2023-2024学年辽宁省鞍山市铁东、高新、铁西区上册12月月考九年级数学试题（含解析）

九年级十二月份限时作业训练数学试题（考试时间120分钟试卷满分120分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A． B． C． D．3．如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．254．已知二次函数的图象经过，，则b的值为（

）A．2 B． C．4 D．5．如图，D是中边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（

）A． B．C． D．6．如图，△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），AP为△AOC中线，以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则的长为（

）A． B． C．或 D．或7．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（

）A． B．C． D．8．如图，中，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（）A． B．4 C． D．59．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），且，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知一元二次方程的两个实数根分别是a和b，则抛物线的顶点坐标为．12．如图，四边形内接于，交延长线于点，平分，连接，若，，则的长为．13．已知是方程的一个根，则代数式的值是．14．如图，矩形中，点A在函数的图象上，点B，C在x轴上，交y轴于点F，延长至点E，使，连接交y轴于点P，连接，．若的面积为4，则k的值为．15．如图，为的直径，为上一点，连接，，，，连接，点在边上（），点关于直线的对称点为，连接与边交于点，连接．当为直角三角形时，．

三、解答题（本题共8小题，共75分，写出必要文字说明、演算步骤或推理过程）16．解方程(1)；(2)．17．如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．

18．某超市以每件24元的价格购进一种商品，以每件30元的价格出售，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，日销售量就会减少5件，但物价部门规定商品售价不高于进价的2倍，设每件商品售价为x元．(1)当每件商品的售价为多少元时，每天该商品销售利润达2240元？(2)设超市每天销售这种商品的利润为w元，则每件商品的售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？19．某蔬菜生产基地在冬天气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)当时，求与的关系式；(2)解释线段的实际意义；(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是：，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？20．如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．测得在点的仰角，测得在点的仰角．求银幕的高度．（参考数据：，，，，，）21．如图，在中，，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为，求线段的长．22．【发现问题】某数学兴趣小组的同学发现，条直线把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，条直线最多把平面分割成部分，平面被直线最多分割成的部分随着直线条数的变化而变化．【提出问题】平面被直线最多分割成的部分与直线的条数之间有怎样的函数关系？【分析问题】小组同学结合实际操作和计算得到下表（一）所示的数据：表（一）条直线最多把平面分成部分然后在平面直角坐标系中，描出表（一）中各对数值所对应的点，得到图，兴趣小组的同学根据图中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．为了验证猜想，同学们根据以往学习经验，先从另一组数据入手，制定了表（二），在平面直角坐标系中，描出表（二）中各对数值所对应的点，得到图，根据图中点的分布情况，猜想其图象也是二次函数图象的一部分；如图，同学们从“形”的角度出发，再借助“补”的思想，进而得出图中图象确为二次函数图象的一部分；再将图中图象平移，就可以得到图中的图象，进而求出与的关系式．表（二）【解决问题】(1)直接写出与的关系式；(2)当平面被直线最多分割成部分时，求直线的条数；(3)点是（）中所求抛物线上的一点，且位于第一象限，点，．当中有一个角等于时，请求出点的坐标．23．【问题初探】（1）如图，在等边中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：；【类比分析】（2）如图，在等腰中，，底角度数为，，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接；求证：；【学以致用】（3）如图，在等腰中，，底角度数为，，点为延长线上的一点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，在线段上取点，使，连接交于，求线段的长．参考答案与解析1．B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，故选项A错误；B、是中心对称图形，符合题意，故选项B正确；C、不是中心对称图形，不符合题意，故选项C错误；D、不是中心对称图形，符合题意，故选项D错误；故选B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.2．A【分析】本题考查了一元二次方程的判断，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程．【详解】解：A、去括号整理可得，是一元二次方程，符合题意；B、不是整式方程，不符合题意；C、没有明确a是否为0，若a为0，则不是一元二次方程，不符合题意；D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．3．B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，DE=15，∴，即，解得，EF=9，故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．C【分析】由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.【详解】解：二次函数的图象经过，，二次函数图象的对称轴为：解得：故选C【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.5．C【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；B、当时，再由,可得出，故此选项不合题意；C、当时,无法得出，故此选项符合题意；D、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；故选：C.6．D【分析】根据勾股定理求出OC，然后根据直角三角形的性质求出OP，进而分在第一象限和第三象限进行分类求解即可．【详解】解：∵△AOC中三个顶点的坐标分别为（4，0）、（0，0）、（4，3），∴，∴由勾股定理可得，∵AP为△AOC中线，∴，当以O为位似中心，把△AOP每条边扩大到原来的2倍，得到，则可分：①当在第一象限时，如图所示：∴，∴；②当在第三象限时，如图所示：∴，∴；综上所述：或；故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及位似，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及位似是解题的关键．7．A【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键．【详解】解：设长为x步，根据题意得，．故选：A．8．A【分析】先根据勾股定理求出，再根据旋转的性质可得，，从而求出，在中，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得，∴，，，根据勾股定理得：，∴，∴，在中，由勾股定理得：，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．9．B【分析】根据圆周角定理解决问题即可．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．10．D【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，先根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，再由对称性得到点A到对称轴的距离为2，由此即可求出答案．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴点A和点B到对称轴的距离相等，∵，∴点A到对称轴的距离为2，又∵点A在对称轴左侧，∴点A的坐标为，故选D．11．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：和求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可．【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是a和b则抛物线解析式为：抛物线顶点坐标为故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．12．【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是：连接，先根据圆内接四边形的性质得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长．【详解】解：连接，如图，四边形内接于，，，，平分，，，，，，在中，．故答案为：．13．【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键．【详解】∵是方程的一个根，∴，∴，故答案为：．14．【分析】设，与交于点，由题意可得，根据四边形是矩形，可得轴,进而可得，可得出，设，则,由的面积为4，可得出，再由,可得，可得到点坐标，代入解析式即可求得出结果．【详解】解：如图，设，与交于点，,,，四边形是矩形，轴，，，即：设，则，，的面积为4，，，，点A在函数的图象上故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数系数的运用，矩形性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式等，熟练掌握并灵活运用反比例函数系数的几何意义是解题关键．15．或【分析】由题意可得不可能是，可分两种情况：①当时，作于点，由为的直径，可得，进而求出，由可得，再根据勾股定理可得，根据对称的性质可推出，从而得，根据线段的和差求，最后结合对称的性质和相似三角形的判定与性质即可求解；②当时，根据对称的性质得到，由（１）知，根据线段的和差得到，设，则，根据勾股定理即可求解．【详解】由题意可得不可能是，可分两种情况：①当时，作于点，

