二项式定理 全市一等奖

二项式定理复习回顾：

［提问］初中学过的完全平方公式是什么？你能写出，思路一：提问：(1)、以为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的次数是什么？有几项？(2)、展开式中各项的系数与展开式中各项的系数有没有关系？(3)、你能猜想展开式的形式吗？观察下列几个等式：（１）、展开式中各项是的形式，可按a（或b）的降幂排成：11121133114641…………（２）、展开式中各项系数的规律：将中展开式的系数列成表如下：发现：

发现每行两端都是１，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：，于是各项系数可写成表中形式：由此猜想展开式的各项系数：

……思路二：观察下式：

由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即.各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故

含的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即__________，系数为_________；含的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即__________

，系数为__________含的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即__________

，系数为__________含的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即__________

，系数为__________

；含的项只能由4个括号都取b而得，即，系数为；

从而可得：提问：的展开式怎么写呢？可以对b分类：

不取b，得取1个b，得取2个b，得…………取k个b，得…………取n-1个b，得取n个b，得

将这n+1个式子相加，可得二项式定理

完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有n+1项，其中各项系数叫做二项式系数，其通项公式为：.说明：（1）、猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）、二项式定理是个恒等式，定理中字母a、b可表示数或式，其中.（3）、展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（4）、通项公式表示的是第r+1项，不是第r项，且a、b位置不能对换。（5）、二项式系数为，注意与项的系数的区别。例如：的第三项是，其二项式系数为：，第三项的系数为：。应用解析：例：（1）、展开（2）、求展开式的第3项（3）、求展开式的第3项应用解析：例（4）、的展开式中，项的系数是多少？例题2：求的展开式中的倒数第4项.小结思路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式思路二：根据多项式乘法、结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：

及通项公式：第二课时

二项式定理二项式展开的通项复习旧知第项题型1利用的二项展开式解题解法1例1求的展开式直接用二项式定理展开例1求的展开式解法2化简后再展开例题2若,则的值()A一定为奇数C一定为偶数B与n的奇偶性相反D与n的奇偶性相同解:所以为奇数故选(A)思考能用特殊值法吗?偶偶奇A题型2利用通项求符合要求的项或项的系数例3求展开式中的有理项解:令原式的有理项为:例4的展开式中的系数为__________解:设第项为所求的系数为分析：第k+1项的二项式系数---

第k+1项的系数-具体数值的积。解：例6：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？分析：考虑的展开式的通项要使x系数为有理数，则r为6的倍数，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17项。题型3二项式定理的逆用例7计算并求值解(1):将原式变形解:(2)原式题型4求多项式的展开式中特定的项(系数)例8的展开式中,的系数等于___________解:仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是解法2运用等比数列求和公式得在的展开式中,含有项的系数为所以的系数为-20例9．求展开式中的系数。解:可逐项求得的系数的展开式通项为当时系数为的展开式通项为当时系数为所以展开式中的系数为的展开式通项为当时系数为-4题型5求乘积二项式展开式中特定的项(特定项的系数)例题10:求

的展开式中项的系数.解的通项是的通项是的通项是由题意知解得所以的系