第1章一元二次方程（易错必刷30题12种题型专项训练）（解析版）

第1章一元二次方程（易错必刷30题12种题型专项训练）一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2022秋•涟水县校级月考）下列关于x的方程中，肯定是一元二次方程的是（）A．mx2+2x+1＝0 B．（m+1）x2+2x+1＝0 C．（m2+1）x2+2x+1＝0 D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．mx2+2x+1＝0，若m＝0，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；B．（m+1）x2+2x+1＝0，若m＝﹣1，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．因为m2+1＞0，所以（m2+1）x2+2x+1＝0肯定是一元二次方程，故本选项符合题意；D．（m2﹣1）x2+2x+1＝0，若m＝±1，方程是一元一次方程，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2022秋•东台市月考）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是a≠1．【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，故答案为：a≠1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．3．（2022秋•灌南县校级月考）关于x的方程是一元二次方程，则k的值是﹣2．【分析】是一元二次方程，那么x的指数为2，系数不为0，列式求值即可．【解答】解：由题意得：k2﹣2＝2；k﹣2≠0；解得k＝±2；k≠2；∴k＝﹣2．【点评】用到的知识点为：一元二次方程未知数的最高次数是2，并且二次项系数不为0．二．一元二次方程的一般形式（共2小题）4．（2022秋•沭阳县校级月考）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是2．【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可．【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项分别为：1、4、﹣3，故其和为：1+4﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．5．（2022秋•句容市月考）一元二次方程（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1化成一般式后a，b，c的值为（）A．3，﹣10，﹣4 B．3，﹣12，﹣2 C．8，﹣10，﹣2 D．8，﹣12，4【分析】通过去括号、移项、合并同类项将方程化为一般形式即可得．【解答】解：（4x+1）（2x﹣3）＝5x2+1，去括号得：8x2﹣10x﹣3＝5x2+1，移项合并同类项得：3x2﹣10x﹣4＝0，a＝3，b＝﹣10，c＝﹣4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键．三．一元二次方程的解（共3小题）6．（2022秋•连云区校级月考）下列关于x的方程中，有一个实数根为x＝﹣2的方程是（）A．x2﹣x+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．（x﹣1）（x+2）＝0 D．（x﹣1）2+1＝0【分析】把x＝﹣2分别代入每一个方程的左右两边，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、把x＝﹣2代入方程x2﹣x+1＝0中，左边＝（﹣2）2﹣（﹣2）+1＝4+2+1＝7，右边＝0，∵左边≠右边，∴x＝﹣2不是方程x2﹣x+1＝0的根，故A不符合题意；B、把x＝﹣2代入方程x2+x+1＝0中，左边＝（﹣2）2+（﹣2）+1＝4﹣2+1＝3，右边＝0，∵左边≠右边，∴x＝﹣2不是方程x2+x+1＝0的根，故B不符合题意；C、把x＝﹣2代入方程（x﹣1）（x+2）＝0中，左边＝（﹣2﹣1）×（﹣2+2）＝（﹣3）×0，右边＝0，∵左边＝右边，∴x＝﹣2是方程（x﹣1）（x+2）＝0的根，故C符合题意；D、把x＝﹣2代入方程（x﹣1）2+1＝0中，左边＝（﹣2﹣1）2+1＝9+1＝10，右边＝0，∵左边≠右边，∴x＝﹣2不是方程（x﹣1）2+1＝0的根，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．7．（2021•凉山州模拟）已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1【分析】利用方程解的定义得等式x2+2x＝2，利用分式的计算法则化简后整理出x2+2x的形式，再整体代入x2+2x＝2，即可求解．【解答】解：x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2．解得x＝±﹣1∴（﹣x﹣2）÷＝×＝×＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）当x＝﹣1时，原式＝﹣（2±﹣1）故选：C．【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．8．（2022秋•江都区月考）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0有一个根是1，则m的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．±2【分析】把x＝1代入方程中进行计算可得m＝±2，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝1代入（m﹣2）x2﹣2x+m2﹣m＝0中可得，（m﹣2）﹣2+m2﹣m＝0，解得：m＝±2，∵m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的二次项系数不为0是解题的关键．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）9．（2022秋•秦淮区校级月考）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是m＜0．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．五．解一元二次方程-配方法（共4小题）10．（2022秋•邗江区月考）用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（）A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣6x﹣2＝0，x2﹣6x＝2，x2﹣6x+9＝2+9，（x﹣3）2＝11，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．11．（2022秋•玄武区校级月考）把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是3．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，∴m＝﹣1，n＝4，∴m+n＝﹣1+4＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．12．（2022秋•镇江月考）用适当方法解下列方程：（1）4x2﹣1＝0；（2）4y2﹣4y+1＝0；（3）x2﹣6x﹣3＝0；（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）4x2﹣1＝0，4x2＝1，x2＝，；（2）4y2﹣4y+1＝0，（2y﹣1）2＝0，2y＝1，y1＝y2＝；（3）x2﹣6x﹣3＝0，x2﹣6x＝3，x2﹣6x+9＝3+9，（x﹣3）2＝12，x﹣3＝，x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，；（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0，（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，（2﹣x）（3x﹣8）＝0，2﹣x＝0或3x﹣8＝0，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13．