2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列{an}中，若a4＝11，a6＝15，则{an}的公差为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．32．（5分）如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（）A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线3．（5分）4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）A．34种 B．43种 C．A43种 D．4．（5分）（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．-C106 B．C106 C．5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn；等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S5+T5＝（）A．22 B．34 C．46 D．506．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A．12 B．736 C．1148 7．（5分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)A．12 B．4-23 C．38．（5分）设a＝ln3，b=3ln2，c=2ln3，则a、A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知曲线C：x24-mA．m＝2时，则C的焦点是F1（0，2），F2（0，-2）B．当m＝6时，则C的渐近线方程为y＝±2x C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m＜﹣2 D．存在m，使C表示圆（多选）10．（5分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（）A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分 C．当k＝1时，l被C截得的弦长为32D．l被C截得的最短弦长为4（多选）11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）A．DP∥面AB1D1 B．三棱锥A﹣D1PC的体积为112C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90° D．异面直线A1P与AD1所成角的范围是[（多选）12．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A．若O为线段PQ中点，则|PF|＝2 B．若|PF|＝4，则|OP|=2C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为．14．（5分）函数f(x)=ex+1x在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为15．（5分）已知（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝．16．（5分）已知甲、乙两人的投篮命中率都为p（0＜p＜1），丙的投篮命中率为1﹣p，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）17．（10分）已知(2（1）求展开式中第三项系数；（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）．18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1菱形，B1C⊥A1B．（1）证明：A1C1⊥B1C；（2）设D为BC的中点，CA＝CB，记二面角D﹣AB1﹣C为θ，求|cosθ|的值．20．（12分）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？21．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线方程是：y＝±2（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=1-ax+lnx（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下证明：对任意n∈N*，都有1+1（3）设g（x）＝（x﹣1）2ex，讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数．

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列{an}中，若a4＝11，a6＝15，则{an}的公差为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【解答】解：因为等差数列{an}中，a4＝11，a6＝15，则2d=a6故选：B．2．（5分）如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（）A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【解答】解：根据题意，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b不会相交，即平行或异面，故选：D．3．（5分）4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）A．34种 B．43种 C．A43种 D．【解答】解：根据题意，每位同学只能去一个小区，则每位同学有3种选法，则4位同学有3×3×3×3＝34种安排方法，故选：A．4．（5分）（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．-C106 B．C106 C．【解答】解：根据二项式定理可得展开式的第6项为C10所以第6项的系数为﹣C10故选：C．5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn；等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S5+T5＝（）A．22 B．34 C．46 D．50【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，可得q3＝2（1+3d）＝8，解得d＝1，q＝2，则S5+T5＝5+12×5×4×1+1-故选：C．6．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A．12 B．736 C．1148 【解答】解：由题意可得，第二次抽到3号球的概率为24故选：C．7．（5分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)A．12 B．4-23 C．3【解答】解：由题意可知P（c2，3所以c2即14e2+3e24-4解得e=3故选：C．8．（5分）设a＝ln3，b=3ln2，c=2ln3，则a、A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：构造函数f（x）=2lnxx（x＞0），则f′（x）＝2当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，因为0＜2＜3＜e，所以f（2）＜f（3），2ln22＜2ln33，可得3因为35＝243＜256＝28，所以ln3＜85ln2＜3ln2，即a＜b，所以c＞b故选：D．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知曲线C：x24-mA．m＝2时，则C的焦点是F1（0，2），F2（0，-2）B．当m＝6时，则C的渐近线方程为y＝±2x C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m＜﹣2 D．存在m，使C表示圆【解答】解：m＝2时，曲线C：x22+y24=1，则C的焦点是F1（0，2），F2当m＝6时，曲线C：y28-x22=1，则C的渐近线方程为当C表示双曲线时，可得：（4﹣m）（2+m）＜0，解得m＞4或m＜﹣2，所以C不正确；m﹣4＝2+m，解得m＝1，所以存在m，使C表示圆，所以D正确；故选：ABD．（多选）10．（5分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（）A．l与C可能相离 B．l不可能将C的周长平分 C．当k＝1时，l被C截得的弦长为32D．l被C截得的最短弦长为4【解答】解：直线l：y＝kx+1（k∈R）恒过（0，1），定点在圆的内部．圆的圆心（0，0），半径为5，所以直线不可能与圆相离，所以A不正确；直线可能经过圆的圆心，此时直线的倾斜角为90°，所以直线不可能平分圆的周长，所以B正确；当k＝1时，l化为x﹣y+1＝0，圆心到直线的距离为：d=12，弦长为：25-12定点与圆心的距离为：1，最短弦长为：25-1=4故选：BD．