2022年佛山市普通高中高三教学质量检测数学分析报告

2022年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）

数学学科分析报告

佛山市教育局教学研究室2022.4

一、命题指导思想

2022年高考数学（广东卷）命题遵循《2022年广东省高考〈考

试大纲〉的说明》要求，认真落实命题指导思想坚持“注重数学本质，

深化能力考查”的思路，以能力考查为主，加强对数学基础的考查，

体现应用意识与探究创新同时查漏补缺，为后阶段一个月的复习

提供服务与参考为命题思路.在命题选材上和形式上更加注重与高考

接轨,强调原创,模拟真实情境.

加强对基础知识的考查，突出基本思想和方法以及基本技能的

考查.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的联系，

各部分知识存在着纵向和横向的联系，在知识交汇处设计试题，能更

好地检测考生对知识的理解和具备数学能力的状况.坚持在选择题和

填空题中以中等难度和容易题为主考查数学基础；坚持知识的综合

性，注重在知识网络交汇处设计试题.注重考查对数学概念的理解运

用，引导从数学概念出发解决问题，淡化特殊技巧.

深化能力考查.在全面考查基本能力的同时，突出学科核心能力

的考查能力立意”以知识为载体，以数学思想方法为主要工具.

体现应用意识和探究创新，就是反应新课程特点，创设能反映

和符合学生学习生活实际的试题，考查学生解决简单数学问题的能

力，以及创设体现学生发现问题、提出问题、创造性解决问题的能力

的试题.坚持对应用意识的考查必须贴近生活、背景公平、难度符合

考生实际的原则.

二'试卷特点

（―）加强考查基础知识、基本概念，重点考查主干知识

加强对基础知识的考查就是加强对数学“双基”的考查，主要体现

在三个方面：一是加大了试题中基础知识的比重，并达到必要的深度;

而是在选择、填空题的必做部分主要考查必修内容；三是合理调节选

择、填空题的难度，这部分试题均设置为容易或中等难度题.

加强对基础知识的考查还体现在对知识的考查即全面又突出重

点.试题覆盖了主要知识点，对支撑学科知识体系的主干知识进行了

重点考查.

2022年佛山质检与09年试题主要知识点赋分比较:

文科理科

佛佛佛佛

分类2009山山2009山山

高考高考

模模模模

代数：

7

包括函数及其导数性质和应6870726568

0

用，三角函数，数列，不等式

几何：包括立体几何，坐标方

494848484948

法与向量（解析几何及向量）

概率与统计

201915251717

包括概率、统计

合计137137135138134135

注：以上按试题素材的内容划分，不涉及解答方法内容

加强对基础知识的考查还体现在注重知识之间的综合方面.为实

现对基础知识的考查达到必要的深度，除注重考查主干知识外，无论

是选择、填空，还是解答题都注重在知识的交汇处设计试题。强调知

识之间的交叉、渗透和综合.这一命题思想贯穿全卷.如理科第1题综

合了函数定义域、简单一元二次不等式、集合的交并补运算等模块间

的知识；理科第5题综合了简单的三角恒等变化和角公式的正逆使

用、诱导公式等模块内知识.解答题部分则更是体现得淋漓尽致.如文

科16题综合了三角同角函数图像特征和正余弦定理的应用、和角公

式的运用等知识.理科17题综合了统计（图、表）分析的概率期望等

知识点.理科21（文科21）题综合了函数、导数、数列、不等式等知

识.文科20理20题综合考查双曲线、抛物线、圆、直线等知识，全

面而深刻.正是这些综合使得整份试卷分量厚重，同时也增加了难点.

在客观试题的设计中综合考查多个知识点，如理科第6题，考查了常

用逻辑用语中的全部知识；理科第7题，考查指对幕三种函数的图像

特征.文科10题，综合考查了二元一次不等式组和均值不等式等章内

知识.

加强对基础知识的考查还体现在注重通性通法方面.试题情景更

贴近学生实际，解答淡化特殊技巧.试卷中的试题有相当部分是学生

平时接触过的类型.试题大都可以从基本概念和基本方法出发，运用

数学思想方法去解决.如理科第8题，考查等差和等比数列的概念，

引导从概念本身出发解决问题.理科12题考查截距的概念.（本题相

当部分的学生因概念出错而错填2）.大部分试题入手较容易、有层

次感，解答题都设置了多个问（甚至问中有问，环环相扣），形成一

定的梯度.学生可以跟着设问逐步递进解决问题.

对知识的考查，注重了对数学概念本质的理解，在试题情景设计

时，注意数学概念的拓展运用，减少靠简单模仿获得技巧的作用.文

理两份试卷，其中在客观题部分尤为关注考查考生对基本概念的理解

与认识.这也是本次客观题考生普遍感觉困难的原因.一方面考查概

念，而要将问题说清楚，则又需要强调阅读理解.这也告诉我们在教

学与学习中一定要好好落实基本概念，加强对概念的理解.讲数学一

定要讲概念.这也是进入大学进一步学习能力形成的要求.

