备战数学高考44道把关题跟踪演练doc高中数学

备战数学高考44道把关题跟踪演练doc高中数学1．〔12分〕抛物线、椭圆和双曲线都通过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。〔Ⅰ〕求这三条曲线的方程；〔Ⅱ〕动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？假设存在，求出的方程；假设不存在，讲明理由。解：〔Ⅰ〕设抛物线方程为，将代入方程得………………〔1分〕由题意知椭圆、双曲线的焦点为…〔2分〕关于椭圆，………………〔4分〕关于双曲线，………………〔6分〕〔Ⅱ〕设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令………………〔7分〕…………〔12分〕2．〔14分〕正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设，咨询是否存在，使成立，假设存在，求出值；假设不存在，讲明理由；〔Ⅲ〕对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范畴。解：〔Ⅰ〕将点代入中得…………〔4分〕〔Ⅱ〕………………〔5分〕……〔8分〕〔Ⅲ〕由………………〔14分〕3.〔本小题总分值12分〕将圆O:上各点的纵坐标变为原先的一半(横坐标不变),得到曲线C.(1)求C的方程;(2)设O为坐标原点,过点的直线l与C交于A、B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证:的充要条件是.解:(1)设点,点M的坐标为,由题意可知………………(2分)又∴.因此,点M的轨迹C的方程为.………………(4分)(2)设点,,点N的坐标为,㈠当直线l与x轴重合时,线段AB的中点N确实是原点O,不合题意,舍去;………………(5分)㈡设直线l:由消去x,得………………①∴………………(6分)∴,∴点N的坐标为.………………(8分)①假设,坐标为,那么点E的为,由点E在曲线C上,得,即∴舍去).由方程①得又∴.………………(10分)②假设,由①得∴∴点N的坐标为,射线ON方程为:,由解得∴点E的坐标为∴.综上,的充要条件是.………………(12分)4.〔本小题总分值14分〕函数.(1)试证函数的图象关于点对称;(2)假设数列的通项公式为,求数列的前m项和(3)设数列满足:,.设.假设(2)中的满足对任意不小于2的正整数n,恒成立,试求m的最大值.解:(1)设点是函数的图象上任意一点,其关于点的对称点为.由得因此,点P的坐标为P.………………(2分)由点在函数的图象上,得.∵∴点P在函数的图象上.∴函数的图象关于点对称.………………(4分)(2)由(1)可知,,因此,即………………(6分)由,………………①得………………②由①＋②,得∴………………(8分)(3)∵,………………③∴对任意的.………………④由③、④,得即.∴.……………(10分)∵∴数列是单调递增数列.∴关于n递增.当,且时,.∵∴………………(12分)∴即∴∴m的最大值为6.……………(14分)5．〔12分〕、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点。当时，求的面积；当时，求的大小；求的最大值。解：〔1〕〔2〕因，那么设，当时，6．〔14分〕数列中，，当时，其前项和满足，求的表达式及的值；求数列的通项公式；设，求证：当且时，。解：〔1〕因此是等差数列。那么。。〔2〕当时，，综上，。〔3〕令，当时，有〔1〕法1：等价于求证。当时，令，那么在递增。又，因此即。法〔2〕〔2〕〔3〕因因此由〔1〕〔3〕〔4〕知。法3：令，那么因此因那么因此〔5〕由〔1〕〔2〕〔5〕知7．(本小题总分值14分)第21题设双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分不交于Q和R两点.(1)证明：不管P点在什么位置，总有||2=|·|(O为坐标原点)；(2)假设以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范畴；解：(1)设OP：y=kx,又条件可设AR:y=(x–a),解得：=(,),同理可得=(,),∴|·|=|+|=.4分设=(m,n),那么由双曲线方程与OP方程联立解得:m2=,n2=,∴||2=:m2+n2=+=,∵点P在双曲线上，∴b2–a2k2>0.∴不管P点在什么位置，总有||2=|·|.4分〔2〕由条件得：=4ab,2分即k2=>0,∴4b>a,得e>2分8.(本小题总分值12分)常数a>0,n为正整数，fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意na,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],∵a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在〔0，+∞〕单调递减.4分〔2〕由上知：当x>a>0时,fn(x)=xn–(x+a)n是关于x的减函数,∴当na时,有：(n+1)n–(n+1+a)nnn–(n+a)n.2分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分9.(本小题总分值12分)：y=f(x)定义域为［–1，1］，且满足：f(–1)=f(1)=0，对任意u,v[–1，1］，都有|f(u)–f(v)|≤|u–v|.(1)判定函数p(x)=x2–1是否满足题设条件？(2)判定函数g(x)=，是否满足题设条件？解：(1)假设u,v[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u2–v2|=|(u+v)(u–v)|，取u=[–1，1]，v=[–1，1],那么|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u–v)|=|u–v|>|u–v|，因此p(x)不满足题设条件.〔2〕分三种情形讨论：10.假设u,v[–1，0]，那么|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u–v|，满足题设条件；20.假设u,v[0，1]，那么|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v–u|，满足题设条件；30.