（2022秋•云龙区校级月考）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝18．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，（x+1）2＝5，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；（2）（x﹣1）（x+2）＝18，x2+x﹣2＝18，x2+x﹣20＝0，（x+5）（x﹣4）＝0，x+5＝0或x﹣4＝0，x1＝﹣5，x2＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．六．解一元二次方程-因式分解法（共6小题）14．（2022秋•鼓楼区校级月考）解下列方程：（1）25（x+3）2﹣16＝0；（2）x2﹣2x﹣15＝0；（3）﹣3x2+2x＝﹣8；（4）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x）．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次因式分解法，进行计算即可解答；（3）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次因式分解法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）25（x+3）2﹣16＝0，25（x+3）2＝16，（x+3）2＝，x+3＝±，x+3＝或x+3＝﹣，x1＝﹣，x2＝﹣；（2）x2﹣2x﹣15＝0，（x﹣5）（x+3）＝0，x﹣5＝0或x+3＝0，x1＝5，x2＝﹣3；（3）﹣3x2+2x＝﹣8，3x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣2）（3x+4）＝0，x﹣2＝0或3x+4＝0，x1＝2，x2＝﹣；（4）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x），（x﹣2）2﹣（2x﹣1）（2﹣x）＝0，（x﹣2）（x﹣2+2x﹣1）＝0，（x﹣2）（3x﹣3）＝0，x﹣2＝0或3x﹣3＝0，x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．15．（2022秋•连云区校级月考）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0；（3）2x2﹣7x﹣2＝0；（4）（2x+1）（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x﹣3）2﹣4x（3﹣x）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，（x﹣3）（5x﹣3）＝0，x﹣3＝0或5x﹣3＝0，x1＝3，x2＝；（3）2x2﹣7x﹣2＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣2）＝49+16＝65＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（4）（2x+1）（x﹣3）＝0，2x+1＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（2022秋•工业园区校级月考）解方程：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；（2）2x2﹣4x+1＝0；（3）4（x+3）2＝25（x﹣2）2；（4）（x+2）2﹣3（x+2）﹣4＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x﹣2）＝0，x﹣1＝0或3x﹣2＝0，x1＝1，x2＝；（2）2x2﹣4x+1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝16﹣8＝8＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝；（3）4（x+3）2＝25（x﹣2）2，4（x+3）2﹣25（x﹣2）2＝0，[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]＝0，（2x+6+5x﹣10）（2x+6﹣5x+10）＝0，（7x﹣4）（16﹣3x）＝0，x1＝，x2＝；（4）（x+2）2﹣3（x+2）﹣4＝0，（x+2﹣4）（x+2+1）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，x﹣2＝0或x+3＝0，x1＝2，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．17．（2022秋•灌云县月考）解方程：（1）（2x﹣1）2﹣3＝0；（2）2x2+4x﹣5＝0（配方法）；（3）2（x2﹣2）＝7x（公式法）；（4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（3）解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（4）解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（2x﹣1）2﹣3＝0，（2x﹣1）2＝3，2x﹣1＝±，2x﹣1＝或2x﹣1＝﹣，x1＝，；（2）2x2+4x﹣5＝0，x2+2x﹣＝0，x2+2x＝，x2+2x+1＝，（x+1）2＝，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，，；（3）2（x2﹣2）＝7x，整理得：2x2﹣7x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣4）＝49+32＝81＞0，∴x＝＝，∴x1＝4，x2＝﹣；（4）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，（x﹣3）（5x﹣3）＝0，x﹣3＝0或5x﹣3＝0，x1＝3，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（2021秋•金坛区校级月考）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为15．【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．【解答】解：x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．19．（2021秋•镇江期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是13．【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．七．换元法解一元二次方程（共1小题）20．（2022春•江都区校级月考）若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为4【分析】把a2+b2看作整体t，解关于t的一元二次方程即可，注意t为非负数．【解答】解：设t＝a2+b2，则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，解得t1＝4，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴t＝4，∴a2+b2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．