（三）突出核心能力、深化能力考查

本次二模对考试大纲列出的五种数学能力进行了有意识的

全面考查.其中对反映逻辑思维能力的推理论证能力和运算求解能力

考查贯穿全卷，突出反映在含字母的算式推演运算上，试卷中同一道

题往往涉及多个字母，试题设计更具有数学味道.如理科20、21,着

重以代数运算为主考查考生掌握算理和推理运算的情况，深入考查了

考生对式子正确进行分解变形和组合变形的能力.立体几何与解析几

何中的字母运算则更不在话下.这也使得高考试题，考生做起来容易

混淆的重要的原因.

试题对于运算求解能力的考查贯穿全卷.文理科解答题中尤以三

角函数（正余弦定理的应用）、概率统计题的运算量为最大，其中理

科17题是造成整份试卷平均分降低的“罪魁祸首”，数据和阅读是其

中的最大障碍！

试卷突出考查了空间想象能力，尤为突出对图形想象的考查.如

理科第3题考查有图想图及投影的概念，文科第7题以符号语言阅读

的方式着重考查考生无图想图的能力.文科第18题一常见的锥体的

侧位放置方式着重考查有图想图能力；理18题以正方体为背景，考

查线面位置关系和定值的描述方式考查有图想图能力，重点考查了空

间线面关系，以及识图，平面空间数量转化的能力，同时兼顾几何推

理和数值计算的能力.

抽象概括能力是重要的数学思维能力，试卷突出了对抽象概括能

力的考查，如理科19、20、21题，文科的20、21题.对思维的严谨

性和概括能力要求较高.

试题更为关注对数学思想方法的考查.七个基本数学思想在试卷

中都涉及了：

・函数与方程的基本数学思想.（通过函数题）

・数形结合的基本数学思想.（通过函数题，解析几何综合题，构

造图形等）

・分类与整合的基本数学思想.（通过综合题，概率，函数参数讨

论题（文16、17、理19、20））

♦化归与转化的基本数学思想.（通过数列题）

・特殊与一般的基本数学思想.（通过综合题，如文理15题）

・有限与无限的基本数学思想.（通过极限、微积分函数题）

•或然与必然的基本数学思想.（通过概率、统计题）

其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、

化归与转化、分类与整合的数学思想方法体现得较为突出.

（四）注重应用意识，考查数据处理能力

新课程和广东高考十分关注对应用意识和数据处理能力的考查.

本次考试有意针对考生熟知的背景和社会热点问题进行应用问题的

设计.文科第6题以2022春季西南大旱为背景考查社会捐助等的概率

为题，11题以考生熟悉的志愿者为背景，19题国家助学贷款问题；

理科第9题广州亚运会的志愿者问题、16题的海上运油问题，17题

的企业“低碳经济”的改造问题等等；背景紧紧围绕广东考生熟知的

身边的生活问题.同时逐步引导考生从文字类应用问题向函数模型、

不等式模型、正余弦定理模型、数列模型等的建模能力的应用问题发

展.

（五）重视创新意识，注重逆向探究

创新意识能较好地反映考生的数学能力与素养，是理性思维的高

层次表现.佛山二模重视了创新意识的考查，通过创设新情境、新设

问和一定深广度的数学问题，检测考生对数学知识的迁移和融汇程

度，以及创新性解决问题的能力.对创新意识主要通过情景创新以及

结合数学探究的考查进行.通过创设适度开放需进行探索讨论的问

题，给学生创设进行数学探究的空间，进而检测考生的数学素养.本

次考试在情景创新上较为突出，其中理科第4题虚数指数曙问题、第

8等差数列子列问题，文科第9题的对数函数性质问题，19题助学贷

款问题，理科17题的“低碳经济”的技术改造问题，情景较为新颖.

在设问和题设叙述上，则更突出数学味，强调新颖.如文科14题点到

直线的问题陈述为两点间距离最小值问题、文20的定值探究等，再

如理科18题，本就是一个最基本的立几中的定值问题，当采取向量

的方式陈述后，新颖感立显.在问题探究中，大量采用逆向探究，既

有适当开放的空间，又明确探究的目的.这类问题较多，如文科第二

题复数的虚部的探求，第8题框图中判断条件的探求，11题的样本

总体的探求、13题指数函数底的逆向探索、18题已知多面体体积逆

向探求线面关系等.再如理4题，复数指数塞运算，12题的约束条件

的探求.20题已知直线垂直及弦长比，探求点尸的坐标等，都具有适

度探究的特点.

