新教材适用2023-2024学年高中数学第一章数列2等差数列2.2等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的性质课后训练北师大版选择性必修第二册

第2课时等差数列前n项和的性质课后训练巩固提升A组1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=().A.7 B.6 C.3 D.2解析:∵S4-S2=a3+a4=20-4=16,S2=a1+a2,∴(a3+a4)-(a1+a2)=16-4=4d,∴d=3.答案:C2.已知数列{an}是等差数列,且a2=-8,a15=5,Sn是数列{an}的前n项和,则().A.S10=S11 B.S10>S11 C.S9=S10 D.S9<S10解析:∵d=a15-a215-2=令an=0,得n=10,即a10=0.∴S9=S10.由d=1,得a11=1,故S11>S10.答案:C3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=().A.63 B.45 C.36 D.27解析:∵数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.∵S3=9,S6-S3=27,∴S9-S6=45.∵a7+a8+a9=S9-S6,∴a7+a8+a9=45.答案:B4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18=.

解析:∵S3=a1+a2+a3=-6,S18-S15=a18+a17+a16=18,∴(a1+a18)+(a2+a17)+(a3+a16)=12.即a1+a18=4,∴S18=18(a1答案:365.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=0,S15=25,则Sn的最小值为.

解析由Sn=na1+n(n-解得a1=-3,d=23,∴Sn=-3n+n(n-1)2∴当n=5时,Sn有最小值-253答案:-256.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a2=8,a3+a5=26,记Tn=Snn2,若存在正整数M,使得对一切正整数n,Tn≤M都成立,则M的最小值是解析:∵a4-a2=8,∴a5-a3=8.又a3+a5=26,∴a3=9,a5=17.∴an=4n-3,Sn=n(1+4n-3∴Snn2=2n-1n=2-1n,∴M≥2,∴M的最小值为2.答案:27.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.解:(1)设{an}的首项、公差分别为a1,d.则a1+9∴an=3n-12.(2)Sn=n(a1+an)2=12(3n2-21n)=32n-722-1478,当n=3或8.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求:(1){an}的通项公式及前n项和Sn;(2)求|a1|+|a2|+…+|a14|的值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则4a1∴an=3n-23,Sn=32n2-432(2)由an=3n-23,得当n≤7时,an<0,当n>7时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.B组1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=-2n+1,则数列Snn的前11项和为(A.-45 B.-50 C.-55 D.-66解析:∵Sn=n(-1-2n+1)2=-n2,∴S∴Snn的前11项和为-答案:D2.已知{an}为等差数列,若a11a10<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=(A.11 B.19 C.17 D.21解析:∵Sn有最大值,∴{an}的公差d<0.∵a11a10<-1,∴a11<0,a10>0,∴a10+a11∴S20=20(a1+a20)2=10(a10+a11)<0,S19=∴当Sn取最小正值时,n=19.答案:B3.若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是().A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1解析:由an=S1,n=1,所以an=5-4n,所以na1=n,nan=5n-4n2.因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0,Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,所以na1>Sn>nan.答案:C4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=().A.12 B.14 C.16 D.18解析:Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,即a1+an=30,由Sn=n(a1+an答案:B5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=-3,S5=-10,则a5=;Sn的最小值为.

解析:设首项为a1,公差为d,由题意得a2=所以a5=a1+4d=0.an=a1+(n-1)d=n-5.令an≤0,则n≤5,即数列{an}中前4项为负,a5=0,第6项及以后的项为正.故Sn的最小值为S4=S5=-10.答案:0-106.已知首项为正数的等差数列的前n项和为Sn,且S3=S8,当n=时,Sn取到最大值.

解析:∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,∴a6=0.∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.故当n=5或n=6时,Sn最大.答案:5或67.项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.解:设等差数列共(2n+1)项,则奇数项有(n+1)项,偶数项有n项,中间项是第n+1项,记为an+1,设公差为d,则S∴S奇-S偶=a1+nd=an+1=11,即中间项an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=77,∴(2n∴(2n+1)×11=77,∴2n+1=7,即数列的中间项为11,这个数列共7项.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{an}为等差数列,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象;(2)分别求使Sn单调递增、单调递减的n的取值范围,并求Sn的最大(或最小)的项;(3){Sn}有多少项大于零?解:(1)Sn=na1