2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似及答案

2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似

一、单选题

1.如图，点4（0,3）、B（l,0）,将线段4B平移得到线段DC,若乙4BC=90。,BC=2AB，则点D

的坐标是（）

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

2.在EJABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则SADE：SABC=()

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

3.如图所示，在菱形/BCD中,对角线AC与BD相交于点。，过点C作CE||BD交4B的延长线于点E,

下列结论不一定正确的是（)

A.OB=*CEB.AACE是直角三角形

i

C.BC=^AED.BE=CE

4.如图，在四边形ABCD中,L.B=90°,AC=6,AB||CD,AC平分/.DAB.设AB=

x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）

5.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的

高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设

计高度约是（）（结果精确到0.01m.参考数据：V2«1.414,V3«1.732,V5«

2.236）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

6.如图，在1ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设DABC的面积为Si,DEBD的面积

为S2.则片=（）

A.1B.1C.D.Z

2448

7.若△ABC-△DEF,BC=6,EF=4,则非=（）

A.B.|C.1D-1

8.将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条

直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片

ABCD,其中=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角

形的斜边长不可熊是（）

A.竽B.竽C.10D.苧

9.如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将AADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点

F处，若CD=3BF,BE=4,贝ijAD的长为（）

A.9B.12C.15D.18

10.如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A,B,D恰好都落在点0

处，且点G、0、C在同一条直线上，同时点E、0、F在另一条直线上.小炜同学得出以

下结论：

@GF||EC；@AB=^-AD；③GE=®F;®OC=2^2OF;©△COFCEG.

其中正确的是（）

A.①②③B,①③④C.①④⑤D.②③④

11.DABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则

□DEF的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

12.如图，D,E,F分别是匚ABC三边上的点，其中BC=8,BC边上的高为6,且DE匚BC,则

□DEF面积的最大值为（）

A.6B.8C.10D.12

13.如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于

点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是（）

①EC匚AG；（2）QOBPDDCAP;③OB平分C2CBG；（4）DAOD=45°；

A.①③B.①②③C.②③D.①②④

14.如图，在DABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEC1BC,爱=|，DE=6cm,则BC

的长为（)

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

15.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都

在横线上：若线段AB=3,则线段BC的长是()

A.|B.1C.|D.2

二、填空题

16.古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光

测金字塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字

塔的高度BO是米.

17.在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P是直线BC上的一个

动点.若aAPE是直角三角形，则BP的长为.

18.如图，△48。中，点后、F分别在边AB、AC1.,41=42.若8。=4,AF=2,CF=3,贝U

EF=.

19.如图1,在△ABC中，Z.B=36°,动点P从点A出发，沿折线A->B-»C匀速运动至点C停止.若点

P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.

当AP恰好平分NB4C时t的值为.

20.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图(如实物图)比较美观，通

过手绘(如图)、测量、计算发现点E是4D的黄金分割点，即DE70.618AD.延长H尸与AD相交于点

G,贝UEG之DE.(精确到0.001)

三、综合题

21.如图1,抛物线y=a/+2x+c经过点力(一1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)

在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP的面积；

(3)点Q在抛物线上，当黑的值最大且△力PQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；

22.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究丫=2*2(a>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，

该类型图象上任意一点M到定点F(0,X)的距离MF,始终等于它到定直线1：丫=-4上的距离

MN(该结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-人叫做抛

物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF=例如，抛物线y=32,其焦点坐标为F

(0,1),准线方程为1：y=-4.其中MF=MN,FH=2OH=1.

（1）【基础训练】

请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线1的方程：,.

（2）【技能训练】

如图2所示，已知抛物线丫=32上一点p到准线1的距离为6,求点P的坐标；

（3）【能力提升】

如图3所示，已知过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线1于点A、B、C.

若BC=2BF,AF=4,求a的值；

（4）【拓展升华】

古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比''问题：点C将一条线

段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满

足：空=歙=匹=.后人把与工这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.

/\D/IC/乙

如图4所示，抛物线y=32的焦点F（0,1）,准线1与y轴交于点H（0,-1）,E为线段HF的

黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当然=鱼时，请直接写出口HME的面积值.

Mr

23.如图，△ABC^\^DBE的顶点B重合，z.ABC=乙DBE=90°,ABAC=乙BDE=30°,BC=3,

BE=2.

（1）特例发现：如图1,当点。，E分别在AB,BC上时，可以得出结论：然=,直线

与直线CE的位置关系是；

（2）探究证明：如图2,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段47上，连接

EC,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展运用：如图3,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转戊（19。＜戊＜60。），连接A。、EC,

它们的延长线交于点F,当。F=BE时，求tan（60。-a）的值.

24.回顾：用数学的思维思考

（1）如图1,在DABC中，AB=AC.

①BD,CE是E1ABC的角平分线.求证：BD=CE.

②点D,E分别是边AC,AB的中点，连接BD,CE.求证：BD=CE.

（从①②两题中选择一题加以证明）

（2）猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在匚ABC中，AB=AC,D为边AC上一动点（不与点A,C重

合）.对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=

CE.进而提出问题：若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下

面的问题：

如图2,在DABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不

再添加新的字母），使得BD=CE,并证明.

（3）探究：用数学的语言表达

如图3,在IABC中，AB=AC=2,DA=36°,E为边AB上任意一点（不与点A,B重合），F

为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.

25.如图，某水渠的横断面是以力8为直径的半圆O,其中水面截线MN||AB.嘉琪在X处测得垂

直站立于8处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7〃7.

（1）求口。的大小及28的长；

（2）请在图中画出线段用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米

（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan76。取4,VI7取4.1）

答案解析部分

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】D

14.【答案】C

15.【答案】C

16.【答案】134

17.【答案】挈或学或6

18.【答案】|

19.【答案】2V5+2

20.【答案】0.618

21.【答案】(1)解：•.•抛物线丫=。/+2%+＜：经过点4(一1,0)、C(0,3).

