2003北京高考数学真题与答案

PAGE4-2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合等于 （A）（B）（C）（D）（2）设，则 （A）y3>y1>y2 （B）y2>y1>y3 （C）y1>y2>y3 （D）y1>y3>y2（3）“”是“”的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （A）若m∥n，m⊥α，则n⊥α （B）若m∥α，α∩β=n，则m∥n （C）若m⊥α，m⊥β，则α∥β （D）若m⊥α，，则α⊥β（5）极坐标方程表示的曲线是 （A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线（6）若且的最小值是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （A） （B） （C） （D）（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 （A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种（9）若数列的通项公式是，则等于 （A） （B） （C） （D）（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令,其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为 （A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数中，是偶函数.（12）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是（13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是.（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（19）（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？（20）（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件：（i）（ii）对任意的（Ⅰ）证明：对任意的（Ⅱ）证明：对任意的（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.（1）A（2）D（3）A（4）B（5）D（6）B（7）C（8）B（9）C（10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.（11）（12）（13）（14）三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）满分13（Ⅰ）解析：因为所以的最小正周期（Ⅱ）解析：因为所以当时，取得最大值；当时，取得最小值－1.所以在上的最大值为1，最小值为－（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列公差为，则又所以（Ⅱ）解：令则由得①②当时，①式减去②式，得所以当时,综上可得当时,当时，（17）满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.（Ⅱ）解析：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，∵BD=BC=AB，∴E是AD的中点，在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=即三棱锥C1—ABB1的体积为解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，即三棱锥C1—ABB1的体积为（18）满分15分.（Ⅰ）解析：椭圆方程为焦点坐标为离心率（Ⅱ）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得所以①将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，由①，②得所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，得解得，由D、Q、G共线，同理可得变形得即所以（19）.满分14分.（Ⅰ）解析：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为所以，当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为由解得记于是当即时，在[上是增函数，而上是减函数.由此可知,当时,函数取得最小值.当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且可见,当时,函数取得最小值.答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中解法二:P至三镇的最远距离为由解得记于是当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为.答：当时，点P的位置在△ABC的外心；当时，点P的位置在原点O.（20）满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有即（Ⅱ）证法一：对任意的当不妨设则