2019秋季西南大学0772《中学代数》参

西南大学

网络与继续教育学院课程代码：

0772

学年学季：20192单项选择题1、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（

）

稠密性

可数性

完备性2、高中代数课程的基本主线是（

）

方程

不等式

函数

数列3、下列哪一个数，用尺规是可以做出的（

）

根号2

圆周率

欧拉数e4、对有理数运算中的“负负得正”，可以用（

）给予解释

复数坐标表达式的乘法运算

复数向量表达式的乘法运算

复数三角函数表达式的乘法运算

5、幂数列属于（

）

E.等比数列

高阶等差数列

等差数列6、下列说法，哪一个是正确的（

）

函数的“变量说”定义比较抽象

函数的“关系说”定义比较形式

函数的“对应说”定义比较直观7、

用复数的棣莫弗公式，可以推导

三角函数的n倍角公式

一元二次方程的求根公式

点到直线的距离公式8、

不定方程求解的算理依据是：

B.孙子定理

辗转相除法

单因子构件法

拉格朗日插值法9、

下列说法，哪一个是错误的：

戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件；

戴德金分割和有理数区间套定义是等价的；

戴德金分割的下集存在最大数时，上集存在最小数。

10、

高中代数课程的基本主线是：

函数

数列

方程11、

在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的-----------------.

形式推导

直观理解

恒等变换12、

点到直线的距离公式，可以用--------推出：

柯西不等式

排序不等式

均值不等式13、

有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有：

连续性

完备性

稠密性

可数性

14、

加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系：

均值不等式

排序不等式

柯西不等式15、

代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为：

方程和函数；

古典代数和近代代数；

数列和算法

抽象代数和近世代16、

下列说法，哪个是正确的；

复数集是一个有序域；

复数可以比较大小；

复数可以排序；

17、

下列哪个说法是错误的:

用尺规作图可以三等分角

用尺规作图可以二等分角

用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线

用尺规作图可以画出根号5的数18、

任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有：

完备性

稠密性

可数性；

连续性；19、

高中教材“函数”的定义采用的是：

函数“对应说”；

函数“变量说”；

函数“关系说”20、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于，后者不具有（

）

反身性

对称性

传递性21、

复数集按照“字典排序”关系，是一个

复数域

全序集

有序域22、

两个集合A和B的笛卡尔积的子集，被称为

结构

序偶

关系

对偶23、下列说法，哪个是正确的（

）

A.复数可以排序

复数集是一个有序域

复数可以比较大小24、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（

）

韦达定理

代数基本定理

正弦定理

孙子定理

25、

一个收敛的有理数列，其极限可以不是有理数，这说明有理数不具有：

连续性

稠密性

可数性判断题26、有理数对极限运算是封闭的。A.√B.×

27、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。A.√

B.×28、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。A.√

B.×29、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a,b)。A.√

B.×30、中学代数应当“以方程为纲”。A.√B.×

31、一元5次及其以上次代数方程有根式解。A.√B.×

32、“三等分角”是可解的。A.√B.×

33、在不等式教学中，应当强调不等式的几何意义和背景。A.√

B.×34、1、

形式化是数学的基本特征之一。A.√

B.×35、自然数的基数理论反映了事物记数的顺序性。A.√B.×

36、幂数列不是高阶等差数列。A.√B.×

37、1、

在数学运算中，善于进行恒等变形是一项基本数学能力。A.√

B.×38、对于有限数列来说，并不一定存在一个多项式函数，来表示它的通项。A.√B.×

39、

在戴德金分割中，存在下列情形：戴德金分割的下集中有最大数，上集中有最小数。A.√B.×

40、

均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式，二者并没有什么关系。A.√B.×

41、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。A.√B.×

42、

代数学一般有古典代数与近代代数之分。A.√

B.×43、

有理数集和自然数集具有相同的“势”。A.√

B.×44、0.999……=1A.√

B.×45、

戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。A.√

B.×46、“中学代数教学”的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的直观理解。

A.√

B.×47、

代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。A.√B.×

48、

对于数轴上的有理数，我们有两个相邻的有理数的说法。A.√B.×

49、

幂数列不是高阶等差数列。A.√B.×

50、

数学归纳法具有两个缺一不可的性质：即归纳性、演绎性。A.√

B.×51、我国传统的“中学代数”体系，主要内容有：数和数系；方程；函数；不等式；排列组合。A.√B.×

52、群是古典代数研究的对象。A.√B.×

53、有理数对极限运算是封闭的。A.√B.×

54、0与空集的基数相对应，所以从集合论的角度看，0应当是自然数。A.√

B.×55、用尺规不能把900和1800

那样的角进行三等分。A.√B.×

56、1、

每一个重大的数学进展都和数学符号的创造性运用是分不开的。A.√

B.×57、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。A.√

B.×58、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性，所以，也可以把数学归纳法当作公理来看待。A.√