假设u[–1，0]，v[0，1]，那么：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u–v|=|v+u|≤|v–u|=|u–v|，满足题设条件;40假设u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.10.(本小题总分值14分)点P(t,y)在函数f(x)=(x–1)的图象上，且有t2–c2at+4c2=0(c0).(1)求证：|ac|4;(2)求证：在(–1，+∞〕上f(x)单调递增.(3)(仅理科做)求证：f(|a|)+f(|c|)>1.证：(1)∵tR,t–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c2∵c0,∴c2a216,∴|ac|(2)由f(x)=1–,法1.设–1<x1<x2,那么f(x2)–f(x1)=1––1+=.∵–1<x1<x2,∴x1–x2<0,x1+1>0,x2+1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴x0时，f(x)单调递增.法2.由f`(x)=>0得x–1,∴x>–1时，f(x)单调递增.〔3〕〔仅理科做〕∵f(x)在x>–1时单调递增，|c|>0,∴f(|c|)f()==f(|a|)+f(|c|)=+>+=1.即f(|a|)+f(|c|)>1.11．〔本小题总分值15分〕设定义在R上的函数〔其中∈R，i=0,1,2,3,4〕，当x=－1时，f(x)取得极大值，同时函数y=f(x+1)的图象关于点〔－1，0〕对称．求f(x)的表达式；试在函数f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；假设，求证：解：〔1〕…………5分〔2〕或…………10分〔3〕用导数求最值，可证得……15分12．〔本小题总分值13分〕设M是椭圆上的一点，P、Q、T分不为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．解：设点的坐标那么……1分………3分由〔1〕－〔2〕可得………………6分又MN⊥MQ，因此直线QN的方程为，又直线PT的方程为……10分从而得因此代入〔1〕可得此即为所求的轨迹方程.………………13分13．〔本小题总分值12分〕过抛物线上不同两点A、B分不作抛物线的切线相交于P点，〔1〕求点P的轨迹方程；〔2〕点F〔0，1〕，是否存在实数使得？假设存在，求出的值，假设不存在，请讲明理由。解法〔一〕：〔1〕设由得：………………3分直线PA的方程是：即①同理，直线PB的方程是：②由①②得：∴点P的轨迹方程是……6分〔2〕由〔1〕得：…………10分因此故存在=1使得…………12分解法〔二〕：〔1〕∵直线PA、PB与抛物线相切，且∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即…………3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是……6分〔2〕由〔1〕得：………………10分故存在=1使得…………12分14．〔本小题总分值14分〕设函数在上是增函数。求正实数的取值范畴；设，求证：解：〔1〕对恒成立，对恒成立又为所求。…………4分〔2〕取，，一方面，由〔1〕知在上是增函数，即……8分另一方面，设函数∴在上是增函数且在处连续，又∴当时，∴即综上所述，………………14分15．(本小题总分值12分)如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．假设一双曲线以、为焦点，且通过、两点．(1)求双曲线的方程；(2)假设一过点〔为非零常数〕的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，咨询在轴上是否存在定点，使？假设存在，求出所有如此定点的坐标；假设不存在，请讲明理由．解：(1)设双曲线的方程为，那么．由，得，即．∴ 〔3分〕解之得，∴．∴双曲线的方程为． 〔5分〕(2)设在轴上存在定点，使．设直线的方程为，．由，得．即 ① 〔6分〕∵，，∴．即． ② 〔8分〕把①代入②，得 ③ 〔9分〕把代入并整理得其中且，即且．． 〔10分〕代入③，得，化简得．当时，上式恒成立．因此，在轴上存在定点，使． 〔12分〕16．(本小题总分值14分)数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有〔为大于1的常数〕，记．(1)求；(2)试比较与的大小〔〕；(3)求证：，〔〕．解：(1)∵， ①∴． ②②－①，得，即． 〔3分〕在①中令，可得．∴是首项为，公比为的等比数列，． 〔4分〕(2)由(1)可得．．∴， 〔5分〕．而，且，∴，．∴，〔〕． 〔8分〕(3)由(2)知，，〔〕．∴当时，．∴， 〔10分〕〔当且仅当时取等号〕．另一方面，当，时，．∵，∴．∴， 〔13分〕〔当且仅当时取等号〕．∴．〔当且仅当时取等号〕．综上所述，，〔〕．〔14分〕17．〔本小题总分值13分〕如图，双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。〔I〕求证：；〔II〕假设且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；〔III〕在〔II〕的条件下，直线过点A〔0，1〕与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判定的范畴，并用代数方法给出证明。解：〔I〕右准线，渐近线 ……3分〔II〕双曲线C的方程为： ……7分〔III〕由题意可得 ……8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ……11分，得的取值范畴是〔0，1〕 ……13分18．〔本小题总分值13分〕函数，数列满足〔I〕求数列的通项公式；〔II〕设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；〔III〕在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？假设存在，那么如此的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；假设不存在，请讲明理由。