如何轻松解决排列与组合问题

精品文档-下载后可编辑如何轻松解决排列与组合问题排列与组合问题，一直是困扰学生学好数学的一个难题。通过分析多年的教学经验，总结出两种解题方法供大家参考。

数学排列组合一、排列与组合的解题方法的归类

1.解题的指导思想：分类加法，分步乘法；有序排列，无序组合

2.解题的原则：特殊元素（或特殊位置）优先法

3.解题的方法：选法（直接法）和抛法（间接法）

4.常见题型及解题策略：

题型一：特殊元素或特殊位置优先法（即先解决特殊元素或特殊位置）

例1：甲乙等6人站成一排，其中甲不能站在最左端，乙不能站在最右端，则共有多少不同的站法？

解析：方法一（选法）：

第一类：甲站在最右端共有A55种；

第二类：甲站在中间4个位置有C14C14A44种；

综上，共有A55+C14C14A44=504种。

方法二（抛法）：即抛去甲在最左端的情况和乙在最右端的情况。共有A66-A55-A55+A44=504种。

题型二：相邻问题用捆绑法（捆相邻元素，且注意其有序性）

例2：7个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻，共有多少种的站法？

解析：把甲、乙、丙3人看成1人与其余4人站成一排共有A55种站法，再把甲、乙、丙3人进行排列有A33种站法，此两步完成之后共有A55A33种不同站法（分步乘法，有序排列）。

题型三：不相邻问题用插空法（谁不相邻谁去插空，每空最多插入一个元素）

例3：6人站成一排，甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的站法共有多少种？

解析：方法一（抛法）：6人全排列，再抛掉甲、乙相邻和甲、丙相邻的情况，则共有A66-2A22A55+A22A44=288种不同的站法。

方法二（选法）：把其余3人先排好有A33种方法，再让甲、乙去插空，有A24种方法，最后丙再去插空，但不能站在甲的左右两端，共有A14种方法，完成这件事共有A33A24A14=288种站法。

题型四：顺序不变问题用除法或定位法

例4：6人站成一排，要求甲在乙前面，乙在丙前面，则共有多少种不同的排法？

解析：方法一（除法）：6人全排列有A66种方法，其中有甲、乙、丙所有顺序的共A33种，而我们只要其中一种情况，甲―乙―丙符合，则共有A661A33=120种。

方法二（定位法）：从6个位置中选出3个位置有C36种选法，此时，甲、乙、丙顺序不变，他们3人只有一种坐法，其余3人在剩余3个位置站好有A33种站法，则一共有C36A33=120种方法。

题型五：不回原位置问题（每个元素从自己位置出来，再回到位置上去，但不能回到原来的位置）

记住以下3种不回原位置情况即可：

（1）2人不回原位置：只有两人交换位置，即1种方法；

（2）3人不回原位置：其中每人都有2个位置可去，共有2种方法；

（3）4人不回原位置：先安排其中1人有3种方法，再安排被占位置的那个人也有3种方法，此时剩余2人只有一种方法，故共有3×3=9种方法。

题型六：涂色问题用分类的方法（以用的颜色的多少去分类，这样不重不漏。注意先选颜色再涂颜色）

例6：有5种不同颜色的鲜花，要种植在图中的5块区域内，每个区域只能种一种颜色的花，相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有多少种不同的种植方法？ABCED解析：此题以用的鲜花颜色的多少分类

第一类：用5种颜色的鲜花，有A55种方法；

第二类：用4种颜色的鲜花，但要先选择颜色再种植，共有C45・2A44种方法，（此时，AD或BE必植同一颜色的鲜花）；

第三类：用3种颜色的鲜花（同上）：有C35A33种方法（此时，AD和BE分别种一种颜色）；

综上，共有A55+C45・2A44+C35A33=420种不同的种法。

题型七：平均分配问题用除法（要注意平均分配问题的有序性）

例7：（1）6人平均分成3组有多少种不同的分法？

（2）把6人平均分到甲、乙、丙3个单位共有多少种不同的分配方法？

解析：（1）6人平均分组是与顺序无关的问题，则有C26C24C221A33=15种不分法。（注：C26C24C22本身为排列，即与顺序有关的）

（2）把6人平均分到3个不同的地方是与顺序有关的问题，则有C26C24C221A33・A33=90种。另解：可以让甲、乙、丙3个单位派人来领6人中的2人，即C26C24C22=90种。

题型八：档板法（适用范围是把n个相同元素分配到m（m

例8：我校有某高校的10个自主招生名额，要分配给高三的7个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？

解析：方法一：分类解决，即以名额的分配多少分类：

第一类：有一个班4个名额，其余班各有一个名额，有C17种

第二类：有一个班3个名额，一个班2个名额，其余班各一个名额有C27A22种。

第三类：有3个班2个名额，其余班各1个名额，则有C37种

综上，共有C17+C27A22+C37=84种（若把名额改成20，此法不可取）

方法二：用档板法。即把10个名额摆好，用6个板把10个名额分成7份，每个板只能进9个空中的一个空，且一个空最多进一个板，则共有C69=84种。

二、高考真题及模拟试题训练

1.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法总数为（）

A.3×3！B.3×（3！）3C.（3！）4D.9！

解析：第一步：3个家庭的全排列有A33=3！；

第二步：家庭内部3人的全排列有3