B.×59、实数集是可数的无穷集合。A.√B.×

60、对于任一有限项的数列，都可以给出通项表达式。A.√

B.×主观题61、\o"在三角形ABC中排序不等式证明.docx"在三角形ABC中排序不等式证明.docx

参考答案：

在三角形ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，求证：证：不妨设a≤b≤c，则aA+bB+cC≥bA+cB+aC,aA+bB+cC≥cA+aB+bC,又

aA+bB+cC=aA+bB+cC,三式相加得，3aA+bB+cC即62、试证欧拉数e不是一个有理数参考答案：

证明欧拉数e不是有理数。证明（反证法）：假设e=当n>m,=S<S<S=S即，Sm<S在上式两段乘以m!,得但是，m!sm是一个整数，因此整数63、

证明自然数的加法满足交换律，即对于任意自然数a和b,有a+b=b+a.参考答案：

答案要点：我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。①

.我们先证明等式a+1=1+a,因此对a用归纳法。

设M是使等式成立的所有a的集合，显然，1∈M，

如果a

∈M,那么a+1=1+a,于是

aˊ+1=(a+1)+1

=(1+a)+1

=(1+a)ˊ=1+aˊ,所以aˊ∈M,由归纳公理，

a+1=1+a

②

.我们对b用归纳法，证明a+b=b+a,

设M是对于给定a使得等式成立的所有b的集合，由①已证知，1

∈M，

如果b

∈M,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律，得到

a+bˊ

=(a+b)ˊ

=(b+a)ˊ

=b+aˊ

=b+(a+1)

=b+(1+a)

=(b+1)+a

=bˊ+a.

所以bˊ∈M,由归纳公理，故加法的交换律被证明。64、

为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？参考答案：

参考答案：有理数与循环小数的关系如果有理数p/q不是有限十进位小数，那么通过不断地作除法能表示为一个无限的十进位小数。在这一过程中，每次必然有一个非零的余数，否则这十进位小数是有限的。在除的过程中出现的所有不同余数将是1和q-1之间的整数，所以最多只能有q-1个不同的余数值，这意味着，最多除q次，某个余数k将第二次出现。但由此随后而来的所有余数，将按照余数k第一次出现后它们出现的同样次序重复。这说明任何有理数的十进位小数表示式是循环的；开始出现有限个数码，随后同样的一个数码或一组数码将无限次地出现。例如，1/6=0.16666666…；1/7=0.142857142857…；1/11=0.09090909…等等。那些能表示为有限小数的有理数，也可以认为是一个循环小数，它在有限个数码之后，只是无限次地重复着数0。反之，所有循环小数都是有理数。例如，取无限循环小数P=0.3322222…，我们有p=331001+因此p=对一般情形的证明在实质上是一样的。所以，我们说，任何有理数的十进位小数表示式都是循环的；反之，所有循环小数都是有理数。65、

试述“中学代数研究”的研究方法？

参考答案：

长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向，即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。正如F.克莱因指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点越高，事物越显得简单；另外，还要为中学数学教学服务，数学知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。为此，我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：(一).从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解；例：为什么复数不能比较大小在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。如果问：两复数不等时，它们有没有大小关系？其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。(二).用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。

我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：形式化与直观理解相结合。(三).适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。66、

试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。参考答案：

答：函数概念的历史发展先后经历了函数的“变量说”、“对应说”、“关系说”等逐步精确化、形式化的过程；高中以函数为课程主线的具体体现和要求表现在以下几个方面：（1）在函数一般定义的基础上结合具体的函数模型，加深对函数的认识；（2）在研究函数的变化特征中刻画函数的几种性质，丰富对函数的理解；（3）将函数与其他内容相联系，突出函数思想的应用

。在进行高中函数概念的教学中，根据学生的认知规律，可采用以下的教学策略：（1）在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”；（2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念；（3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。67、

什么是数学表达能力？请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表达能力？参考答案：

参考答案：所谓数学表达能力，是指将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等，用恰当的数学语言（包括自然语言、数学图形语言、数学符号语言等）准确流畅地表达出来的能力。数学语言根据其表达形式的不同，可分为自然语言、图形语言和符号语言。这三种形式的数学语言在数学学习中，扮演着各自不同的作用。自然语言易表达，图形语言直观形象，而符号语言抽象、严谨、准确。让学生掌握好这三种语言各自的特点，使培养他们的数学表达能力的基本条件。根据这三种语言的各自特点，使学生由易而难，依次掌握不同的数学语言是培养数学表达能力的基本途