〔IV〕请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出那个极限值。解：〔I〕 ……1分……将这n个式子相加，得 ……3分〔II〕为一直角梯形〔时为直角三角形〕的面积，该梯形的两底边的长分不为，高为1 ……6分〔III〕设满足条件的正整数N存在，那么又均满足条件它们构成首项为2018，公差为2的等差数列。设共有m个满足条件的正整数N，那么，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分〔IV〕设，即那么明显，其极限存在，同时 ……10分注：〔c为非零常数〕，等都能使存在。19.〔本小题总分值14分〕设双曲线的两个焦点分不为，离心率为2。〔I〕求此双曲线的渐近线的方程；〔II〕假设A、B分不为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并讲明轨迹是什么曲线；〔III〕过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。假设存在，求出直线的方程；假设不存在，讲明理由。解：〔I〕，渐近线方程为 4分〔II〕设，AB的中点那么M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。〔9分〕〔III〕假设存在满足条件的直线设由〔i〕〔ii〕得∴k不存在，即不存在满足条件的直线。 14分20.〔本小题总分值13分〕数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且。〔I〕求证数列是等比数列；〔II〕设数列的公比，数列满足：，试咨询当m为何值时，成立？解：〔I〕由〔2〕由得：，即对任意都成立〔II〕当时，由题意知 13分21．〔本小题总分值12分〕设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分不交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕假设过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．解：〔1〕设点其中．由分所成的比为8∶5，得，2分∴．①，4分而，∴．．②，5分由①②知．∴．6分〔2〕满足条件的圆心为，，8分圆半径．10分由圆与直线：相切得，，又．∴椭圆方程为．12分22．〔本小题总分值14分〕〔理〕给定正整数和正数，关于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．〔文〕给定正整数和正数，关于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．〔理〕解：设公差为，那么．3分4分．7分又．∴，当且仅当时，等号成立．11分∴．13分当数列首项，公差时，，∴的最大值为．14分〔文〕解：设公差为，那么．3分，6分又．∴．当且仅当时，等号成立．11分∴．13分当数列首项，公差时，．∴的最大值为．14分23．〔本小题总分值12分〕垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分不为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P〔x0，y0〕〔Ⅰ〕证明：〔Ⅱ〕过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解〔Ⅰ〕证明：①直线A2N的方程为②……4分①×②，得〔Ⅱ〕……10分当……12分24．〔本小题总分值14分〕函数 〔Ⅰ〕假设 〔Ⅱ〕假设 〔Ⅲ〕假设的大小关系〔不必写出比较过程〕.解：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕设……6分〔Ⅲ〕在题设条件下，当k为偶数时当k为奇数时……14分25．〔本小题总分值14分〕f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.〔Ⅰ〕求实数a的值组成的集合A；〔Ⅱ〕设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试咨询：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？假设存在，求m的取值范畴；假设不存在，请讲明理由.本小题要紧考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析咨询题和解决咨询题的能力.总分值14分.解：〔Ⅰ〕f＇(x)==，∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.①设(x)=x2－ax－2，方法一：(1)=1－a－2≤0，①－1≤a≤1，(－1)=1+a－2≤0.∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.方法二：≥0，<0，①或(－1)=1+a－2≤0(1)=1－a－2≤00≤a≤1或－1≤a≤0－1≤a≤1.∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.〔Ⅱ〕由=，得x2－ax－2=0，∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，∴从而|x1－x2|==.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.②设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：g(－1)=m2－m－2≥0，②g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范畴是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：当m=0时，②明显不成立；当m≠0时，m>0，m<0，②或g(－1)=m2－m－2≥0g(1)=m2+m－2≥0m≥2或m≤－2.因此，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范畴是{m|m≥2，或m≤－2}.26．〔本小题总分值12分〕如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.