三、数据分析

（一）各区平均分'最高分统计（区统计分）

单位文科均最高理科均最高分

分分分

全市144136

禅城71.1413875.42129

南海65.8114471.91134

顺德64.0013569.10136

三水65.8313966.00134

高明58.4013263.7129

（-）各区平均分、最高分统计（市统计分）

单位文科均最高理科均最高分

分分分

全市66.0814470.67136

禅城75.2413875.78129

南海65.6414471.78134

顺德63.3413569.28136

三水73.4813967.16134

高明60.1713264.54129

佛山二模数学

分数段

四'试题及答卷分析

（一）理科试题分析（具体数据以南海为例）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设。=1<,集合A=3y=^/^^,x训，fi={xeZ|x2-4<0},则下列

结论正确的是

A.AAB={-2,-l}B.也矶8=(-8,0)

C.AUB=[0,y)D.(^,A)QB={-2,-1}

命题意图：考查集合的含义、集合的交并补运算，考查函数的定义域、

简单的一元一次不等式，一元二次不等式

平均分：4.23

说明：本题考查的知识都较为简单而浅，但综合性强.一般来说，集

合是起点题，难度不大，但是对于集合的含义和基本的运算要熟练掌

握.

2.已矢口向量3=(1,石)，^=(-1,0),则|Z+2B|=

A.1B.V2C.2D.4

命题意图：考查向量的坐标数乘运算以及向量模的概念和运算

平均分：4.56

说明：平面向量的考查主要体现于基本的概念和基本的运算，在向量

的复习中要始终关注向量运算的几何意义，同时让学生熟练掌握

向量的代数和几何特征的互表.

3.如图：正方体中，E、F、G、H、K、L分别为43、

BB】、BiCi>C.DHDID、D4的中点，则六边形在正方

ABD

命题意图：考查平行投影的概念和空间想象能力

平均分：4.31

说明：空间几何体的结构及其体积运算、三视图和直观图等的考查高

考中多有涉及，这部分试题的难度相对不大，着眼于基本结构的认识.

关注逆向探求，即已知空间几何体体面积，探求相关的边或三视图中

呈现出来的边长.

4.已知z•是虚数单位，使(1+i)"为实数的最小正整数〃为

A.2B.4C.6D.8

命题意图：考查复数的基本概念、虚数单位的幕指运算特征和二项式

定理.

平均分：3.99

说明：本题表面上看是考查二项式定理，但如若考生熟练虚数指数球

的规律特征，则难度相对较小.关键是把握一些基本的运算.如

(l±i)2=±2i,"=T,史=匚复数问题仍然要以基本概念和基本运算为

1+z1-z

主.

5.已知sin(a+—)+sina=<a<0,则cos(a+红)等于

3523

4334

A.--B.--C.-D.-

5555

命题意图：考查和角公式的正逆向使用，诱导公式中的互补与互余关

系以及转化与化归思想

平均分：3.03

说明：本题直接取材于人教A版必修4复习参考题中的习题.从中也可

以说明考生对于三角和角公式的熟练运用还存在一定的困难，其中对

于基本诱导公式的灵活运用还需进一步强化.三角函数的简单的恒等

变换要以突出同角三角函数关系、诱导公式和和差角公式运用为主

6.下列说法中，不走硬的是

A.“国=3”是“x=/’的必要不充分条件；

B.命题〃:VxeR,sinxWl,则―1P:玉eR,sinx>1;

C.命题“若x,y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x,y不

是偶数，则x+y不是偶数”；

D.命题p:所有有理数都是实数，“:正数的对数都是负数，则

(->p)v(->9)为真命题.

命题意图：考查常用逻辑用语中四种条件、量词、四种命题和逻辑联

结词等四个方面的知识.

平均分：3.11

说明：本题的设计全面而深刻，需要考生熟练运用常用逻辑用语描述

数学问题.事实上，具体到每一个问题而言，难度不大，但问题就出

在考生对一些概念表示似是而非，如本题C中“都不是”和“不都是”

的含义的理解.

7.已知实数机,“满足0c〃<加<1,给出下列关系式

①2"'=3"②log2m=log3n③/=/

其中可能成立的有

A.0个B.1个C.2个D.3个

命题意图：考查基本初等函数中的指对暴函数的图像特征和单调性，

数形结合思想

平均分：1.40

说明：本题考查全面，涉及指对赛三种函数，充分考查考生对函数图像

和性质的理解水平.同时还考查考生的估算思想.得分率低反映出考

生对指对幕函数和性质还需进一步提升.

8.设“吗，…，。.（〃24）是各项均不为各的等差数列，且公差d#（）.设£（"）

是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最

大的“值，则£（〃）=

A.4B.5C.6D.7

命题意图：考查考生对等差等比数列概念和阅读理解能力和创新意识

平均分：2.38

说明：本题立意深刻，深入考查等差等比数列概念的理解水平.以等

差等比数列中的一个基本事实入题.即若一个等差数列中有连续的三

项成等比数列，则这个数列公差为零.本题的另一个值得关注的问题

是命题切入的方式.

