第06讲公倍数与最小公倍数（4种题型）（解析版）

第06讲公倍数与最小公倍数（4种题型）【知识梳理】1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法 求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3.两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a和数b，两数的最大公因数为m，最小公倍数为n，则：4.三个数的最大公公因数与最小公倍数1、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数，如果其中的两个商还有素因数，也不要往下除；2、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全，最后除到两两互素为止。【考点剖析】题型一：公倍数与最小公倍数例1.求下列各组数的最小公倍数．8和15； （2）9和45； （3）19和21．【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【变式1】求下列各组数的最小公倍数（1）36和60（2）39和78（3）15和4【答案】（1）180；（2）78；（3）60【分析】根据最小公倍数的定义即可求解．【详解】解：（1）36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，36和60最小公倍数：2×2×3×3×5=180（2）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数，所以39和78最小公倍数78．（3）如果两数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数，15和4最小公倍数60．【点睛】此题主要考查找最小公倍数，解题的关键是熟知最小公倍数的定义．【变式2】若，，则m、n的最小公倍数为___________．【答案】1260【解析】m、n的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．例2.用短除法求10，12和15的最小公倍数．【答案】60【解析】2101215356155525121∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60．【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【变式】（2021·上海市复旦初级中学期中）用短除法求54与144的最小公倍数．【答案】最小公倍数为432【分析】用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数即可．【详解】解：短除法如下：54和144的最小公倍数为．【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公约数、最小公倍数，掌握“最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数是几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数”，运用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数是解答本题的关键．题型二：最大公因数与最小公倍数例3.用短除法求24和36的最大公因数和最小公倍数.【答案】12;72;【解析】解：如下图所示，24和36的最大公因数为2×2×3=12，24和36的最小公倍数为2×2×3×2×3=72.【变式】用短除法求104和130的最大公因数和最小公倍数.【答案】26；520；【解析】解：短除法如下图所示；因为104=2×2×2×13，130=2×5×13，所以104和130的最大公因数是2×13=26；104和130的最小公倍数是2×13×2×2×5=520.题型三：最大公因数与最小公倍数的应用例4.已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？【答案】105【解析】设三个数为．则：解得：，这三个数是：3，5，7．∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105．【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．【变式1】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则．所以．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【变式2】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【变式3】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【变式4】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10与12的最小公倍数是60，1500÷60+1=26棵．答：有26棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．例5.某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：该车间至少安排5个人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．【变式1】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？请用你所发现的规律接下面的问题：（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．（1）15；（2）15．【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30解得：x=15答：乙数是15．（2）设另一个数是x，则：18x=3×90解得：x=15答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【变式2】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【变式3】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数∴a=5，b=7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．题型四：三个数的最大公因数与最小公倍数例6．求20、30和36的最大公因数和最小公倍数；参考答案：解法1：列举法