〔Ⅰ〕假设直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；〔Ⅱ〕假设直线l只是原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范畴.此题要紧考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的差不多思想和综合解题能力.总分值12分.解：〔Ⅰ〕设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.由y=x2，①得y＇=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1，∴直线l的斜率kl=－=-，∴直线l的方程为y－x12=－(x－x1)，方法一：联立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M是PQ的中点x0==-，∴y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，那么x0==kl=-，∴x1=－，将上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).〔Ⅱ〕设直线l:y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，那么T(0，b).分不过P、Q作PP＇⊥x轴，QQ＇⊥y轴，垂足分不为P＇、Q＇，那么.y=x2由消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0.③y=kx+by1+y2=2(k2+b)，那么y1y2=b2.方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵y1、y2可取一切不相等的正数，∴的取值范畴是〔2，+〕.方法二：∴=|b|=|b|.当b>0时，=b==+2>2；当b<0时，=－b=.又由方程③有两个相异实根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，因此k2+2b>0，即k2>－2b.因此>=2.∵当b>0时，可取一切正数，∴的取值范畴是〔2，+〕.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.那么x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).因此b==－x1x2.22∴==+=+≥2.22∵可取一切不等于1的正数，∴的取值范畴是〔2，+〕.27．〔本小题总分值12分〕 某突发事件，在不采取任何预防措施的情形下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的缺失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采纳.单独采纳甲、乙预防措施所需的费用分不为45万元和30万元，采纳相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.假设预防方案承诺甲、乙两种预防措施单独采纳、联合采纳或不采纳，请确定预防方案使总费用最少. 〔总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件缺失的期望值.〕本小题考查概率的差不多知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际咨询题的能力，总分值12分.解：①不采取预防措施时，总费用即缺失期望为400×0.3=120〔万元〕； ②假设单独采取措施甲，那么预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，缺失期望值为400×0.1=40〔万元〕，因此总费用为45+40=85〔万元〕③假设单独采取预防措施乙，那么预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，缺失期望值为400×0.15=60〔万元〕，因此总费用为30+60=90〔万元〕；④假设联合采取甲、乙两种预防措施，那么预防措施费用为45+30=75〔万元〕，发生突发事件的概率为〔1－0.9〕〔1－0.85〕=0.015，缺失期望值为400×0.015=6〔万元〕，因此总费用为75+6=81〔万元〕.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.28．〔本小题总分值14分〕 〔I〕数列极限存在且大于零，求〔将A用a表示〕；〔II〕设〔III〕假设都成立，求a的取值范畴.本小题要紧考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析咨询题和解决咨询题的能力，总分值14分. 解：〔I〕由 〔II〕 〔III〕 〔i〕当n=1时结论成立〔已验证〕. 〔ii〕假设当 故只须证明 即n=k+1时结论成立. 依照〔i〕和〔ii〕可知结论对一切正整数都成立. 故29．〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值4分，第二小咨询总分值10分〕，函数.(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.本小题要紧考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力.总分值14分.解：〔Ⅰ〕由题意，.当时，，解得或；当时，，解得.综上，所求解集为.〔Ⅱ〕设此最小值为.①当时，在区间上，.因为，，那么在区间上是增函数，因此.②当时，在区间上，，由知.③当时，在区间上，..假设，在区间内，从而为区间上的增函数，由此得.假设，那么.当时，，从而为区间上的增函数；当时，，从而为区间上的减函数.因此，当时，或.当时，，故；当时，，故.综上所述，所求函数的最小值30．〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值2分，第二、第三小咨询总分值各6分〕设数列的前项和为，，且，其中为常数.(Ⅰ)求与的值；(Ⅱ)证明：数列为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.