这个数的相反数。【例1】计算：

(1)(−4)×5；(2)(−4)×(−7)；

(3)(4)解：(1)(−4)×5=−(4×5)=−20;(3)=1;=1;求解中的第一步是

；确定积的符号

第二步是

；绝对值相乘(2)(−4)×(−7)=+(4×7)=35;(4)乘法法则的推广：有一个因数为0，积为0。因数都不为0时：定号→由因数中负号的个数决定：奇负偶正；定值→绝对值相乘。【例2】计算：

(1)(−4)×5×(−0.25)；(2)

解：(1)(−4)×5×(−0.25)(2)

=(4×5×0.25)几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定？+−其中若有一因数为0时，积是多少？【练一练】答案：－7倒数定义：乘积为1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。倒数为本身的有理数有1和－1。正数的倒数是正数；负数的倒数是负数。倒数的求法：按照定义求：a×b=1a、b互为倒数。把一个数变为分数（假分数或者分数），分子分母颠倒后得到原数的倒数。注意与相反数的区别。（0和符号方面的区别）【例3】填空：－3的倒数是（）－3.2的倒数是（）－的倒数是（）绝对值是本身的数是（）；相反数的本身是自己的数为（）；倒数是本身的数是（）。－0.5的倒数的相反数是（）

有理数乘法运算律交换律：ab=ba结合律：（ab）c=a（bc）乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac分配律的逆用：ab+ac=a（b+c）能简算的要简算；带分数一般变为假分数参与运算。掌握一个技巧：负的带分数=负整数+负分数【例4】计算：（-4.5）×1.25×（-2.5）×32的的●把带分数化为72-1/16第八单元：有理数的除法试着做做:(1)（-3）×4=-12,（-12）÷（-3）=___4(2)6×(-3)=-18,（-18）÷6=___-3-10(4)(-2)×0=0,0÷(-2)=_____

0(3)(-)×(-10)=5,5÷(-)=___探索发现：

商的符号怎样确定？商的绝对值怎样确定？有理数的除法法则法则一：定号→同好号得正，异号得负；定值→绝对值相除。法则二：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。（除号变乘号，除数变倒数）。0不能做除数（0做除数无意义）。0除以任何一个不等于0的数，都得0。计算前，如有带分数，先将带分数化为假分数。用除法求倒数：1÷a=a的倒数。（a≠0）【例1】计算（-25）÷（-5）（-24）÷60÷（-10）的的加减乘除混合运算运算顺序：先算乘除，后算加减。有括号先算括号。观察题目特点，灵活运用运算律，能简算的要简算。一定顺序，二选方法，三开算。计算前一般要把带分数化为假分数，小数化为分数，减法化为加法，除法化为乘法。【例2】

分析：先算括号里面的再算括号外面的。解：原式=

=●自己总结：加、减、乘、除混合运算的顺序和注意事项是什么？【试一试】计算

第九单元：有理数的乘方2×2×…×2×210个2记作210

a×a×…×an个a定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方。记作an乘方的概念an底数指数幂a×a

×…×a×an个a=

an乘方的零件：底数、指数、幂12读作：a的n次幂。表示n个a相乘。运算加减乘除乘方运算结果和差积商幂乘方与加、减、乘、除（对比理解记忆）负数的乘方，一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来；分数的乘方，底数也要加小括号。1）(-3)4

(-

—)312

2）【例1】计算：解：1)原式=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=812)原式=(-—)×(-—)×(-—)=-—121122183）53

(3)把下列各式写成乘方运算的形式：(－3)×(－3)×(－3)×(－3)=

【练一练】（1）在74中，底数是

，指数是

，幂是

；（2）一个数的2次方是64，这个数是（）

-2×2×2×2×2=1、有什么区别？

2、有什么区别？

议一议有理数乘方法则符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。乘方是乘法运算的特殊情况，同样是先定号再把底数的绝对值自乘计算幂的绝对值。任何数的1次幂仍得这个数。所以一个数也可以看做这个数的一次幂。1的任何次幂都得1；0的任何次幂都得为0；-1的奇次幂为-1；-1的偶次幂为1。任何数的偶次幂都是非负数。这里的幂的次数为正整数。【例2】计算（1）102,103,104（2）