15.3分式方程（重难点突破）原卷版

15.3分式方程（重难点）【知识点一、分式方程及解分式方程】1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．【知识点二、分式方程的应用】1.分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程2.列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．考点1：去分母例1．下列等式分别是四位同学解方程xx-1+2xA．x-2x=1 B．x-2x=-1 C．x+2x=x-1 D．x-2x=x-1【变式训练1-1】解分式方程x3-x-4=6A．x-4=6 B．x-43-x=-6 C．x-2x-3【变式训练1-2】将关于x的分式方程3x-2A．32-x-2x-2C．-3-2x-2=5 D【变式训练1-3】将方程1x-1+3=3x1-x去分母，两边同乘A．1+3=3x1-x B．1+3x-1=-3x C．x-1+3=-3x【变式训练1-4】解分式方程1x-2-2=1+xA．1-2x-2=1+x BC．1-2x-2=-1-x D考点2：解分式方程例2．分式方程1x+1A．x=1 B．x=3 C．x=-4 D．x=-3【变式训练2-1】分式方程2x-3=3A．x=6 B．x=9 C．x=-6 D．x=-9【变式训练2-2】．方程12+x=2A．x=-2 B．x=5 C．x=13 D【变式训练2-3】方程12x-1=3A．x=45 B．x=-45 C．【变式训练2-4】．分式方程1x-3=2A．x=7 B．x=4 C．x=-7 D．x=-4考点3：无解例3．若关于x的分式方程xx+2+1=n-1x+2无解，则A．-1 B．0 C．1 D．3【变式训练3-1】．若关于x的方程2m+xx-3﹣1＝2x无解，则m的值为（A．-32 B．-12或-23 C．【变式训练3-2】．若关于x的方程x-1x-3=mA．﹣3 B．﹣1 C．2 D．﹣2【变式训练3-3】．已知关于x的分式方程2x+1+51-x=mx2A．－4 B．－10 C．－4或－10 D．±1【变式训练3-4】．若关于x的方程mx-4-1-x4-x=0A．-2 B．2 C．-2 D．3考点4：增根例4．若关于x的方程xx+5=2x-mx+5产生增根，则【变式训练4-1】．若分式方程mx2-4-x【变式训练4-2】．关于x的分式方程3x+mx-1+1=5x-1有增根，则【变式训练4-3】．若关于x的方程ax+1x-1-1=0有增根，则a的值为【变式训练4-4】．关于x的方程mx-2+12-x=3考点5：分式与不等式综合含参运算例5．从-4、-1、-12、0、12、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程axx-2-3x-2【变式训练5-1】．若关于x的方程a-xx-3+3=83-x有正整数解，且关于x的不等式组2x+2≤9+3x8x+17<a【变式训练5-2】．若关于x的一元一次不等式组x+12≤32x-3>a有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程a2y-1+【变式训练5-3】．若整数a使关于x的不等式组x-33+1>x-222x≥122x+a至少有两个整数解，且使关于【变式训练5-4】．若整数a使关于x的不等式组3x-a≤0x+23-x2>1的解集为x<考点6：计算题例6．解方程：(1)x-5x-4(2)xx-3【变式训练6-1】．解下列方程(1)2x(2)7【变式训练6-2】．解下列方程：(1)4(2)2x【变式训练6-3】．解分式方程(1)2(2)1【变式训练6-4】．解分式方程(1)12x(2)1考点7：应用题例7．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票．下面是两个小伙伴的对话：根据对话的内容，请求演出票价为多少元．如果今天看演出，我们每人一张票，则会差两张票的钱．过几天就是“十一国庆节”了，那时候来看演出，票价会打六折，则正好能为每人买一张票．【变式训练7-1】．成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元．(1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？(2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价a元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值．【变式训练7-2】．为顺利通过“河北省文明城市”验收，我县政府拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在一个月内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．【变式训练7-3】．为了加快旧城改造项目进度，政府公开招标.现有甲、乙两家工程公司中标，已知甲公司工程队每队比乙公司工程队每队每个月多改造2个小区，且甲公司每队改造20个小区的时间与乙公司工程每队改造12个小区的时间相同．(1)甲、乙两家工程公司每队每月分别可以改造多少个旧小区？(2)如果政府计划安排甲、乙两家公司共10支工程队同时开始施工，一个月内至少完成40个旧小区的改造项目，且工程总费用不超过185万元，已知甲公司工程队每月费用报价20万元，乙公司工程队每月费用报价15万元，那么甲、乙两家公司的工程队应各安排多少支？【变式训练7-4】．某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物，预计B种经济作物亩产值是A种经济作物亩产值的(1)为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种