本小题要紧考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力.解：〔Ⅰ〕由，得，，.由，知即解得，.〔Ⅱ〕方法1由〔Ⅰ〕，得，①因此.②②-①，得，③因此.④④-③，得.因为，因此.又因为，因此，即，.因此数列为等差数列.方法2由，得，又，且，因此数列是唯独确定的，因而数列是唯独确定的.设，那么数列为等差数列，前项和.因此，由唯独性得，即数列为等差数列.〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，.要证，只要证.因为，，故只要证，即只要证.因为，因此命题得证.31．〔本小题总分值14分〕椭圆的左、右焦点分不是F1〔－c，0〕、F2〔c，0〕，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，同时满足〔Ⅰ〕设为点P的横坐标，证明；〔Ⅱ〕求点T的轨迹C的方程；〔Ⅲ〕试咨询：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=假设存在，求∠F1MF2的正切值；假设不存在，请讲明理由.本小题要紧考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决咨询题的能力.总分值14分.〔Ⅰ〕证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，因此………3分证法二：设点P的坐标为记那么由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即 由，因此…………3分〔Ⅱ〕解法一：设点T的坐标为 当时，点〔，0〕和点〔－，0〕在轨迹上.当|时，由，得.又，因此T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，因此有综上所述，点T的轨迹C的方程是…………7分解法二：设点T的坐标为当时，点〔，0〕和点〔－，0〕在轨迹上. 当|时，由，得. 又，因此T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为〔〕，那么 因此① 由得② 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是……7分③④〔Ⅲ〕解法一：C上存在点M〔〕使S=的充要条件是③④ 由③得，由④得因此，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………11分 当时，， 由， ， ，得解法二：C上存在点M〔〕使S=的充要条件是③④③④ 由④得上式代入③得 因此，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………11分 当时，记， 由知，因此…………14分32．〔本小题总分值12分〕 函数在区间〔0，+∞〕内可导，导函数是减函数，且设是曲线在点〔〕得的切线方程，并设函数〔Ⅰ〕用、、表示m；〔Ⅱ〕证明：当；〔Ⅲ〕假设关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范畴及a与b所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判定函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学差不多关系解决咨询题的能力.总分值12分〔Ⅰ〕解：…………2分〔Ⅱ〕证明：令因为递减，因此递增，因此，当；当.因此是唯独的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即…………6分〔Ⅲ〕解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用〔II〕的结果可知，的充要条件是：过点〔0，〕与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为 因此的充要条件是…………10分 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 明显，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式② 有解、解不等式②得③ 因此，③式即为b的取值范畴，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分〔Ⅲ〕解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.对任意成立的充要条件是………………8分 令，因此对任意成立的充要条件是 由 当时当时，，因此，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即………………10分 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 明显，存在a、b使①式成立的充要条件是：不等式② 有解、解不等式②得 因此，③式即为b的取值范畴，①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分33．〔本小题总分值12分〕数列的首项前项和为，且〔I〕证明数列是等比数列；〔II〕令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由可得两式相减得即从而当时因此又因此从而故总有，又从而即数列是等比数列；〔II〕由〔I〕知因为因此从而==-=由上-==12①当时，①式=0因此；当时，①式=-12因此当时，又因此即①从而34．(本小题总分值14分)动圆过定点，且与直线相切，其中.〔I〕求动圆圆心的轨迹的方程；〔II〕设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分不为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：〔I〕如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，因此轨迹方程为；〔II〕如图，设，由题意得〔否那么〕且因此直线的斜率存在，设其方程为，明显，将与联立消去，得由韦达定理知①〔1〕当时，即时，因此，因此由①知：因此因此直线的方程可表示为，即因此直线恒过定点〔2〕当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，因此，现在，直线的方程可表示为即因此直线恒过定点因此由〔1〕〔2〕知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.35．