专题9 分类讨论思想解决等腰三角形中的两解及多解问题（解析版）

专题9分类讨论思想解决等腰三角形中的两解及多解问题（解析版）类型一等腰三角形的要和底不明确时需讨论1．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【思路引领】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．类型二等腰三角形顶角与底角不明确时需讨论2．（2023秋•宝应县月考）已知等腰三角形中，一个角为70°，则该等腰三角形的底角度数是70°或55°．【思路引领】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于70°，①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是70°，②设该等腰三角形的底角是x，则2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即该等腰三角形的底角的度数是55°；故答案为70°或55°【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．类型三等腰三角形形状不确定时需讨论（一）有高无图时3．（2023•琼中县一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（）A．15° B．30° C．15°或75° D．30°或150°【思路引领】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝30°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．【解答】解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，当BD在△ABC内部时，如图1，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣46°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣30°）＝当BD在△ABC外部时，如图2，∵BD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB=12∠BAD＝综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．故选：C．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．有垂直平分线时4．（2023春•新泰市期末）已知线段AB垂直平分线上有两点C、D，若∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（）A．80° B．90° C．60°或100° D．40°或90°【思路引领】如图，DE垂直平分AB，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠DAB＝∠DBA＝50°，当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝40°，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算∠ACB＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝60°，根据等边三角形的性质易得∠AC′B＝60°．【解答】解：如图，DE垂直平分AB，垂足为E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180当C点在线段DE上，∠CAD＝10°时，则∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；当C′点在ED的延长线上，∠C′AD＝10°时，则∠C′AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC′B＝60°，综上所述，∠ACB的度数为60°或100°．故选：C．【总结提升】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．5．（2022秋•沭阳县期中）已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为．【思路引领】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：①如图1，三角形是锐角三角形时，∠A＝90°﹣40°＝50°，底角为：12×（180°﹣50°）＝②如图2，三角形是钝角三角形时，∠BAC＝90°+40°＝130°，底角为：12×（180°﹣130°）＝综上所述，底角为65°或25°．故答案为：65°或25°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．类型四图形分割问题中的分类讨论中线分割周长6．（2023•兴化市校级一模）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为15cm．【思路引领】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解．【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即12x+x﹣（12x+10）＝解得：x＝15，15，15，10能够组成三角形；当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即10+12x﹣（12x+x解得：x＝5，5，5，10不能组成三角形．故这个三角形的腰长为15cm．故答案为：15．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．7．（2022秋•和平区校级期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．【思路引领】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．【解答】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，∴x+x2=27解得x=18y=9或x=12经检验，都符合三角形的三边关系．因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．故答案为：18cm或12cm．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．过三角形一顶点的直线将等腰三角形分割成两个小等腰三角形8．（2022•天宁区校级二模）已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，我们把这样的等腰三角形叫做和谐三角形．请构造出所有符合条件的和谐三角形并标出相关角的度数．【思路引领】先根据题意做出等腰三角形，再根据直线过点A，B分四种情况，根据三角形内角和定理，三角形外角的性质等，分别求出内角的度数即可．【解答】解：一共有4种情况：①△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线AD是过顶点A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AD＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C．∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°；②△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线AD是过顶点A．∵△ABD，△ACD是等腰三角形，∴AB＝BD，AD＝CD，∴∠B＝∠C，∠DAC＝∠C，∠BAD＝∠BDA，∴∠BDA＝2∠C．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2∠B+3∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠C＝36°，∠BAC＝108°；③如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线BD是过顶点B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BD＝BC，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C．∵∠BDC＝2∠A，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°；④如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，直线BD是过顶点B．∵△ABD，△BCD是等腰三角形，∴AD＝BD，BC＝CD，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠A，∠DBC＝∠CDB．∴∠BDC＝2∠A，∴∠DBC＝2∠A，∠ABC＝∠C＝3∠A．∴7∠A＝180°，解得∠A=180°则∠ABC=∠C=540°【总结提升】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，正确记忆三角形内角和定理，三角形外角的性质等，注意多种情况讨论，不能丢解是解题关键．9．已知△ABC中，∠A＝80°，过△ABC的顶点B的直线将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠C的度数．（请画图分析）【思路引领】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AB＝BD＝CD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠A＝80°，∠DBC＝∠C，∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如图2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝80°，∴∠ADB＝∠ABD=12（180°﹣∠A）＝50°，∠DBC＝∠∵∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C=12∠ADB＝如图3，AD＝BD，BD＝CD，∴∠A＝∠ABD＝80°，∠DBC＝∠C＝10°．综上所述，∠C的度数为40°或25°或10°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2016•章贡区模拟）有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是25°或40°或10°．【思路引领】分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣80°＝100°，∠C=12（180°﹣100°）＝②AB＝AD，此时∠ADB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣50°＝130°，∠C=12（180°﹣130°）＝③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣20°＝160°，∠C=12（180°﹣160°）＝综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．故答案为：25°或40°或10°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．11．（2021秋•东湖区校级期末）如图，有一个三角形纸片ABC，∠C＝30°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是37.5°或15°或60°．【思路引领】分BC＝CD或BC＝BD或CD＝BD三种情况，求出∠ADB，再分AB＝AD或AB＝BD或AD＝BD三种情况根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠A即可得解．【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，①BC＝CD，此时∠CDB＝∠DBC＝（180°﹣∠C）÷2＝75°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣75°＝105°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝37.5°；②BC＝BD，此时∠CDB＝∠C＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣30°＝150°，AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝15°；③CD＝BD，此时∠CDB＝180°﹣2∠C＝120°，∴∠BDA＝180°﹣∠CDB＝180°﹣120°＝60°，AB＝AD时，∠A＝180°﹣2∠ADB＝60°；或AB＝BD，∠A＝60°；或AD＝BD，∠A＝（180°﹣∠ADB）÷2＝60°．综上所述，∠A的度数可以是37.5°或15°或60°．故答案为：37.5°或15°或60°．【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．类型五因动点引起的分类讨论12．（2020秋•嵊州市期中）如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，点A是直线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°．【思路引领】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解．【解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB1＝AB1时，∠OAB＝∠1＝50°；②当OA＝AB2时，∠OAB＝180°﹣2×50°＝80°；③当OA＝OB3时，∠OAB＝∠OBA=12（18