20的因数有：1、2、4、5、10、20

30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30

36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36

所以最大公因数是2

20的倍数有：20、40、60、80……

30的倍数有：30、60、90、……

36的倍数有：36、72、……

所以最小公倍数是180

；解法2：分解素因数法

20＝2×2×5

30＝2×3×5

36＝2×2×3×3

所以最大公因数是2

，最小公倍数是180

；解法3：短除法

所以最大公因数是2

所以最小公倍数是2×2×5×3×1×1×3＝180

；归纳总结：1、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数，如果其中的两个商还有素因数，也不要往下除；2、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全，最后除到两两互素为止。【变式1】求下列各组数的最大公因数与最小公倍数；（1）10、36和90；（2）24、15和36。参考答案：（1）最大公因数：2，最小公倍数180；（2）最大公因数：3，最小公倍数360；【变式2】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？【答案】4，6，8【解析】设这三个数是；2若n为奇数，则是偶数，2 则：解得：，这三个数是4，6，8．若n为偶数，则是相邻奇数，则：此方程无解；∴这三个数是4，6，8．【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．【过关检测】一．选择题（共1小题）1．（2022秋•宝山区校级月考）一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不等于零【分析】一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，再求差即可得出答案，做出选择．【解答】解：根据最大因数的定义，可得这个正整数的最大因数是它本身；根据最小倍数的定义，可得这个正整数的最小倍数都是它本身，所以一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数，所得的差一定为0，故选：B．【点评】考查正整数的因数和倍数的意义，掌握一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，是解决问题的关键．二．填空题（共12小题）2．（2022秋•闵行区校级期中）已知A＝2×3×a×7，B＝3×5×7．如果A和B的最小公倍数是630，那么a＝3．【分析】根据最小公倍数的计算方法，结合题意，列方程并求解，即可得到答案．【解答】解：∵A，B的最小公倍数是630，∴2×3×5×a×7＝630，∴m＝3，∴故答案为：3．【点评】本题考查了一元一次方程和最小公倍数的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程和最小公倍数的性质，从而完成求解．3．（2022秋•闵行区校级期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是72，那么这两个数是6，72或18，24．【分析】设这两个数分别为6a，6b（a，b为正整数，且a与b互质，a＜b），根据题意得出ab＝12，得出a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合题意舍去），然后代入依次计算即可．【解答】解：依题意，设这两个数分别为6a，6b（a，b为正整数，且a与b互质，a＜b），则这两个数的最小公倍数是6ab．即6ab＝72，从而ab＝12．又12＝1×12＝2×6＝3×4，则a＝1，b＝12，或a＝3，b＝4，a＝2，b＝6（不符合题意舍去）．当a＝1，b＝12时，6a＝6，6b＝72；当a＝3，b＝4时，6a＝18，6b＝24；故这两个数分别为6，72或18，24．故答案为：6，72或18，24．【点评】主要考查最大公因数与最小公倍数的问题，理解题意，列出式子计算是解题关键．4．（2022秋•奉贤区校级期中）12和30的最小公倍数是60．【分析】先把12和30进行分解质因数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即求12和30这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．【解答】解：把12和30进行分解质因数为：12＝2×2×3，30＝2×3×5，根据最小公倍数的定义，可得12和30的最小公倍数是2×2×3×5＝60；故答案为：60．【点评】本题考查了最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解答本题的关键．5．（2022秋•宝山区期中）正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是0．【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是1；一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身”得出：一个数的最大因数和最小倍数相等，即差是0；据此判断．【解答】解：正整数16的最小倍数是16，最大因数是16，所以正整数16的最小倍数减去它的最大因数，所得的差是0．故答案为：0．【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解答此题应明确：一个数的最大因数和最小倍数相等．6．（2022秋•普陀区期中）4和5的最小公倍数是20．【分析】直接把两数相乘即可．【解答】解：4×5＝20，故4和5的最小公倍数是20．故答案为：20．【点评】本题考查的是公倍数和最小公倍数，熟知有理数乘法的法则是解题的关键．7．（2022秋•松江区校级月考）若A＝2×3×3，B＝2×3×5，则A和B的最大公因数是6，最小公倍数90．【分析】首先根据：A＝2×3×3，B＝2×3×5，可得：这两个数的公共质因数是2和3，据此求出A和B的最大公因数是多少；然后根据A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，求出它们的最小公倍数是多少即可．【解答】解：因为A＝2×3×3，B＝2×3×5，所以这两个数的公共质因数是2和3，根据最大公因数的定义，可得A和B的最大公因数是2×3＝6；由A独有的质因数是3，B独有的质因数是5，根据最小公倍数的定义，可得它们的最小公倍数是6×3×5＝90．故答案为：6、90．【点评】此题主要考查了最大公因数和最小公倍数的含义和求法，要熟练掌握．8．（2021秋•宝山区校级月考）已知A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，则A与B的最小公倍数是6300．【分析】根据最小公倍数的求法列式计算即可．【解答】解：因为A＝2×3×3×5×7，B＝2×2×5×5×7，所以A与B的最小公倍数＝2×5×7×3×3×2×5＝6300，故答案为：6300．【点评】本题考查了最小公倍数，掌握两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，两个或多个整数的公倍数里最小的那个叫做它们的最小公倍数是解题的关键．9．（2021秋•宝山区校级月考）一个数的最小倍数是24，这个数的素因数有2，2，2，3．【分析】利用分解质因数的方法解答即可．【解答】解：把24分解质因数为：24＝2×2×2×3，故这个数的素因数有：2，2，2，3．故答案为：2，2，2，3．【点评】本题主要考查了有最小公倍数，素因数，把这个数表示出素因数乘积的形式是解题的关键．10．（2021秋•宝山区校级月考）已知x、y是正整数，且x÷y＝5，则x和y的最大公因数是y，它们的最小公倍数是x．【分析】x÷y＝5，x和y成倍数关系，两个数成倍数关系，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数．【解答】解：∵x÷y＝5，x、y是正整数，∴x和y成倍数关系，∴x和y的最大公因数是较小的数y，最小公倍数是较大的数x．故答案为：y；x．【点评】本题主要考查最大公因数和最小公倍数，求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．11．（2021秋•宝山区校级月考）12和16的最大公因数和最小公倍数的和是52．【分析】求出12和16的最大公因数是4，最小公倍数是48，求和即可得出答案．【解答】解：分别把12和16分解质因数为：12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，∴12和16的最大公因数是4，12和16的最小公倍数是48，∴4+48＝52，故答案为：52．【点评】本题考查了有最大公因数和最小公倍数，掌握分解质因数是解题的关键．12．（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝5．【分析】根据最小公倍数的性质，完成求解．【解答】解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了最小公倍数的知识，掌握最小公倍数的性质是关键．13．（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝63．【分析】根据新运算知道，求12*15，就是求12和15的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答．【解答】解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．【点评】本题考查了最小公倍数和最大公因数，解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可．三．解答题（共7小题）14．（2022秋•闵行区校级期中）用短除法求45与60的最大公因数和最小公倍数．【分析】把各数分解质因数即可得到最大公因数和最小公倍数．【解答】解：∵45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因此45与60的最大公因数为：3×5＝15，45与60的最小公倍数为：3×5×3×4＝180．答：45与60的最大公因数是15，最小公倍数是180．【点评】本题主要考查求两个数的最大公约数、最小公倍数，能够熟练运用短除法是解题的关键．最大公约数，指两个或多个整数共有约数中最大的一个；最小公倍数，指两个或多个整数共有的倍数中，除0以外最小的一个．15．（2022秋•青浦区期中）用短除法求90与84的最大公因数和最小公倍数．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此依次解答即可．【解答】解：如图：所以90与84的最大公因数是：2×3＝6；最小公倍数是：2×3×15×14＝1260．【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．16．（2022秋•嘉定区期中）用短除法求出24与36的最大公因数和最小公倍数．【分析】根据最大公因数和最小公倍数的定义解答即可．【解答】解：，根据最大公因数的定义，可得24与36的最大公因数为：2×2×3＝12；根据最小公倍数的定义，可得24与36的最小公倍数为：2×2×3×3×2＝72．【点评】本题主要考查了求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法，熟知最大公因数和最小公倍数的定义是解答本题的关键．17．（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用最大公因式以及最小公倍数的定义分别得出答案．【解答】解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是1