〔本小题总分值12分〕 椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分不为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分不是C1的左、右焦点.〔Ⅰ〕求双曲线C2的方程；〔Ⅱ〕假设直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足〔其中O为原点〕，求k的取值范畴.解：〔Ⅰ〕设双曲线C2的方程为，那么故C2的方程为〔II〕将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范畴为36．〔本小题总分值12分〕 数列{an}满足.〔Ⅰ〕用数学归纳法证明：；〔Ⅱ〕不等式，其中无理数e=2.71828….〔Ⅰ〕证明：〔1〕当n=2时，，不等式成立.〔2〕假设当时不等式成立，即那么.这确实是讲，当时不等式成立.依照〔1〕、〔2〕可知：成立.〔Ⅱ〕证法一：由递推公式及〔Ⅰ〕的结论有两边取对数并利用不等式得故上式从1到求和可得即〔Ⅱ〕证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用不等式得上式从2到n求和得因故成立.37．〔本小题总分值12分〕数列〔1〕证明〔2〕求数列的通项公式an.解：〔1〕方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有那么而又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，因此由假设有：即也即当n=k+1时成立，因此对一切〔2〕下面来求数列的通项：因此,又bn=－1，因此38．〔本小题总分值14分〕如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分不相切于A、B两点.〔1〕求△APB的重心G的轨迹方程.〔2〕证明∠PFA=∠PFB.解：〔1〕设切点A、B坐标分不为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：因此△APB的重心G的坐标为，因此，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：〔2〕方法1：因为由于P点在抛物线外，那么∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当因此P点坐标为，那么P点到直线AF的距离为：即因此P点到直线BF的距离为：因此d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：因此P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.39．〔本小题总分值12分〕 设A、B是椭圆上的两点，点N〔1，3〕是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.〔Ⅰ〕确定的取值范畴，并求直线AB的方程；〔Ⅱ〕试判定是否存在如此的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并讲明理由.〔此题不要求在答题卡上画图〕本小题要紧考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决咨询题的能力.〔Ⅰ〕解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，∴②且由N〔1，3〕是线段AB的中点，得解得k=－1，代入②得，的取值范畴是〔12，+∞〕.因此，直线AB的方程为解法2：设那么有依题意，∵N〔1，3〕是AB的中点，∴又由N〔1，3〕在椭圆内，∴∴的取值范畴是〔12，+∞〕.直线AB的方程为y－3=－〔x－1〕，即x+y－4=0.〔Ⅱ〕解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，∴因此由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，那么CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦因此，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.〔注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：〕A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由〔Ⅱ〕解法1及λ>12,∵CD垂直平分AB，∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设∴运算可得，∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.〔注：也可用勾股定理证明AC⊥AD〕40．〔本小题总分值14分〕 不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足〔Ⅰ〕证明〔Ⅱ〕推测数列是否有极限？假如有，写出极限的值〔不必证明〕；〔Ⅲ〕试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有本小题要紧考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.〔Ⅰ〕证法1：∵当即因此有所有不等式两边相加可得由不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，第一利用数学归纳法证不等式〔i〕当n=3时，由知不等式成立.〔ii〕假设当n=k〔k≥3〕时，不等式成立，即那么即当n=k+1时，不等式也成立.由〔i〕、〔ii〕知，又由不等式得〔Ⅱ〕有极限，且〔Ⅲ〕∵那么有故取N=10