二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分）

（一）必做题（9〜13题）

5=0

9.某体育赛事志愿者组织有1000名志愿者，其中参加过2驷用

北京奥运会志愿服务的有250名，新招募的2022生广州还赳

愿者750名.现用分层抽样的方法从中选出100名志愿者

否

的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的天数是

Z

zZ输/s/

命题意图：考查分层抽样方法和阅读理解能力

（结束）

平均分：4.83第11题图

10.已知函数/（x）=（sinx+cosx）2-1,xeR,

则/（%）的最小正周期是.

命题意图：考查同角三角函数关系和倍角公式及周期的概念

平均分：4.72

说明：本题直接取材于教材中的习题的变式，考查最基本的三角函数

问题.事实上，对于三角函数还需进一步突出对函数图像特征的理解.

11.右图给出的是计算工+工+工+…+’的值的一个框图，其中菱形判

24620

断框内应填入的条件是.

命题意图：考查对算法程序框图以及阅读理解能力

平均分：3.98

2x-y>0,

12.若实数x、y满足<y2光，且z=2x+y的最小值为3,则实数人的

y>-x+b,

值为.

命题意图：考查线性规划的知识和数形结合思想和你想探究能力

平均分：1.95

说明：本题得分如此之低实出乎意料.事实上，本题在设计之初已经

料到一部分学生会陷入。=2的陷阱.但得分之低却充分反映出我们考

生的图形探究能力和逆向探究能力还需进一步提升.

13.若等差数列｛a“｝的首项为",公差为d,前”项的和为S“，则数列

｛2｝为等差数列，且通项为2=《+(〃-1)应.类似地，若各项均为正

nn2

数的等比数列出｝的首项为小公比为4,前〃项的积为7“，则数列｛物｝

为等比数列,通项为.

命题意图：考查等差等比数列的概念和类比推理能力

平均分：1.21

说明：等差等比数列的类比在教学中应该加以关注.以数列为载体考

查学生的类比能力，典型错误为：1)把等差数列的首项为误为等比数

列的首项；2）把新的等比数列的公比误为幺；3）误以为要用到等比数

2

列的前〃项和公式.

（-）选做题（14〜15题,考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程）极坐标系中，直线/的极坐标方程为

psin（6+为=2,则极点在直线/上的射影的极坐标是____________.

6

命题意图：考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的转化

平均分：1.09

说明：错误的形式为1）把（p,e）改以（8,p）表达⑵特殊靴三角

函数值混乱，学生答案中出现,葛情况较多.

15.（几何证明选讲）如图，以AB=4为直径的圆与△A3C4舸选一y

分别交于E,尸两点，ZACB=60,则所=.-----/

--------------------------第15题图

命题意图：考查几何证明选讲中的圆的内接四边形性质

平均分：1.85

说明：本题考查对图形的深入理解和思维的深刻性.是将三角形ABC

特殊化为等边三角形，答案立刻可以出来，而从学生的答案反映，能这

样做的学生应该不多，因为选做这道题的学生中，各种各样的答案都

有.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明'证明

过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）

已知海岸边4B两海事监测站相距60〃mile.为了测量海平面K

两艘油轮C,。间距离，在A6两处分别测得4黑-------------1

ZABC=30,"48=45"NC4Z）=60。\'、、、、

在同一个水平面内）.\/

请计算出C,。两艘轮船间距离.热堞＜5：_、蓊喘XV

第16题图

命题意图：综合考察正弦定理、余弦定理

以及运用定理解决实际问题的能力，运算求解能力

平均分：5.47

说明：考生做错的原因有以下几点：

一、对解三角的这种最常规的题型很陌生，不知从何入手；

二、解题的思路不够清晰，不明确在哪个三角形中来求线段CQ

的长，尽做无用功，例如，求完AC,又求3c或求完AZ),又求

BD;

三、运算能力不过关，例如sin75。=°"+娓，cos60°=—,以及

22

最后代入余弦定理运算错误等等；

四、题目的图令考生误会了，考生以为4B〃CQ,因此解错；

五、答题过程不规范，例如，有的考生没写明在哪个三角形中

求解，很多考生没有答数，还有最后结果没有化成最简.

17.(本题满分12分)

某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”,

施行奖惩制度.通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估,

评出优秀、良好、合格和不合格四个等次，并根据等级给予相应的奖

惩(如下表).某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到

以上四个等次的概率分别为且由此增加的产值分别为60万

23824

元、40万元、20万元、-5万元.设该企业当年因改造而增加利润为久

(I)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等次的

概率是多少？

(II)求J的数学期望.

评估得

(0,60)[60,70)[70,80)[80400]

分

评定等不合

合格良好优秀

级格

奖惩（万

-803060100

元）

命题意图：考查独立事件与互斥事件的概率，离散型随机变量的分布

列和期望，阅读理解能力和运算求解能力、数据处理能力.