为的直径，，，，根据勾股定理得：，，，，点关于直线的对称点为，，，，，点关于直线的对称点为，，在和中，，，∽，，，，即，；②当时，

点关于直线的对称点为，，，由①可知，，，设，则，，，解得：；即或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了圆的性质，相似三角形，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识，运用分类讨论的思想解题．16．(1)，；(2)，．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程即可．（1）利用因式分解法解方程；（2）利用公式法解方程；【详解】（1）解：，，，∴，；（2）解：，∴方程有两个不相等的实数根，用求根公式：∴，．17．见解析【分析】先根据等边对等角得到，进而得到，再由即可证明．【详解】证明：，，

，

，

．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，熟知两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．18．(1)当每件商品的售价为38元时，每天该商品销售利润达2240元；(2)当每件商品的售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．【分析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）设每件商品的售价为x元时，每天该商品销售利润达2240元，根据题意列出一元二次方程求解即可；（2）设超市每天销售这种商品的利润为w元，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件商品的售价为x元时，每天该商品销售利润达2240元，根据题意得，解得（应舍去），，∴当每件商品的售价为38元时，每天该商品销售利润达2240元；（2）设超市每天销售这种商品的利润为w元，∴∵∴抛物线开口向下，∴当时，w有最大值2645，∴当每件商品的售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．19．(1)；(2)线段表示恒温系统设定恒温为；(3)小时．【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可；（）根据函数图象结合题意回答即可；（）把代入和中，即可求得结论．本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．【详解】（1）当时为双曲线的一部分，设与的关系式为，∴，解得：，∴与的关系式为；（2）线段表示恒温系统设定恒温为；（3）设段的解析式为，由图象可知过点，，∴，解得：，∴段的解析式为，∴当时，代入得；代入得，∴最适合生长的时间有（小时）．20．5.1m【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案．【详解】解：延长，交于、，由题意知，在中，，∴，即，在中，，∴，即，又∵，，∴，∵，∴，解得，∴．答：银幕的高度为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数的含义求解三角形的边长是解题的关键．21．(1)证明见解析；(2)．【分析】（）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；（）利用相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，如图，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）∵为的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵的半径为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过