2019版高中全程练习方略配套资料：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式

第一节不等式的基本性质、含有绝对值的不等式

…………三年1考高考指数:★★★内容要求ABC不等式的基本性质√含有绝对值的不等式的求解

√1.不等式的基本性质(1)对于任意两个实数a,b有且只有以下三种情况之一成立：a>b⇔________,a<b⇔__________,a=b⇔__________.(2)不等式的基本性质：①a>b⇔_______；②a>b，b>c⇒_______；a-b>0a-b<0a-b=0b<aa>c③a>b⇒_____________;④a>b，c>d⇒______________；⑤a>b，c>0⇒_______；a>b，c<0⇒________；⑥a>b>0，c>d>0⇒_______；⑦a>b>0⇒_______(n∈N，且n>1);⑧a>b>0⇒________(n∈N，且n>1)．a＋c>b＋ca＋c>b＋dac>bcac<bcac>bdan>bn【即时应用】试用不等号连接下列各式:(1)若a>b，c<d，则a-c________b-d；(2)若a>b>0，c<0，则________.【解析】(1)因为c<d,所以-c>-d,

因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.(2)因为a>b>0,所以0<,因为c<0,所以

>.答案：(1)>(2)>2．含绝对值不等式的解法(1)含一个绝对值的不等式的解集<x<a

x|－ax<x|x>a或－ax|－c≤ax＋b≤cx|ax＋b≥c或ax＋b≤-c(2)含两个绝对值的不等式的解法|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【即时应用】(1)设不等式|2x-1|<1的解集为M，则集合M=__________；(2)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是__________.【解析】(1)由|2x-1|<1得－1<2x-1<1,解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.(2)由不等式的几何意义知，式子|x-5|+|x+3|表示数轴上的点x与点5的距离和与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，x∈(-∞,-4］∪［6,+∞).答案：(1){x|0<x<1}(2)(-∞,-4］∪［6,+∞)3.含绝对值不等式的性质(1)|a|+|b|____|a+b|(2)|a|-|b|____|a+b|(3)|a|-|b|____|a-b|____|a|+|b|【即时应用】若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是_____．【解析】由绝对值不等式的性质知|(x+1)-(x-2)|≤|x+1|+|x-2|，所以|x+1|+|x-2|的最小值为3，由|x＋1|＋|x－2|<a无解，知a≤3.答案：a≤3

≥≤≤≤ 不等式性质的简单应用【方法点睛】不等式性质求最值的步骤及注意问题(1)应用不等式的基本性质求式子的最大值或最小值时,首先将所求式子用已知的式子表示出来，再应用不等式的基本性质求解.注意整体代换的方法技巧.(2)不等式的性质是不等式变形的理论依据，运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件.【例1】设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，求的最大值.【解题指南】本题条件与问题都比较复杂，难以入手解决.“求什么，设什么”是解题的基本思路，可以从结论开始，设所求量为参数t，通过消元法求出参数的取值范围，也可以从已知条件出发，将条件中的整体设成参数t,s，然后用其表示x,y，从而求

的取值范围.【规范解答】方法一：设

=t，则x=，代入已知条件得：，即，两式相乘得2≤t≤27，所以

的最大值是27.方法二：设xy2=t，=s则x=，y=，从而，由题设条件知：，于是，即2≤≤27，所以

的最大值是27.【反思·感悟】对于两个不等式的加法，即a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，也就是说两个同向不等式可以相加．但是对于两个不等式相减时，要慎重使用，这时往往转化为两个同向不等式后，再相加．而对于两个不等式相乘时，更须慎重使用，必须是两个不等式中的数或式均为正数.【变式训练】已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.【解析】设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴，∴m=，n=.∴2a+3b=(a+b)(a-b).∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,∴,∴，即

＜2a+3b＜

. 含有绝对值不等式的解法【方法点睛】含有绝对值不等式的解法含有绝对值不等式的解法主要是转化为不含绝对值的不等式或不等式组处理，而去掉绝对值的方式主要有以下三种：(1)利用常见的等价命题；(2)对绝对值内的式子符号进行讨论；(3)两边平方(必须保证两边都是正数)．【例2】(2011·新课标全国卷)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥3x+2的解集；(2)如果不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值.【解题指南】解含有绝对值的不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值.【规范解答】(1)当a=1时，不等式f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2，解得x≤-1或x≥3,所以不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≤-1或x≥3}.(2)因为f(x)≤0，所以|x-a|+3x≤0，可化为或,即或，因为a>0,所以该不等式的解集是{x|x≤}，再由题设条件得=-1,∴a=2.【反思·感悟】1.零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2.在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．【变式训练】(2011·辽宁高考)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明：-3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|

=,当2<x<5时,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集；当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}；当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上，不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.【变式备选】(2011·天津高考)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)},则集合A∩B=_____.【解析】∵A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}={x∈R|-4≤x≤5},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)}={x∈R|x≥,t∈(0,+∞)}={x∈R|x≥-2},∴A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x∈R|x≥-2}={x∈R|-2≤x≤5}.答案：{x∈R|-2≤x≤5} 含参不等式的成立问题【方法点睛】解含参不等式的方法解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论．注意：(1)要考虑参数的取值范围；(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．【例3】(2011·陕西高考)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，求实数a的取值范围.【解题指南】利用绝对值的几何意义或绝对值不等式的性质或函数法求得不等式右边|x+1|+|x-2|的最小值，从而求得实数a的取值范围.【规范解答】方法一：因为|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点到表示－1和2的点的距离之和，其最小值为3，故符合题意的实数a的取值范围是|a|≥3，解得a≥3或a≤-3.方法二：因为|x+1|+|x-2|≥|x+1-x+2|=3,所以|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，有|a|≥3,解得a≤-3或a≥3.方法三：记f(x)=|x+1|+|x-2|=则f(x)min=3，故|a|≥3，得a≥3或a≤-3.【反思·感悟】对于不等式中的存在型问题可以转化为函数图象的交点问题或高低问题解决，通常转化为相应函数的最值或值域求解，而有关不等式恒成立问题，关键是求函数的最值，如a≤f(x)在某一区间内恒成立，则a≤f(x)min；如a≥f(x)在某一区间内恒成立，则a≥f(x)max.【变式训练】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=|x-1|+|x-2|=所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f(x)=