平均分：2.78

说明：一、常见问题

1、审题不清：

①第一问“被评为合格以上等次”，很多学生没有把“合格”算进

去，只考虑了“良好”与“优秀”两种情况；

②第一问“该企业被抽到且被评为……”，很多学生没有考虑“被

抽到”的概率仅为

2

③题目要求的“因改造而增加的利润”，很多学生没有减去成本，

即投入改造的100万元；

2、理解不透彻，解题思路不清晰

企业改造一定进行，但在评估的时候存在“抽到”与“不抽到”

两种情况，只有“抽到”的才评定等级，评了等级之后才进行奖惩。

很多同学在答题中只注意了评级之后的奖惩而没有注意这是在“抽

到”之后才发生的。

3、答题不规范

解题中没有必要的文字说明，很多同学只有结果没有过程（尤其

第一问）；

4、运算能力欠缺

①第一问简单的分式运算不过关，粗心大意，比如：

1/11、232323号

2238249664

②部分同学能够列出期望的表达式，但不能算出正确的结果.

二、几点建议

1、继续加强解题规范性的训练，解答题必须写出必要的文字说明和

解答过程；

2、加强学生阅读理解能力的培养和训练；

3、加强数学思想方法在解题中的运用的训练.

18.（本题满分14分）

如图，在棱长为1的正方体A8CD-A用CQ中，P为线段AA上的点,

且满足^^=4⑸（4>0）.:—77r

（I）当;1=1时，求证：平面ABCQ,平用乙£,J'//

（II）试证无论4为何值，三棱锥O-P6G:灯}\J

恒为定值；/\\N

（III）求异面直线GP与cq所成的角的余/

命题意图：考查空间中的线面关系、空间想卜“I"/

第18题图

运算求解能力、推理论证能力、转化与化归的思想.

平均分：7.04

说明：本次考试的立几题，立意新颖.解法较多.题目第一问人口较宽.

主要考查学生对线面，面面垂直的掌握，学生对这些知识点掌握得比较

好，主要存在问题是对定理运用的严谨性与规范作答上有待进一步规

-W-

汜.

第二问要求证明三棱锥的体积为定值，通过线面平行时，直线上的

各点到平面的距离相等而实现.但考生对这一几何性质掌握得不理想.

考生对这一知识点的说理很不充分.往往表述为”无论P点在什么地方,

它到面DBG的距离都相等.”但为什么相等却没有说清楚.

第三问很多考生受人这一参数变化的影响，没能认清楚。5_1面

ABC\D\从而有CBi，尸G.所以在第三问中才使用上坐标法.在确定点

P的坐标时,部分考生设为P(x,O,l-x),则基本可以顺利完成.部分考生

想利用人这一参数确定点P的坐标，则往往不能成功.说明学生对直线

上动点的坐标的确定掌握不理想.在后续训练中应多注意.

19.(本题满分14分)

已知函数/(x)=x?+ax+blnx(x>0,实数a,。为常数).

(I)若a=l,O=-1,求函数/(x)的极值；

(II)若a+b=-2,讨论函数"X)的单调性.

命题意图：考查函数与导数的知识、分类与整合思想、函数与方程的

思想和运算求解能力

平均分：5.42

说明：第一问存在问题是:①忽略了定义域的前提条件;②没有说明极

值点左右两侧导数的符号，从而忽略了单调性的讨论；

第二问存在问题是①恒等变形的能力比较差，代数式的变形出现

错误;②分类讨论的层次混乱甚至是分类讨论的意识不强；

的应用问题把握的不够，总起来讲，许多人显得力不从心.’

20.（本题满分14分）

22

如图，抛物线C：/=8x与双曲线C,:三-4=1（〃>0力>0）有公共焦

ab

点尸2，点A是曲线G，G在第一象限的交点，且|A居1=5.

（1）求双曲线。2的方程；

（II）以G为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，

圆N:（x-2尸+:/=1.平面上有点p满足:存在过

点P的无穷多对互相垂直的直线4，个它们分别与圆M,N相交，且直

线4被圆M截得的弦长与直线4被圆N截得的弦长的比为6:1,试求

所有满足条件的点P的坐标.

命题意图：综合考查双曲线、抛物线的定义和几何性质、直线与圆的

位置关系，数形结合思想、图形探究能力、运算求解能力.

平均分：3.64

说明：得0分的有近1100人，3分以下的有3000多人，大部分考生

只思考了第一问.

