专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（原卷版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x130．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x145．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=-6m-746．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝3，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x的方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x的一元二次方程12x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0（1）求证：不论m取何值，该方程都