解决本题易忽视a2+b2≥0的暗含条件，得两个答案．八．根的判别式（共1小题）21．（2021春•崇川区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．九．根与系数的关系（共3小题）22．（2022秋•太仓市校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，且x12+x22＝1，则m＝0．【分析】根据x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1⋅x2＝1，结合一元二次方程根与系数的关系求解，最后根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【解答】解：∵x1，x2是x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2m+1，x1⋅x2＝m2，∵x12+x22＝1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1⋅x2＝1，即（﹣2m+1）2﹣2m2＝1，解得：m1＝0，m2＝2．当m＝0时，Δ＝b2﹣4ac＝1＞0，原方程有两个实数根；当m＝2时，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，原方程无实数根，不符合题意，舍去．故答案为：0．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式式解题关键．23．（2022秋•海安市月考）若t为实数，x2﹣4x+t﹣2＝0的两个非负实数根为a，b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值﹣15【分析】先根据根与系数的关系可得a+b＝4，ab＝t﹣2，将所求代数式化简代入可得结论．【解答】解：∵x2﹣4x+t﹣2＝0的两个非负实数根为a，b，∴a+b＝4，ab＝t﹣2，Δ＝16﹣4（t﹣2）≥0．则，解得：2≤t≤6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2（t﹣2）＝﹣2t+20，∴（a2﹣1）（b2﹣1）＝a2b2﹣（a2+b2）+1＝（t﹣2）2+2t﹣20+1＝t2﹣2t﹣15＝（t﹣1）2﹣16，∵2≤t≤6，∴当t＝2时，代数式（a2﹣1）（b2﹣1）有最小值，∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是1﹣16＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于中档题，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．24．（2021秋•海陵区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+k+3＝0（k为常数）．（1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求k的值；（2）是否存在满足条件的常数k，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得Δ＝0，求出k；（2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k．【解答】解：（1）∵方程的两根为菱形相邻两边长，∴此方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+k+3）＝0，4（k2+2k+1）﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k2+8k+4﹣4k2﹣4k﹣12＝0，4k﹣8＝0，k＝2，（2）不存在，理由如下：∵该方程的两解是菱形的两对角线长，∴a+b＝2（k+1），ab＝k2+k+3，设菱形的两对角线长a，b．∵菱形的两对角线互相垂直平分，∴由勾股定理得，+＝4，+＝4，b2+a2＝16，∴b2+2ab+a2﹣2ab＝16，（a+b）2﹣2ab＝16，[2（k+1）]2﹣2（k2+k+3）＝16，解得k＝，∵Δ＝4k﹣8，∴4k﹣8≥0．∴k≥2，∵k＝＜2，∴不存在满足条件的常数k．【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意4k﹣8≥0这个知识点．一十．一元二次方程的应用（共3小题）25．（2020秋•工业园区月考）如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？【分析】根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC＝xm，则AB＝（60﹣x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：（60﹣x+2）x＝300，x2﹣62x+600＝0，解这个方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合题意，舍去），∴x＝12．（60﹣x+2）x＝480，x2﹣62x+960＝0，解这个方程得：x1＝32，x2＝30，∵墙EF最长可利用28米，而28＜30＜32，∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去，答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．26．（2022秋•灌南县校级月考）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（1）每件商品降价x元时，日销售量为（20+2x）件；（2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；（3）丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【分析】（1）每件商品降价x元，日销售量为20+×10＝（20+2x）件，（2）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为100元时的原利润，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（3）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过60元，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）已知每件商品降价x元，则日销售量为20+×10＝（20+2x）件，故答案为：（20+2x）；（2）根据题意可知，（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200，解得x＝10或x＝20，此时，销售的商品为40件或60件，∵为尽快销售完该商品，∴取x＝20，∴当x＝20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；（3）该商品需要打a折销售，由题意，得，100×≤100﹣20，解得：a≤8，答：该商品至少需打8折销售．【点评】本题考查了一元二次方程的应用和由实际问题抽象出一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．27．（2022秋•铜山区校级月考）可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．一十一．配方法的应用（共2小题）28．（2021秋•宜兴市月考）当x取何值时，代数式2x2﹣6x+7的值最小？并求出这个最小值．【分析】先提取2，对括号的多项式进行配方，根据偶次方具有非负性，求出x的值和代数式的最小值．【解答】解：2x2﹣6x+7＝2（x2﹣3x+）＝2（x2﹣3x+﹣+）＝2+，∵此代数式的值最小，∴x﹣＝0时，最小值是，∴x＝，最小值是．【点评】本题主要考查了配