...{a,2=0解得

.•.该抛物线的函数表达式为y=-/+2%+3

(2)解：如图，连接。P,

令y=—x2+2%+3=0,

=—1,%2=3・

AB(3,0)

VC(0,3),P(l,4),

••OC=3,OB=3,Xp=1,yP=4.

・13i

••S〉POC=]OC,%P=2，S^BOP—/B-yp=6.

・15

四边形BOCP=SAPOC+S^BOP=

(3)解：如图，作PF||二轴,交直线BC于点F,

则八ABD.

・PD_PF

..而=殖

•・NB=4是定值,

...当PF最大时，华=黑最大.

设YBC=依+b,

VC(0,3),B(3,0).

x+3

■,■yBc=--

设P(zn,—m2+2m+3),则F(m2—2m,—m2+2m4-3).

9

+-

PF=m—(m2—2m)=—m24-3m=—(m—^)24

.•.当m=|时，PF取得最大值常此时P(|,苧).

设点Q(3-t2+2t+3),若AAPQ是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合,

.•.t号，t#_l,下面分三类情况讨论：

①若乙4PQ=90。，如图，

过点P作PP21%轴于点P2，作QP11P2P交P2P的延长线于点P1，则^PPiQAP2P.

.曲—也

,,的一码.

3_x15

.2T一丁

,,_a+2计3得一乔T

・・「壬3

,tf

13

~J=9.

t-2

・♦t-工.

②若乙PAQ=90°,如图，过点P作直线P&1x轴于点过点Q作Q421%轴于点色，△APAr〜

△Qi4i42.

.PA1_AA2

,•晒=西.

.竽_t+1

"j+1-t2-2t-3,

,・工。一1,

.3_1

**2=t^3-

.・.「”一丁11

③若人1QP=9O。，如图，过点Q作QQi_Lx轴于点Qi，作P<22JLQ1Q交Q1Q的延长线于点Q2,则4

PQQ2FQAQI.

.PQ2_QQi

•♦丽一裕.

*37

•_____1_2________t+2t+3

,,^-(-t2+2t+3)-t+1

・"丐，tH-1,

,,2^1=3-t

•**「1=1，^2=2,

综上所述，当龄的值最大且△”<?是直角三角形时，点Q的横坐标为《学，|,1.

22.【答案】(1)(0,1)；y=-1,

(2)解：由题意得抛物线y=/x2的准线方程为丁=一七=一2,

•••点P到准线1的距离为6,

二点P的纵坐标为4,

.••当y=4时，彳/=%

解得x=±4近，

.,.点P的坐标为(4A/2，4)或(一4A②4)

(3)解：如图所示，过点B作BDEIy轴于D,过点A作AEty轴于E,

由题意得点F的坐标为F(0,直线1的解析式为：y=-右,

1

：.BD||AE||CH,FH

/.□FDBanFHC,

.BD_FD_FB

^HC~~FH~7C9

VBC=2BF,

・・・CF=3BF,

.BD_FD_FB_1

"HC=FH=FC=3f

••FD=

：.OD=OF-DF=4,

12a

・••点B的纵坐标为之，

IZa

•1_2

^12a=ax'

解得久=今（负值舍去）,

6a

:・BD=善,

6a

*：AE||BD,

.,.□AEFQDBDF,

•AEBDB

•,丽=丽=’3,

^AE=遮EF，

'：AE2+EF2=AF2,

：.4EF2=AF2=16,

AEF=2,

^AE=2百，

・••点A的坐标为（―2B，2+2），

1

，2+卷=12a,

.'.48a2-8a-1=0,

・・・（12a+1）（4"1）=0,

解得a=/（负值舍去）

（4）解：SAHME=2V5-2或SAHME=3-遮

23.【答案】（1）百；垂直

（2）解：结论成立.

理由：\'Z.ABC=^DBE=90°,

：.^ABD="BE,

'-"AB=V5BC，BD=遮BE，

.AC_DB

•,阮=丽'

△ABDCBE,

:黑=需=®（ADB=幺BEC,

9：Z.ADB+Z.CDB=180°,

."COB+4BEC=180。，

:.乙DBE+乙DCE=180°,

■:乙DBE=90°,

:.乙DCE=90°,

：.AD1EC

（3）解：如图3中，过点B作B/_LAC于点/,设BD交AK于点、K,过点K作KT14c于点K.

\'Z.A]B=90°,Z.BAC=30°,

：.^ABJ=60°,

:.（KBJ=60°-a.

V.4B=3百，

**,B]=^AB=AJ=V3BJ=

当。F=BE时，四边形BEFD是矩形,

••/-ADB=90°,AD=^AB2-BD2=2-(2遍)2=715,

设KT=m,贝=yf3m,AK=2m,

■:乙KTB=LADB=90°,

.,KTAD

..tana=萨=成’

.m_713

*面=痕'

•275

••DBTT=-g—

V3m+=3v

45-6/15

・m=­n-，

“)90-12715

•AK=2m=--五---»

s人。990—12同24症一81

•KJ=A]-AK=N-----n22-'

,…。、用8^-9/3

•tan(60°-a)=苗=———

24•【答案】（1）解：①如图1,・・・AB=AC,

.".□ABC=DACB,

VBD,CE是DABC的角平分线，

.,.□ABD=|DABC,DACE^nACB,

/.□ABD=DACE,

VAB=AC,A=DA,

.-.□ABDODACE,

.・・BD=CE.

②如图1,・・・AB=AC,点D,E分别是边AC,AB的中点,

・・・AE=AD,

VAB=AC,匚人=口人，

.,.□