2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+3A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）若数列{an}的通项公式an=1+(−1)n（n∈N*），则{anA．4 B．6 C．8 D．103．（5分）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(−2，2，3)，若A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．64．（5分）等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（）A．21 B．24 C．27 D．305．（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆x2a2+y2b车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（π≈3.14）（）A．20m3 B．30m3 C．40m3 D．50m36．（5分）若抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A．92 B．8 C．172 7．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA＝AB＝BC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（）A．13 B．23 C．338．（5分）若系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0＜anA．1−(14)n B．1−(二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是（）A．x216−yC．x29−（多选）10．（5分）已知直线l的方向向量为μ→，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1→A．若μ→∥n1→，则l⊥α B．若μC．若n1→∥n2→，则α∥β （多选）11．（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到，G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点，则（）A．存在点H，使得EH∥BD B．存在点H，使得EH⊥BG C．存在点H，使得EH∥平面BDG D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45°（多选）12．（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（）A．当0＜t＜2时，E为椭圆 B．当t＞2时，E为双曲线 C．当t＞2时，E为双曲线一支 D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=−2n2+4n（n∈N*），则14．（5分）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝．15．（5分）已知椭圆x26+y22=1与双曲线x2﹣y2＝2的交点分别为A，B，C16．（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'，AB＝AD＝AA'．设AB→=a→，（1）用基底{a→，b→，c→}（2）证明：AC'⊥平面A'BD．19．（12分）已知等比数列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2an，n为奇数，an3，n为偶数，（n20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M（1，2）．（1）求C的方程；（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的方程．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝3，∠ABC=90°，M是BB1的中点，N在棱CC1上，且C1N＝2NC．已知平面A1MN与平面ABC的夹角为30°．（1）求BC的长；（2）求点A到平面A1MN的距离．22．（12分）在直角坐标系xOy上，椭圆C：x2a2+y2b2（1）求C的方程；（2）已知过点F的直线l与C相交于A，B两点，问C上是否存在点Q，使得OA→+OB

2022-2023学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+3A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：由于直线x+3y−1=0的斜率为故该直线的倾斜角为5π6，即150°故选：D．2．（5分）若数列{an}的通项公式an=1+(−1)n（n∈N*），则{anA．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵数列{an}的通项公式an=1+(−1)n（∴n＝2k﹣1（k∈N*）时，an＝0；n＝2k（k∈N*）时，an＝2．则{an}的前9项和S9＝5×0+4×2＝8，故选：C．3．（5分）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(−2，2，3)，若A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．6【解答】解：向量a→=(1，1，x)，则2a→−b→=（2，2，2x）﹣(2a则﹣8+3（2x﹣3）＝1，解得x＝3．故选：B．4．（5分）等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（）A．21 B．24 C．27 D．30【解答】解：等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（a1+a5+a9）+3d＝15+3×2＝21．故选：A．5．（5分）运用微积分的方法，可以推导得椭圆x2a2+y2b车，车上有一个长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，则该储油罐的容积约为（π≈3.14）（）A．20m3 B．30m3 C．40m3 D．50m3【解答】解：长为7m的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为3m，短轴长为1.8m，可得a=32，b＝0.9，所以该储油罐的容积：πabh=3.14×32×0.9×7≈30（故选：B．6．（5分）若抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（）A．92 B．8 C．172【解答】解：∵抛物线x2＝2y上一点P到y轴的距离为4，∴P到x轴的距离为8，根据抛物线的几何性质可得：P到该抛物线焦点的距离为p2故选：C．7．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，SA＝AB＝BC，则直线AB与SC夹角的余弦值是（）A．13 B．23 C．33【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设AB＝1，则A（1，0，0），B（0，0，0），S（1，0，1），C（0，1，0），所以AB→=（﹣1，0，0），SC→=（计算AB→•SC→=1，|SC所以cos＜AB→，所以直线AB与SC夹角的余弦值是33故选：C．8．（5分）若系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0＜anA．1−(14)n B．1−(【解答】解：由系列椭圆Cn：anx2+y2=1（0＜an＜1，∴离心率en=1−b2a2=1−an，∴1﹣∴an＝1﹣（14）n故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是（）A．x216−yC．x29−【解答】解：对于A：双曲线x216−y29=1，则渐近线方程为y＝±34x对于B：双曲线y216−x29=1，则渐近线方程为y＝±43x对于C：双曲线x29−y216=1，则渐近线方程为y＝±43x对于D：双曲线y29−x216=1，则渐近线方程为y＝±34x故选：AD．（多选）10．