2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知过点A（1，a），B(2，-3)A．-23 B．23 C．3 2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝7，a10＝22，则S10＝（）A．65 B．75 C．80 D．853．（5分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设AB→=a→，AD→A．14a→+1C．-14a→4．（5分）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，则实数m＝（）A．﹣1 B．1 C．1或4 D．45．（5分）已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是（）A．若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α B．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α6．（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（）A．π6 B．π3 C．2π3 7．（5分）设a=13，b=2ln(sin1A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b8．（5分）在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等边三角形，若二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A．13π9 B．26π9 C．52π9 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）下列求导数的运算正确的是（）A．(xB．(ln2)'C．（xex）'＝（x+1）ex D．(sin（多选）10．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a5＝4，a2+a4＝5，则下列结论正确的是（）A．q=1B．若{an}为递增数列，则Sn+1C．a3＝2 D．若{an}为递减数列，当且仅当n＝3时，Tn取得最大值（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足BM→=tBA→，t∈A．若t＝1，则A1B1∥平面MPQ B．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是92C．若t=12，则点A1到平面MPQ的距离是D．若t=12，则AB与平面MPQ（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（）A．焦点坐标为（2，0） B．向量OP→与OM→的数量积为C．直线MN的斜率为m D．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）13．（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量AC→=12AB→，则点C14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是．15．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝．16．（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30°，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为．17．（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10＝.（1.18≈2.14，1.19≈2.36，1.110≈2.59）18．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且PF→=4FQ→，四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．20．（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点D（﹣3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，an2+2an＝4Sn﹣1（n∈（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝3n﹣1，求数列{anbn}的前n项和22．（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，BC＝CD，E，F分别是边BD，CD上的点，将△ABC沿BC翻折，将△DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）（1）求证：CF⊥PB；（2）求二面角P﹣EF﹣B的余弦值.23．（12分）已知双曲线M：x2-y23=1，在双曲线M的右支上存在不同于点A（2，3）的两点P，Q．记直线AP，AQ，PQ的斜率分别为k1，k2，k，且k1，k（1）求k的取值范围；（2）若△OPQ的面积为6（O为坐标原点），求直线PQ的方程．

2022-2023学年浙江省丽水市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知过点A（1，a），B(2，-3)A．-23 B．23 C．3 【解答】解：由题意可得，直线的斜率k＝tan60°=3故a＝﹣23．故选：A．2．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝7，a10＝22，则S10＝（）A．65 B．75 C．80 D．85【解答】解：∵a5＝7，a10＝22，∴5d＝15，解得d＝3，∵a5＝7，∴a1＝7﹣12＝﹣5，∴S10＝10×（﹣5）+5×9×3＝85．故选：D．3．（5分）如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OC1的中点，设AB→=a→，AD→A．14a→+1C．-14a→【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，由于M为OC1的中点，则CM→故选：C．4．（5分）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，则实数m＝（）A．﹣1 B．1 C．1或4 D．