新教材适用2023-2024学年高中数学第6章统计4用样本估计总体数字特征4.2分层随机抽样的均值与方差4.3百分位数课件北师大版必修第一册

4.2

分层随机抽样的均值与方差4.3

百分位数自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.通过实例理解分层随机抽样的样本平均数和样本方差.2.抽象概括分层随机抽样的平均数和方差公式.3.结合实例理解p分位数的意义,并会求解p分位数.4.通过学习分层随机抽样的样本平均数和样本方差,提升数学运算和数据分析素养.

自主预习·新知导学一、分层随机抽样的平均数【问题思考】1.某工厂加工一批工艺品,熟练工人日平均加工100个,学徒日平均加工40个.提示:(1)不能.(2)不合理,由于熟练工人与学徒所占比例不同,故上述计算方法不合理.3.对于一般情况下,分层随机抽样的平均数怎样求?二、分层随机抽样的方差【问题思考】分层随机抽样的方差是什么?三、百分位数【问题思考】1.总体的中位数有什么样的特点?提示:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是50%,因此也称中位数是50%分位数.2.总体的25%分位数有什么样的特点?提示:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是25%.3.常用的百分位数有哪些?提示:1%,5%,10%,25%,50%,75%,90%,95%,99%.4.(1)一般地,当总体是连续变量时,给定一个百分数p∈(0,1),总体的p分位数有这样的特点:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.(2)25%,50%,75%分位数是三个常用的百分位数.把总体数据按照从小到大排列后,这三个百分位数把总体数据分成了4个部分,在这4个部分取值的可能性都是

.因此这三个百分位数也称为总体的四分位数.5.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤是什么?提示:第一步,按照从小到大排列原始数据;第二步,计算i=np;第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)在分层随机抽样中,仅知样本中每层的平均数,无法得到样本的平均数.(

√

)(2)一组数据有80个,按从小到大排序,第80百分位数为第64项数据.(

×

)(3)在频率分布直方图中,样本数据的80%分位数即由小到大分组的累计频率为0.8对应的数据.(

√

)(4)百分位数用于描述一组数据某一百分位置的水平.(

√

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

分层随机抽样的平均数与方差【例1】

某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.【变式训练1】

在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如表:答案:C

探究二

用分层随机抽样的数字特征估计总体的数字特征【例2】

某高校欲了解在校学生用于课外进修的开支,在全校8000名学生中用分层随机抽样方法抽取了一个200人的样本,根据统计,本科生人数为全校学生数的70%,调查最近一个学期课外进修支出(单位:元)的结果如表:试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差.由于分层随机抽样,因此可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为276.2元,开支的方差为1

484.76.【变式训练2】

一组样本数据分为甲、乙两组,用分层随机抽样的方法从甲组中抽取6个数,其平均数为10,方差为50;从乙组中抽取4个数,其平均数为15,方差为55,则估计这个样本的平均数为

,方差为

.

答案:12

58解析:设一班参加数学竞赛的学生人数在16名学生中的权重为w1,答案:B探究三

百分位数的计算【例3】

某中学从高一年级中抽取了30名男生,测量其体重数据(单位:kg)如下:62

60

59

59

59

58

58

57

57

5756

56

56

56

56

56

55

55

55

5454

54

53

53

52

52

51

50

49

48(1)求这30名男生体重的25%,75%分位数;(2)估计该校高一男生体重的80%分位数.解:将样本数据按从小到大排序,可得48

49

50

51

52

52

53

53

54

5454

55

55

55

56

56

56

56

56

5657

57

57

58

58

59

59

59

60

62(1)由25%×30=7.5,75%×30=22.5,可知这组数据的25%,75%分位数分别是第8,23项数据,从而得到25%分位数为53

kg,75%分位数为57

kg.(2)由80%×30=24,可知80%分位数为第24项与第25项数据的平均数,据此可以估计该校高一男生体重的80%分位数为58

kg.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤:(1)按照从小到大排列原始数据;(2)计算i=np;(3)若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.探究四

百分位数的应用【例4】

某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200kW·h的部分按0.5元/kW·h收费,超过200kW·h但不超过400kW·h的部分按0.8元/kW·h收费,超过400kW·h的部分按1.0元/kW·h收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:千瓦时)的函数解析式.(2)为了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月100户居民每户的用电量,统计分析后得到的频率分布直方图如图(除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间).若这100户居民中,今年1月用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值.(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数.解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x-200)=0.8x-60;当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400)=x-140.所以y与x之间的函数解析式为(2)由(1)可知,当y=260时,x=400,即用电量不超过400

kW·h的占80%,结合题中频率分布直方图可知解得a=0.001

5,b=0.002

0.(3)设75%分位数为m,因为用电量低于300

kW·h所占的比例为(0.001

0+0.002

0+0.003

0)×100=60%,用电量不超过400

kW·h的占80%,所以75%分位数m在区间[300,400)内,所以0.6+(m-300)×0.002

0=0.75,解得m=375

kW·h,即用电量的75%分位数为375

kW·h.根据本例(2)中求得的数据计算用电量的15%分位数.解:设15%分位数为x,因为用电量低于100千瓦时所占的比例为0.001

0×100=10%,用电量低于200千瓦时所占的比例为(0.001

0+0.002

0)×100=30%,所以15%分位数x在区间[100,200)内,所以0.1+(x-100)×0.002

0=0.15,解得x=125,即用电量的15%分位数为125千瓦时.根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法,设出百分位数,解方程可得.【变式训练4】

某社区为了解人们对环保知识的了解程度,在社区内举办了环保知识竞赛,满分100分(90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x人,按年龄分成5组(第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),得到频率分布直方图如图6-4-4,已知第一组有5人.(1)求x;(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数);(3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的20%分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对环保知识的了解程度.易

错

辨

析对求p分位数的步骤不明确而致误【典例】

从某城市随机抽取14台自动售货机,对其销售额进行统计,数据如下:8,8,10,12,22,23,20,23,32,34,31,34,42,43.则这14台自动售货机的销售额的50%,80%分位数分别为

,

.

错解

因为14×50%=7,14×80%=11.2≈11,所以50%,80%分位数分别是第7,11项,分别为20,31.答案

20

31以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述错解有3处错误,第一,没有把数据按从小到大排序;第二,14×50%=7,为整数,此百分位数应为第7项和第8项数据的平均数;第三,14×80%=11.2,不能四舍五入,此百分位数应取第12项数据.正解:把14台自动售货机的销售额按从小到大排序,得8,8,10,12,20,22,23,23,31,32,34,34,42,43.因为14×50%=7,14×80%=11.2,所以50%分位数是第7项和第8项数据的平均数,即×(23+23)=23,80%分位数是第12项数据34.答案:23

341.明确求p分位数的步骤.2.注意np的值是整数和非整数时的百分位数的取值情况.【变式训练】

已知一组数据4.3,6.5,7.8,6.2,9.6,15.9,7.6,8.1,10,12.3,11,3,则这组数据的75%分位数是

.

解析:把数据从小到大排序,得3,4.3,6.2,6.5,7.6,7.8,8.1,9.6,10,11,12.3,15.9,共有12个数.因为12×75%=9,所以75%分位数是第9项和第10项数据的平均数,即

(10+