第一问是求双曲线方程，主要考查考生对圆锥曲线基本概念的理

解。本小问有两种方法求解：定义法和待定系数法。从答题情况来看，

考生绝大部分都是采用了待定系数法，极少使用定义法。这说明考生

对圆锥曲线的标准方程的结构形式很熟悉，但对圆锥曲线的定义还不

能灵活地运用。而在使用待定系数法的求解过程中，很多考生能够将

方程组正确列出，却不能求出正确结果，这暴露出学生的运算能力的

低下，需要在后期的复习备考中加以重视。

第二问主要涉及直线与圆相切、圆的弦长计算以及寻求不变量的

思想。事实上，第2问总体难度不大，如果考生能静下心，仔细运算，

即使最终定点P不会求解，也可以得到6分之多.所以在备考中要多

鼓励学生敢于去做解几题，即使不能做全，也可以靠步骤多拿分。从

答题情况来看，对弦长的计算考生还比较熟悉，问题还是出在运算上，

考生对字母的运算能力还有待加强。对定点P的求解运用了变与不变

的思想方法，有一定难度，只有很少一些考生答出.在考生的答题过

程中还出现了以下一些问题，值得大家关注：1.有部分考生对两直线

垂直的斜率关系错误地理解成互为相反数；2.很多考生将渐近线方程

写成了y=±3x,说明考生对标准方程中的a力认识不清.

21.（本题满分14分）

设a>0,函数/(元)=一一.

(I)证明:存在唯一实数9€(0」)，使，(%)=/；

a

(II)定义数列{/}：X]=0,xn+i=f(G,nwN*.

(i)求证:对任意正整数"都有%T<X0<%；

(ii)当。=2时，若0</4；(4=2,3,4,...),

证明：对任意加wN*都有：|-刈<丁密.

3-4

命题意图：综合考查函数与导数、零点的存在性定理、等比数列、绝

对值不等式等知识.考查数学归纳法、放缩法、转化与化归思想、函

数与方程的思想；运算求解能力、推理论证能力.

平均分：0.86

说明：反映出的主要问题：

一是考虑问题不严谨。有部分同学考虑了单调性，而没有考虑用

零点存在定理.或知道用零点存在定理但不知道用导数法研究函数单

调性.这种情况得：2分。

二是得4分，就是考虑了单调性也考虑了用零点存在定理.完整完

成第一问。

三是全区得9分以上人数很少：全区只有几个人.一个是说明此类

题.平时没特别训练，另外是前面运算量太大，使很多学生没时间做最

后一题.

还有就是部分同学写出了变形过程，没能做彻底，没有研究到函数

的单调性，也没有用到零点存在定理.这种情况为了鼓励学生给1分.

(二)文科试题分析

一'选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设。=1<,集合A=3y=4T,x>l},B={-2,-1,1,2},则下列结论

正确的是

A.AA5={-2,-l}B.0A)U8=(-8,0)

C.AUB=(0,+a))D.&A)C|B={-2,-1}

命题意图：同理科

平均分：4.4

2.设复数z=l+"i(AeR)在复平面对应的点为Z,若国=2(。为

复平面原点)，则复数z的虚部为

A.73B.±V3zC.士也D.±1

命题意图：考查复数模的运算及其几何意义，复数的概念

平均分：3.8

3.在抽查某批产品尺寸的过程中，样本尺寸数据的频率分布表如下,

则m等于

分

[100,200](200,300](300,400](400,5001(500,600](600,700]

组

频

1030408020tn

数

频

0.050.150.20.4ab

率

A.10B.20C.30

D.40

命题意图：考查频率分布表及其含义

平均分：4.8

4.单位向量z与坂的夹角为《，则q=

A.y/3B.1C.V2

D.2

命题意图：考查向量的几本运算

平均分：3.12

5.已知命题p:基函数的图像不过第四象限，命题/指数函数都是增

函数.则下列命题中为真命题的是

A.(—>/?)vqB.p/\qC.(—>/?)v(―i/7)

D.(—>p)A(-I^)

命题意图：考查指数函数与幕函数的图像和性质，逻辑联结词

平均分：3.4

6.我国西南今春大旱.某基金会计划给与援助，6家矿泉水企业参

与了竞标.其中A企业来自浙江省，6、C两家企业来自福建省，。、

E、/三家企业来自广东省.此项援助计划从两家企业购水，假设每

家企业中标的概率相同.则在中标的企业中，至少有一家来自广东省

的概率是

A43C1

--

•55-*2

D1

.5-

命题意图：考查古典概率、应用意识

平均分：3.96

7.已知a/是两个不同的平面，/,私〃是不同的直线，下列命题不正

确的是

A.若/_L加,/J_〃，mua,力ua,贝lj/_L二；

B.若I//m,lta,mua,则I〃a;

C.若a_1_反二「|4=’,根ua,m_L/,则加_1_尸；

。・若aJ_/7,〃2_La,〃_L,，,则机J_〃

命题意图：考查空间中的线面关系、符号语言与图形语言、文字语言

之间的转化

平均分：3.52(开$始)

8.如图给出的是计算工+」+4+...+上的值的一个框图，节厂

24620i=i

其中菱形判断框内应填入的条件是।

s=s+—

A.Z>8?B.Z>9?——3—1

Ij="1"l

C.z>10?D.Z>11?木

命题意图：同理科

/输辉/

平均分：3.62(结'束)

