2003北京高考数学真题与答案_第1页
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PAGE4-2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.(1)设集合等于 (A)(B)(C)(D)(2)设,则 (A)y3>y1>y2 (B)y2>y1>y3 (C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2(3)“”是“”的 (A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件(4)已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是 (A)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n (C)若m⊥α,m⊥β,则α∥β (D)若m⊥α,,则α⊥β(5)极坐标方程表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线(6)若且的最小值是 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 (A) (B) (C) (D)(8)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有 (A)24种 (B)18种 (C)12种 (D)6种(9)若数列的通项公式是,则等于 (A) (B) (C) (D)(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k,规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”,令,其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为 (A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.(11)函数中,是偶函数.(12)以双曲线右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是(13)如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是.(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为.三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(19)(本小题满分14分)有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处,(建立坐标系如图)(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?(20)(本小题满分14分)设是定义在区间上的函数,且满足条件:(i)(ii)对任意的(Ⅰ)证明:对任意的(Ⅱ)证明:对任意的(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数,且使得若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.

2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.(1)A(2)D(3)A(4)B(5)D(6)B(7)C(8)B(9)C(10)C二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.(11)(12)(13)(14)三、解答题:本大题共6小题,共84分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)满分13(Ⅰ)解析:因为所以的最小正周期(Ⅱ)解析:因为所以当时,取得最大值;当时,取得最小值-1.所以在上的最大值为1,最小值为-(16)满分13分.(Ⅰ)解析:设数列公差为,则又所以(Ⅱ)解:令则由得①②当时,①式减去②式,得所以当时,综上可得当时,当时,(17)满分15分.(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又BD=BC=B1C1,∴四边形BDB1C1是平行四边形,∴BC1//DB1.又DB1平面AB1D,BC1平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D.(Ⅱ)解析:过B作BE⊥AD于E,连结EB1,∵B1B⊥平面ABD,∴B1E⊥AD,∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角,∵BD=BC=AB,∴E是AD的中点,在Rt△B1BE中,∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°(Ⅲ)解法一:过A作AF⊥BC于F,∵B1B⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面BB1C1C,∴AF⊥平面BB1C1C,且AF=即三棱锥C1—ABB1的体积为解法二:在三棱柱ABC—A1B1C1中,即三棱锥C1—ABB1的体积为(18)满分15分.(Ⅰ)解析:椭圆方程为焦点坐标为离心率(Ⅱ)证明:将直线CD的方程代入椭圆方程,得整理得根据韦达定理,得所以①将直线GH的方程代入椭圆方程,同理可得,由①,②得所以结论成立.(Ⅲ)证明:设点P(p,0),点Q(q,0),由C、P、H共线,得解得,由D、Q、G共线,同理可得变形得即所以(19).满分14分.(Ⅰ)解析:由题设可知,记设P的坐标为(0,),则P至三镇距离的平方和为所以,当时,函数取得最小值.答:点P的坐标是(Ⅱ)解法一:P至三镇的最远距离为由解得记于是当即时,在[上是增函数,而上是减函数.由此可知,当时,函数取得最小值.当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且可见,当时,函数取得最小值.答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中解法二:P至三镇的最远距离为由解得记于是当的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.当即的图象如图,因此,当时,函数取得最小值.答:当时,点P的坐标为当,点P的坐标为(0,0),其中 解法三:因为在△ABC中,AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上,其坐标为,且AM=BM=CM.当P在射线MA上,记P为P1;当P在射线MA的反向延长线上,记P为P2,若(如图1),则点M在线段AO上,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A,且P1C≥MC,P2A≥MA,所以点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小.若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A,且P1C≥OC,P2A≥OC,所以点P与BC边中点O重合时,P到三镇的最远距离最小为.答:当时,点P的位置在△ABC的外心;当时,点P的位置在原点O.(20)满分14分.(Ⅰ)证明:由题设条件可知,当时,有即(Ⅱ)证法一:对任意的当不妨设则

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