（多选）11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）A．DP∥面AB1D1 B．三棱锥A﹣D1PC的体积为112C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90° D．异面直线A1P与AD1所成角的范围是[【解答】解：对于A，如图2，∵平面BDC1∥平面AB1D1，DP⊂平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故A正确；对于B，如图1，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，∴V=13×（12×1×1）×对于C，如图1，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴B1D⊥AC，同理B1D⊥AD1，又∵AC∩AD1＝A，∴B1D⊥平面ACD1，∵B1D⊂平面PB1D，∴平面PB1D⊥平面ACD1，于是平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°，故C正确；对于D，如图2，∵AD1∥BC1，∴异面直线A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角，∵△A1C1B是正三角形，∴A1P与BC1所成角范围是[π3，π2]，故故选：ACD．（多选）12．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A．若O为线段PQ中点，则|PF|＝2 B．若|PF|＝4，则|OP|=2C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，焦点F（1，0），若O为PQ中点，所以xP＝1，所以|PF|＝xp+1＝2，故A正确；若|PF|＝4，则xP＝4﹣1＝3，所以|OP|=xP2设P（a2，2a），则Q(-1，-所以FP→⋅QF→=2a2S△PFQ当且仅当|a|=1|a|，即a＝±所以△PFQ面积的最小值为2，故D正确．故选：AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为x﹣2y+4＝0．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0，将两圆方程相减可得4x﹣8y+16＝0，即：x﹣2y+4＝0．故答案为：x﹣2y+4＝0；14．（5分）函数f(x)=ex+1x在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为y＝（e﹣1【解答】解：由f(x)=ex+1x，得f∴f′（1）＝e﹣1，则函数f(x)=ex+1x在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为y＝（e﹣1）（x﹣1即y＝（e﹣1）x+2．故答案为：y＝（e﹣1）x+2．15．（5分）已知（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝243．【解答】解：由题意|a0|+|a1|+…+|a5|的和与二项式（2x+1）5的展开式的各项系数和相等，则令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a5|＝（2+1）5＝243，故答案为：243．16．（5分）已知甲、乙两人的投篮命中率都为p（0＜p＜1），丙的投篮命中率为1﹣p，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为2327【解答】解：设事件B为“三人每人投篮一次，则至少一人命中”，则P（B）＝p（1﹣p）2，故P（B）＝1﹣p（1﹣p）2，设f（p）＝1﹣p（1﹣p）2，0＜p＜1，则f'（p）＝﹣（1﹣p）2+2p（1﹣p）＝﹣（3p﹣1）（p﹣1），当0＜p＜13时，f'（p）＜0，f（p）在（0，当13＜p＜1时，f'（p）＞0，f（p故f(p)故至少一人命中的概率的最小值为2327故答案为：2327四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）17．（10分）已知(2（1）求展开式中第三项系数；（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）．【解答】解：（1）因为展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6，所以二项式（2x2+13x）6的展开式的第3项的系数为（2）展开式的通项公式为Tr+1=C6r(2x2)6-r(1令12-7r3∈Z，解得r＝0，3所以展开式的有理项为T1=C60⋅26x12=18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【解答】解：（1）法一：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．证明如下：（i）当n＝1，2，3时，显然成立，（ii）假设n＝k时，ak＝2k+1（k∈N+）成立，当n＝k+1时，ak+1＝3ak﹣4k＝3（2k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1时成立，由（i）（ii）知，an＝2n+1，猜想成立，所以{an}的通项公式an＝2n+1．法二：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．证明：设an+1+α（n+1）+β＝3（an+αn+β），可得an+1＝3an+2αn+2β﹣α，∴2α=-42β-α=0∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），（不能说明{an﹣2n﹣1}是等比数列）∵a1＝3，a1﹣2×1﹣1＝0，并且a2﹣2×2﹣1＝0，所以an＝2n+1恒成立．所以an＝2n+1．（2）令bn＝2nan＝（2n+1）•2n，则数列{2nan}的前n项和Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①两边同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1＝6+8(1-2n-1)1-2-（2n所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1菱形，B1C⊥A1B．（1）证明：A1C1⊥B1C；（2）设D为BC的中点，CA＝CB，记二面角D﹣AB1﹣C为θ，求|cosθ|的值．【解答】（1）证明：连接BC1，因为侧面BCC1B1是菱形，则BC1⊥B1C，因为B1C⊥A1B，A1B∩BC1＝B，A1B，BC1⊂平面A1BC1，则B1C⊥平面A1BC1，因为A1C1⊂平面A1BC1，所以B1C⊥A1C1；（2）解：因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥CC1，由（1）可得，B1C⊥A1C1，又B1C∩CC1＝C，则A1C1⊥平面BCC1B1，故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设AC＝2，则D（1，0，0），A（0，2，0），B1（2，0，2），C（0，0，0），所以DA→=(-1，设平面AB1D的法向量为n→则n→令x＝2，则y＝1，z＝﹣1，故n→设平面AB1C的法向量为m→则m→令a＝1，则c＝﹣1，故m→所以|cos＜因为二面角D﹣AB1﹣C为θ，故|cosθ|的值为3220．（12分）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？【解答】解：（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分2：0，2：1，因为每局的比赛结果相互独立，所以甲乙比赛甲获胜的概率P1=3甲丙比赛甲获胜的概率P2=1（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有3：0，3：1或3：2，甲乙比赛，甲获胜的概率P3＝（35）3+C甲丙比赛，甲获胜的概率P4=(12因为P1＜P3，所以甲乙比赛，采用5局3胜制对甲有利，P2＝P4，所以甲丙比赛，采用5局3胜制还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，这说明比赛局数越多对实力较强者有利．21．（12分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线方程是：y＝±2（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：x2a2-y2由题意可得ba=S△AF又a2+b2＝c2，③由①②③联立求得：a2＝5，b2＝4．所以双曲线C的标准方程是：x2（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为D（x0，y0），y＝kx+m与x25-y24=1联立消y，