9.已知函数/(x)=logjx|在(0,+8)上单调递增，则第8题图

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C./(-2)</(1)</(3)D.八3)</■⑴</(-2)

命题意图：考查对数函数的奇偶性和单调性

平均分：3.77

x+y>\

10.设满足约束条件<x-y2T,若目标函数z=ar+0y(a>0,。>0)的

2x-y<2

最大值为7,则之+3的最小值为

ah

4n7+4^/3「24

A.4AB.----------C.——

77

D.7

命题意图：考查线性规划知识、基本不等式

平均分：1.56

说明：本题综合了不等式一章的两个核心知识，从中也可以反映出考

生综合解决问题的能力还有待进一步提升.

二、填空题：本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分）

（一）必做题⑴〜13题）

11.两个志愿者组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从

所有志愿者中抽取一个容量为160的样本，已知从甲志愿者组织中抽

取的人数为150,那么乙志愿者组织志愿者的人数是.

命题意图：考查分层抽样的方法、应用意识

平均分：3.34

12.已知椭圆上一点P到两个焦点之间距离的和为4,其中一个焦点

的坐标为（6,0）,则椭圆的离心率为.

命题意图：考查椭圆的定义与几何性质、标准方程平均分：3.88

13.已知函数/（幻=|优-1卜2a（a>0,且"1）有两个零点，贝!的取值范

围是.

命题意图：考查指数函数的图像特征、函数零点的概念、数形结合思

想

平均分：0.46

说明：典型问题：（1）无从下手；（2）用数形结合时，不会作图形变

换或作图不标准；（3）没有分类讨论.较多师生此题选择数形结合方

法，其实还可以直接用代数方法更简单！

解：/（x）=[a*-“-2a=0=>上/_1=2a=>优=1±2a,要使原函数有两个零

点，则方

程a'=1±2a都要成立.而

⑴a*=l+2a>0,若a>0显然成立；（2）优=1—2a>0且。>0,

贝”可以有0<a<L.

2

（-）选做题（14〜15题,考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P为方程

p（cose+sin8）=l所表示的曲线上一动点。（2彳］,则闿的最小值为

命题意图：考查极坐标、直线的极坐标方程与直角坐标的转化，点到

直线的距离公式

平均分：1.56c.

15.（几何证明选讲）如图，以AB=4为直径的圆与［赫

分别交于E,F两点，ZACB=60,则历=__________A上:

命题意图：同理科'―）

第15题图

平均分：1.6

三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明'证明

过程或演算步骤.

16.（本题满分12分）.

已知函数/（x）=sin（<yx+0）（切>0,0<°<乃）的一系列对应值如卜

表:

7C7171冗3%

X0

-7~6~4~2T

y010-10

2

（I）求了（X）的解析式；

（H）若在AABC中，AC=2,BC=3,f（A）=-g,求AABC的面积.

命题意图：考查三角函数的图像、性质、五点法、正余弦定理等知识,

考查运算求解能力、推理论证能力.

平均分：5.22

说明：第16题属于三角函数题，设有2个小题，第1小题求函

数解析式，第2小题是解三角形求值题。本题平均得分为502分左

右，大部分学生只能答对第1小题，而第2问求三角形面积，由于计

算量大，加上有两种情况考虑，学生能完成的，也只是考虑到一种情

况。从卷面反馈的情况主要有以下几点：

1、学生把表格中的数据制成图表，从图象中求周期；

2、公式不熟悉，把数据代入函数f(x)中求值时，计算错误；

3、绝大部分学生计算角A的值时只考虑一种情况，从而求出

面积只有一个解。

17.(本题满分12分)

已知函数/(x)=+公2+bx(a,beE)在x=-l时取得极值.

(I)试用含。的代数式表示。；

(II)求/(X)的单调区间.

命题意图：考查函数与导数、不等式、一元二次方程等知识，考查分

类与整合、函数与方程思想、运算求解能力

平均分：3.64

说明：1、求导数出错，如：f\x)=3x2+2ax+b;

2、没有理解极值的含义，如：/(-I)=1x(-1)3+a(-1)2+^(-1)=0,

解得0=4」；

3

3、计算出错：如：八-1)=l+2o+b=0,解答Z?=—为-1；

4、求出a和b的值,如:

m田二必-i

LTL),，⑴■»衣犯f+6-亦叫fia-l

，彳(K)二、’」MX

二Y'+T)当?%=同工'W小：华

j々［7x)=0嗝塔7片华:T

•\x\2Ax+(2a"/)二。

■，Yi--5

…号二力

।x=-，4取分法件

四、典型解答

为d/।,I-、-"一।

:.%E,或晌＞枸或砒匚-1，L^nJ卷eT为＜-K，T＞，

怎A＞।,dTy«_,

•：专:嬴心二浦3］，刁3，通己向打—

为A=|

依R,力。4以而»

九出K人砧，冬次

18.(本题满分14分)

如图所示，AZ＞，平面ABC,CEJ_平面ABC,AC=AD=AB=\,

BC=6,凸多面体ABCE。的体积为L

2

(I)求证：AE〃平面6OE;

(II)求证：平面瓦无，平面3CE.