4【解答】解：圆C1：x2+y2＝4，圆心为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0，即x2+（y﹣m）2＝m，圆心为C2（m，0），半径为m（m＞0），圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2mx+m2﹣m＝0外切，则|C1C2|＝r1+r2，即m=2+m，解得m＝4故选：D．5．（5分）已知直线a，b与平面α，β，下列四个命题中正确的是（）A．若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α B．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a∥α【解答】解：对于A，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a，b相交，则l⊥α，故A错误；对于B，若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，又b⊥β，则由线面垂直的性质定理可得b⊥a，故B正确；对于C，若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b平行、相交或异面，故C错误；对于D，若若直线a上存在两点到平面α的距离相等，则a与α平行或相交，故D错误．故选：B．6．（5分）如图，已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2、圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为（）A．π6 B．π3 C．2π3 【解答】解：设过B的母线为BD，连接AD，则O1O2∥BD，O1O2＝BD，∴四边形O1O2DB为平行四边形，∴O1B∥O2D，∴∠AO2D为异面直线O1B，O2A所成的角或其补角，∵AB＝2，DB＝1，∴AD=2又O2A＝O2D＝1，∴cos∠AO2D=∴∠AO2D=2π∴异面直线O1B，O2A所成的角为π3故选：B．7．（5分）设a=13，b=2ln(sin1A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：解b=2ln(sin16+cos16)=ln（sin16+cos1令f（x）＝x﹣sinx，则f′（x）＝1﹣cosx在（0，π2）上单调递增，∴x﹣sinx＞0，∴x＞sinx∴13＞sinln（1+sin13）＜ln（1+令g（x）＝x﹣ln（x+1），则g′（x）＝1-1x+1=xx+1，当x∈（0，+∞）时，gg（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x＞ln（x+1），∴ln（1+13）＜13，故∴c=12ln2=ln2=ln68，13=ln3e=ln6e故c＞a＞b，故选：B．8．（5分）在四面体PABC中，PA⊥PB，△ABC是边长为2的等边三角形，若二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，则四面体PABC的外接球的表面积为（）A．13π9 B．26π9 C．52π9 【解答】解：取AB的中点D，过D作DO⊥平面PAB，设正三角形ABC的重心为G，作OG⊥平面ABC，∵PA⊥PB，∴O为四面体PABC的外接球的球心，又二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，则∠DOG＝60°，又|DG|=1则|OD|=|DG|设四面体PABC的外接球的半径为R，则R2则四面体PABC的外接球的表面积为4πR2=52π故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）（多选）9．（5分）下列求导数的运算正确的是（）A．(xB．(ln2)'C．（xex）'＝（x+1）ex D．(sin【解答】解：（x3-1x）′＝3x2（ln2）′＝0，B错误；（xex）＝ex+xex＝（x+1）ex，C正确；（sinx3）′=13故选：AC．（多选）10．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，公比为q，已知a1a5＝4，a2+a4＝5，则下列结论正确的是（）A．q=1B．若{an}为递增数列，则Sn+1C．a3＝2 D．若{an}为递减数列，当且仅当n＝3时，Tn取得最大值【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），∵数列{an}为等比数列，∴a1a5＝a2a4＝4，∵a2+a4＝5，∴a2=1a当a2则q2=a4a2a3＝a2q＝1×2＝2，当a2则q2=a4故q＝2或q=12，故故a3综上所述，a3＝2，故C正确；若{an}为递增数列，则q＝2，即a1an=aSn=1故Sn+12=若{an}为递减数列，则q=12，a1＝8，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5故当且仅当n＝3或n＝4时，Tn取得最大值，故D错误．故选：BC．（多选）11．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱BC，CC1的中点，点M满足BM→=tBA→，t∈A．若t＝1，则A1B1∥平面MPQ B．若t＝1，则过点M，P，Q的截面面积是92C．若t=12，则点A1到平面MPQ的距离是D．若t=12，则AB与平面MPQ【解答】解：对A，B选项，若t＝1，则M与A重合，如图所示：延长B1B与QP交于点E，易知A1B1不平行AE，∴A1B1不平行平面MPQ，∴A选项错误；连接MD1，QD1，则根据题意易知MD1∥PQ，∴过点M，P，Q的截面为等腰梯形PQD1M，又根据题意易得PM＝QD1=5，PQ=2，D1M∴易得等腰梯形PQD1M的高为5-∴等腰梯形PQD1M的面积为12×(2对C，D选项，若t=12，则M为AB的中点，连接A1C易知A1C1∥MP，∴A1到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d，则根据等体积法思想可得：VC又PM＝PQ=2，MQ=5+1=∴13∴13×32×d=1又易知BC1∥PQ，∴B到平面MPQ的距离等于C1到平面MPQ的距离d=3又MB＝1，设AB与平面MPQ所成角为θ，则sinθ=d∴cosθ=63，∴tanθ=sinθ故选：BD．（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（）A．焦点坐标为（2，0） B．向量OP→与OM→的数量积为C．直线MN的斜率为m D．若直线PQ过焦点F，则OF平分∠PAQ【解答】解：A．由抛物线C：y2＝4x，可得2p＝4，∴p2=1，∴焦点F（1，0），因此B．设直线AP的方程为ty＝x+1，P（x1，y1），M（x2，y2），联立ty=x+1y2=4x，化为y2﹣4ty+4＝0，Δ＞0，y1+y2＝4t，y1y2∴OP→•OM→=x1x2+y1y2＝（ty1﹣1）（ty2﹣1）+y1y2＝（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+1＝4（t2+1）﹣t×4t+1＝5C．