（5分）已知直线l的方向向量为μ→，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1→A．若μ→∥n1→，则l⊥α B．若μC．若n1→∥n2→，则α∥β 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若μ→∥n1→，则l对于B，若μ→⋅n1→=0，则μ→⊥n1→，则对于C，若n1→∥n2→，且平面α，β不重合，则有对于D，若n1→⋅n2→=0故选：ACD．（多选）11．（5分）如图所示几何体，是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到，G是圆弧CE的中点，H是圆弧DF上的动点，则（）A．存在点H，使得EH∥BD B．存在点H，使得EH⊥BG C．存在点H，使得EH∥平面BDG D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的夹角为45°【解答】解：对于A，若存在点H，使得EH∥BD，则BE∥DH，四边形BDHE是平行四边形，所以BE＝DH，所以H在圆弧DF外，所以选项A错误；对于B，当H与点D重合时，BG⊥平面EDF，所以BG⊥ED，即BG⊥EH，选项B正确；对于C，建立空间直角坐标系，如图所示：设BC＝2，则B（0，0，2），D（2，0，0），G（2，2，2），E（0，2，2），设H（m，n，0），m2+n2＝4；由BG→=（2，2，0），BD→=（2，0，﹣2），EH→=（m设平面BDG的法向量为n→=（x，y，z），则n→令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，所以n→=（1，若EH∥平面BDG，则EH→•n→=m﹣n+2﹣2＝m﹣n＝0，解得m＝n=2，所以H是圆弧DF的中点，即存在点H，使EH∥平面对于D，当H与点F重合时，EH与平面BDG的夹角最大，因为EF→=BA所以cos＜n→，所以EF与平面BDG所成角的正弦值为33由33＜22，所以直线EH与平面BDG的夹角小于45故选：BC．（多选）12．（5分）已知P是圆心为A，半径为2的圆上一动点，B是圆A所在平面上一定点，设|AB|＝t（t＞0）．若线段BP的垂直平分线与直线AP交于点M，记动点M的轨迹为E，则（）A．当0＜t＜2时，E为椭圆 B．当t＞2时，E为双曲线 C．当t＞2时，E为双曲线一支 D．当t≠2且t越大时，E的离心率越大【解答】解：当0＜t＜2时，点B在圆A内，由题设可知：|MB|＝|MP|，所以|MA|+|MB|＝|MA|+|MP|＝|AP|＝2＞|AB|＝t，故点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝2，2c＝t，所以e=ca=t2，∴t当t＞2时，由题设可知：|MB|＝|MP|，所以||MA|﹣|MB||＝||MA|﹣|MP||＝|AP|＝2＜|AB|＝t，故点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝t，所以e=ca=t2，∴t越大时，E综上：当t≠2且t越大时，E的离心率越大，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn=−2n2+4n（n∈N*），则a5【解答】解：由题意可得，a5＝S5﹣S4＝﹣2×52+4×5﹣（﹣2×42+4×4）＝﹣2×52+4×5+2×42﹣4×4＝﹣2×（52﹣42）+4＝﹣2×9+4＝﹣14．故答案为：﹣14．14．（5分）若直线l：x﹣2y+m＝0与圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0相切，则实数m＝7或﹣3．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，得x2+（y﹣1）2＝5，∴圆心为（0，1），半径为5，∵直线l：x﹣2y+m＝0与圆C相切，∴圆心（0，1）到直线x﹣2y+m＝0的距离d=|0−2+m|即|m﹣2|＝5，∴m＝7或m＝﹣3，故答案为：7或﹣3．15．（5分）已知椭圆x26+y22=1与双曲线x2﹣y2＝2的交点分别为A，B，C，D【解答】解：由双曲线与椭圆方程可知A，B，C，D关于坐标轴对称，故联立方程组可得一组解为：x=3且y＝1，第一象限的点A（3∴四边形ABCD的面积为23×2＝43故答案为：43．16．（5分）如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，AB＝2，M，N分别是对角线BD，AE上的动点，则线段MN的最小长度为233【解答】解：以A为坐标原点，AB，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直线坐标系A﹣xyz，设M（a，0，2﹣a），N（b，b，0），0≤a≤2，0≤b≤2，则|MN|2＝（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2]≥（a﹣b+b+2﹣a）2＝4，即有（a﹣b）2+b2+（2﹣a）2≥43，当且仅当a﹣b＝b＝2﹣a，即a=43所以|MN|≥233，即|MN故答案为：23四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（1，3）．（1）求线段AB的垂直平分线l所在直线的方程；（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，且经过点A，B，求该圆的方程．【解答】解：（1）∵A（2，0），B（1，3），故线段AB的中点为C（32，3由于kAB=3−01−2=−3，故线段AB的垂直平分线l故线段AB的垂直平分线l所在直线的方程为y−32=13（x−3（2）若一圆的圆心在直线x+2y﹣2＝0上，设圆心为D（2﹣2m，m），由于圆经过点A，B，故半径为r＝DA＝DB，即（2﹣2m﹣2）2+m2＝（2﹣2m﹣1）2+（m﹣3）2，求得m＝1，故该圆的半径为5，圆心为（0，1），故要求的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5．18．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'，AB＝AD＝AA'．设AB→=a→，（1）用基底{a→，b→，c→}（2）证明：AC'⊥平面A'BD．【解答】解：（1）根据题意，AB→=a→，BD→=AD→−AC'→（2）证明：设∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=θ，AB＝AD＝AA'＝t，则有a→•b→=b→•c→=a→•b→=t2cos由（1）的结论，AC'→=a→+则AC'→•BD→=（a→+b→+c→）•（b→−a→）=a→•同理：AC′⊥A′D，又由BD∩A′D＝D，必有AC'⊥平面A'BD．19．（12分）已知等比数列{an}中，a1+a3＝15，a2+a4＝30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2an，n为奇数，an3，n为偶数，（n【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3＝15，a2+a4＝30，∴a1（1+q2）＝15，a1（1+q2）q＝30，联立解得q＝2，a1＝3，∴an＝3×2n﹣1．（2）∵数列{bn}满足bn=2an，n为奇数，∴n为奇数时，bn＝3×2n；n为偶数时，bn＝2n﹣1．∴{bn}前10项和S10＝（b1+b3+…+b9）+（b2+b4+…+b10）＝3（2+23+…+29）+（2+23+…+29）＝4×2×(20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，且经过M（1，2）．（1）求C的方程；（2）若直线l过C的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的方程．【解答】解：（1）根据题意可设所求抛物线方程为：y2＝2px，p＞0，则根据题意可得4＝2p×1，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；（2）根据（1）可知抛物线的焦点F（1，0），当AB垂直x轴时，|AB|＝2p＝4≠8，∴设直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+∴x1+x2=2+4∴|AB|＝p+x1+x2＝2+2+4∴k2＝1，∴k＝±1，∴直线l的方程为y＝±（x﹣1），即为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1