山东省泰安市宁阳县四中2024届高考模拟金典卷数学试题（二）试题

山东省泰安市宁阳县四中2024届高考模拟金典卷数学试题（二）试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（）A． B．C． D．2．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数3．已知，则，不可能满足的关系是（）A． B． C． D．4．已知，则下列说法中正确的是（）A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（） A．45 B．60 C．75 D．1006．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．7．已知复数是正实数，则实数的值为()A． B． C． D．8．已知复数，则的虚部为（）A． B． C． D．19．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）A． B． C． D．10．已知向量，，则与共线的单位向量为()A． B．C．或 D．或11．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（）A． B． C． D．12．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知（为虚数单位），则复数________．14．设复数满足，其中是虚数单位，若是的共轭复数，则____________．15．已知，圆，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若，则的最小值为________.16．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．18．（12分）本小题满分14分）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度19．（12分）已知数列满足：对一切成立.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.21．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在区间内无解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．2、C【解题分析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【题目详解】解：是奇函数，是偶函数，，，，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确．为偶函数，故错误，故选：．【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．3、C【解题分析】

根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．【题目详解】∵；∴，；∴，，故正确；，故C错误；∵，故D正确故C．【题目点拨】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题4、D【解题分析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．【题目详解】当时，故命题为假命题；记f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上递减，在（0，＋∞）上递增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命题为真命题；∴是假命题故选D【题目点拨】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题．5、B【解题分析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【题目详解】由题意，．故选：B.【题目点拨】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．6、A【解题分析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【题目详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【题目点拨】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7、C【解题分析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【题目详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【题目点拨】本题考查复数的基本定义，属基础题.8、C【解题分析】

先将，化简转化为，再得到下结论.【题目详解】已知复数，所以，所以的虚部为-1.故选：C【题目点拨】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【解题分析】

直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值．【题目详解】设抛物线的准线为，直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，∴，点B的横坐标为，∴点B的坐标为，把代入直线，解得，故选：C．【题目点拨】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.10、D【解题分析】

根据题意得，设与共线的单位向量为，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出即可得出答案.【题目详解】因为，，则，所以，设与共线的单位向量为，则，解得或所以与共线的单位向量为或.故选：D.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.11、A【解题分析】

画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.【题目详解】函数的图像如图，对称轴方程为，，又，由图可得与关于对称，故选：A【题目点拨】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.12、B【解题分析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【题目详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为.故选：B.【题目点拨】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

解：故答案为：【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.14、【解题分析】

由于，则．15、【解题分析】

由可知R为中点,设,由过切点的切线方程即可求得,，代入，，则在直线上，即可得方程为，将，代入化简可得，则直线过定点,由则点在以为直径的圆上，则.即可求得.【题目详解】如图，由可知R为MN的中点，所以，，设，则切线PM的方程为，即，同理可得，因为PM，PN都过，所以，，所以在直线上，从而直线MN方程为，因为，所以，即直线MN方程为，所以直线MN过定点,所以R在以OQ为直径的圆上，所以.故答案为:.【题目点拨】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.16、【解题分析】

利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.【题目详解】建立平面直角坐标系，如图（1）所示：设，，，即，又，令，其中，画出图形，如图（2）所示：当直线经过点时，取得最大值.故答案为：【题目点拨】本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）【解题分析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.【题目详解】解：（1）由，，则，当时，则，故在上单调递减；当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，,由得，∴，，∴∵∴解得.∴.设，则,∴在上单调递减；当时，.∴，即所求的取值范围为.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.18、【解题分析】解：解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，即，它表示以为圆心，2为半径圆，………4分直线方程的普通方程为，………8分圆C的圆心到直线l的距离，……………10分故直线被曲线截得的线段长度为．……………14分19、（1）；（2）【解题分析】

（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.【题目详解】（1）①，当时，，，当时，②，①②得：，，适合，故；（2），.【题目点拨】本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解题分析】

(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【题目详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【题目点拨】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.21、（1）（2）【解题分析】

（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求（2）由，而，利用裂项相消法可求.【题目详解】（1）当时，，解得，当时，①②②①得，即，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，；（2）∴，∴，，.【题目点拨】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比