设P（x1，y1），Q（x3，y3），N（x4，y4），设直线BP的方程为k（y﹣m）＝x，代入抛物线方程可得：y2﹣4ky+4km＝0，Δ＞0，∴y1y3＝4km，.设直线AQ的方程为y=y3x3+1（x+1），代入抛物线方程可得y2-4(x3+1)y3y∴kMN=y2-yD．设P（x1，y1），Q（x3，y3），直线PQ的方程为：y＝﹣mx+m，代入抛物线方程可得m2x2﹣（2m2+4）x+m2＝0，则x1+x3=2m2+4m2，x∴kAP+kAQ=y1x1+1+y3x3+1=(-mx1+m)(x3+1)+(-mx3+m)(故选：BCD．三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，神墙共30分）13．（5分）已知点A（0，1，0），点B（2，3，2），向量AC→=12AB→，则点C的坐标为（1【解答】解：设C（x，y，z），则AC→=（x，y﹣1，而12AB→=12（2，2，2）＝（故x＝1，y＝2，z＝1，故答案为：（1，2，1）．14．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点P在圆O：x2+y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是（x﹣2）2+y2=94【解答】解：设Q（x，y），P（m，n），因为点P在圆O：x2+y2＝9上运动，所以m2+n2＝9，又4+m=2xn=2y所以（2x﹣4）2+4y2＝9，即（x﹣2）2+y2=9故答案为：（x﹣2）2+y2=915．（5分）若曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线经过点P（2，0），则实数a＝-12【解答】解：由y＝lnx+ax，得y′=1x∴y′|x＝1＝1+a，又x＝1时，y＝a，∴曲线y＝lnx+ax在x＝1处的切线方程为y＝（1+a）（x﹣1）+a，把点P（2，0）代入，可得0＝1+2a，即a=-故答案为：-116．（5分）一个圆锥母线与底面所成的角为30°，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为8．【解答】解：∵圆锥的母线与底面所成角为30°，设母线长为x，则圆锥的高为12x∴圆锥的底面半径r=32x．体积为可得13×(32x)2过圆锥顶点的平面截圆锥，两条母线的夹角为90°时，所得截面面积的最大，最大值为12×4×4=故答案为：8．17．（5分）某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为cn，则c10＝1472.（1.18≈2.14，1.19≈2.36，1.110≈2.59）【解答】解：由题意得：c1＝1200，c2＝1200×1.1﹣100，c3＝1200×1.12﹣100×1.1﹣100，……c10＝1200×1.19﹣100（1.18+1.17+1.16+…+1.1+1）≈1200×2.358﹣100×1×(1-1．19)1-1.1≈1200×2.36﹣1000×（故答案为：1472．18．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且PF→=4FQ→，【解答】解：设椭圆的左焦点为F′，|FQ|＝m，∵|OP|＝|OF|，∴△PFF′为直角三角形且∠FPF′＝90°，∵PF→=4FQ→，∴|PF|∵|PF′|+|PF|＝2a，|QF′|+|QF|＝2a，∴|QF′|＝2a﹣m，|PF′|＝2a﹣4m，∴（2a﹣4m）2+（5m）2＝（2a﹣m）2，解得m=310∴，|PF′|=45a，|PF|=∴（45a）2+（65a）2＝（2c）2，∴故椭圆的离心率是135故答案为：135四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x+a，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），∴f′（x）的符号草图为：∴f（x）的单调递减区间为（﹣1，1）；（2）根据（1）可得f（x）的极大值为f（﹣1）＝a+2，f（x）的极小值为f（1）＝a﹣2，又f（x）有三个零点，∴f(-∴a∈（﹣2，2），∴a的取值范围为（﹣2，2）．20．（12分）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），且圆C关于直线2x+y＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点D（﹣3，1）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（1）已知圆C经过点A（1，2）和B（5，﹣2），则线段AB的垂直平分线方程为：y＝x﹣3，即x﹣y﹣3＝0，又圆心在直线2x+y＝0上，联立2x+y=0x-y-3=0，解得x=1所以其圆心为C（1，﹣2），R＝|AC|＝4，所以圆C的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2＝16；（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y＝k（x+3）+1，即kx﹣y+3k+1＝0，圆心C（1，﹣2）到直线l的距离d=|k+2+3k+1|1+k2=所求的一条切线为7x﹣24y+45＝0，当直线l的斜率不存在时，x＝﹣3与圆相切，所以直线l的方程为x＝﹣3和7x﹣24y+45＝0．21．（12分）设正项数列{an}的前n项和为Sn，an2+2an＝4Sn﹣1（n∈（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn＝3n﹣1，求数列{anbn}的前n项和【解答】解：（1）∵an2+2an＝4Sn∴an-12+2an-1两式相减可得：an2-an-1∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，（n≥2），又an＞0，∴an﹣an﹣1＝2，（n≥2），又a12+2a1=4∴数列{an}是以首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1；（2）∵bn＝3n﹣1，又由（1）知an＝2n﹣1，∴an∴Tn=1∴13∴2=2×＝2-2n+2∴Tn22．（12分）如图，在四边形ABCD中（如图1），∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，BC＝CD，E，F分别是边BD，CD上的点，将△ABC沿BC翻折，将△DEF沿EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）（1）求证：CF⊥PB；（2）求二面角P﹣EF﹣B的余弦值.【解答】（1）证明：∵平面PBC⊥平面BCFE，平面PBC∩