命题意图：考查空间中的线面关系、空间几何体的林根图

考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力

平均分:5.56

1、说明：大部分学生能作出“取8E中点G,连结。G,G尸这样

的辅助线，说明学生对平时训练的内容印象深刻。

2、也有一些学生利用“取CE中点”，连结AH,FH，,通过证明

面面平行得出线面平行。

3、大部分学生在处理线面平行，线面垂直，面面垂直这些问题中

的格式、表达还算比较清晰

不足之处

1、很多学生没有利用已知条件的体积，求出CE,而是生硬的说

出GFHAD从而得出线线平行。

2、一些同学在用体积求CE的过程中没有指出“底面ADEC为梯

形”、“43，面4。七。'

3、学生在第二问表达线线垂直的时候说理不够清晰

教学建议：

1、加强学生立体几何解题思维的训练，“由已知想性质，由所求想判

定”

2、继续强调立几证明的表达以及在利用定理时条件不能漏写

3、强调用解决锥体体积问题时，必须指明（证明）"底面''和

“高”是什么

4、加强学生在立体几何中数据的观察与处理能力

19.（本题满分14分）

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭

经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.

每一年度申请总额不超过6000元.某大学2022届毕业生凌霄在本

科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个

月计）全部还清.

签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月

开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.凌霄同学计划前

12个月每个月还款额为500,第13个月开始，每月还款额比上一月

多x兀.

(I)若凌霄恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x

的值；

(II)当x=50时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他

当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？

(参考数据:1.0518=2.406,1.0519=2.526,1.O520=2.653,1.0521=2.786)

命题意图：考查等差数列的知识，考查方程思想、运算求解能力、应

用意识

平均分：1.61

说明：(一)学生的优势，发扬光大

1.本题从生活情景出发，考查学生的应用数学的能力。

(1)本题方法多，既考查学生对“等差数列、等比数列”的基本概

念的理解，又考查了“求和”公式的应用，很多能从分时间段求

出还款总数。

(2)聪明的学生用小学生都会的方法，每一项写出，得分很爽，出

现

500*12+(500+x)+(500+2x)+(500+3x)+…(500+24A)=24000

2.学生能根据本题的特点，分别写出数列的各项，直到“还清所有

款项”，体现了“持之以恒”对未来充满信心的态度。

如，第一年还款额是：500*12=6000

第二年还款额是：500*12+550=6550

第三年还款额是：6550+550=7100

第四年还款额是：7100+550=7650

第31年还款额是：25000>24000

(二)学生有待改进的方面：

1.不敢下笔的同学较多，出现很多“0”分卷，反思的是：

(1)不在答题区解答

(2)时间不够：前三大题是学生的主战场，因为花费时间过得而无

暇顾及；

(3)畏惧心理：看到应用题就“敬而远之”，导致与得分擦肩而过；

(4)未能抓住“主要矛盾”得分：如第19题第(I)题，所求的是

“每月的还款额”，但水平较高的同学则求出“工资额”(用分

段函数表达)虽然思路清晰，但浪费大量的时间和经历，得不

偿失，结果与得分无缘。

2、阅读能力有待提高，理解题意不清。

如第19题第(I)题，不能领悟是等差数列的求和问题，出现

“500*12+24*(500+%)=24000”的今昔误

3、计算能力方面还有很大的提升空间。

出现“幼稚”的错误，如500*12=3000

会列式，但计算错误的大有人在。

4、学生的文字语言、符号语言的表述有待加强.

整个解答过程未出现用文字去分析题意，构成等差数列、等比数列模

型的文字说明，而直接利用“等差数列的求和公式”进行解答者大有

人在。

5、基本等差、等比数列的通项公式、前n项和数学公式的应用有待

加强.

学生虽然理解是等差数列，但公式记不准，导致与得分挥手告别。

6、数学的书写规范有待加强。

7、数学的得分技巧有待提高。

⑴分步骤得分；

⑵题意理解不清的，没能用特值法分步书写；

⑶文字语言、符号语言的转化不够准确。

⑷老师要时刻灌输给学生观念：“解答题再难也要啃一口”。

20.(本题满分14分)

22

如图，抛物线G：/=8x与双曲线6：5-二=1(“>0,10)有公共焦

ab

点招，点A是曲线在第一象限的交点，且J

网=5.\/

(I)求双曲线G的方程；\/x

(H)以耳为圆心的圆M与双曲线的一条\Jr

渐近线相切，------