电路与模拟电子技术基础-正弦稳态电路

第3章正弦稳态电路的分析3.1正弦交流电的基本概念随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦交流电（简称交流电）正弦交流电压波形图表达式u(t)=Umcos(ωt+θu)i(t)=Imcos(ωt+θi)3.1.1周期和频率周期

角频率3.1.2幅值和有效值正弦交流电压的瞬时值u随时间变量t的改变，在Um到-Um之间变化，其瞬时值的最大值Um称为幅值或振幅，最小值为-Um

3.1.3相位和相位差在正弦交流电的表达式中，表示正弦量变化的角度，称为相位角，简称相位

通常把两个同频率的正弦量的相位之差称为相位差，用φ表示

例1

已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为

/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。解：角频率

函数表达式为波形如右图。

例1

已知正弦电压的振幅为10伏，周期为100ms，初相为

/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。解：角频率

函数表达式为波形如右图。

例2

试求正弦量的振幅Fm

、初相

与频率f

。解：将正弦量表达式化为基本形式：所以Fm=10，

=/3rad,

=100rad/s,f=

/2=50Hz例3已知正弦电压u(t)和电流i1(t),i2(t)的表达式为试求:u(t)与i1(t)和i2(t)的相位差。

u(t)与i2(t)的相位差为解：u(t)与i1(t)的相位差为3.2正弦量的相量表示一个正弦量可由其最大值、角频率和初相位3个要素来确定，而在平面坐标上的一个旋转有向线段可以表示正弦量的三要素。(1)复数直角坐标形式：A=a1+ja2三角形式：A=a(cos

+jsin

)指数形式：A=aej

极坐标形式：A=a

+1ja

a1a20复数A的复平面表示a1=acos

a2=asin

(2)复数运算A=a1+ja2=aej

，B1=b1+jb2=bejφ

则：A+B

=a1+b1+j(a2+b2)A×B=abej(

+φ)

[例3-2]

已知A=4+j3,B=10∠-60°。试求：A+B，A-B，A·B。解：A=4+j3=5∠36.9°,B=10∠-60°=5-j8.66则A+B=4+j3+5-j8.66=9-j5.66;A-B=4+j3-(5-j8.66)=-1+j11.66A·B=5∠36.9°·10∠-60°=50∠-23.1°分析正弦稳态的有效方法是相量法(Phasormethod)，相量法的基础是用相量（向量）或复数来表示正弦量的振幅和初相。注意：其频率不变。称为：f(t)的振幅相量

(3)正弦量的相量表示+1jFm

0相量图Fm

sin

Fm

cos

正弦量

f(t)的有效值相量

(4)有效值相量正弦量有效值与复值的关系：正弦量f(t)是以角速度ω沿反时针方向旋转的旋转相量在实轴投影。即：1j

t2

t2tf(t)(5)正弦量与其相量的对应关系：可见，一个按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个相量(复常数)来表示。已知正弦量的时间表达式，可得相应的相量。反过来，已知电压电流相量，也就知道正弦电压电流的振幅和初相，再加上角频率，就能写出正弦电压电流的时间表达式(两者存在一一对应关系)。即或：显然，有一般地：可以任意选用振幅相量或有效值相量来表示同一个正弦量；但选用有效值相量更为普遍些。在没有特指的情况下，指的是有效值相量。相量：用复平面(二维空间)中的复常数表示正弦量的振幅或有效值、初相。(6)相量图：为了形象描述各个相量(表示正弦量)之间的相位关系，把一些相量画在同一张复平面内。参考相量：上图中假设为零相位的相量。例4

已知电流i1(t)=5cos(314t+60

)A,i2(t)=-10sin(314t+60

)A。写出它们的相量，画出相量图，并求i(t)=i1(t)+i2(t)。解：相量图如图所示。相量图的另一个好处是可以用向量和复数的运算法则求同频率正弦电压或电流之和。平行四边形法则。从相量图容易看出各正弦电压电流的相位关系：i2(t)超前于i1(t)90°。可得电流的表达式为3.3

三种基本元件伏安关系的相量形式电阻元件R

电感元件L

电容元件C

3.3.1

电阻元件R

电阻的向量形式为电阻的模型和向量图

电阻元件伏安关系的相量形式当电流i(t)=Imcos(

t+

i)时，电阻上电压电流关系：电压和电流是同频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零(同相)，即时域：电阻元件的时域模型及反映电压电流关系的波形如下图示。可见，在任一时刻，电压的瞬时值是电流的R倍，电压与电流同相位。由上述推导，得在关联参考方向下电阻电压电流的相量形式为这是复数方程，同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即：(1)U=RI(2)

u=

i。或相量模型如图(a)所示，反映电压电流相量关系的相量图如图(b)所示，由此可看出电阻电压与电流的相位相同。

3.3.2

电感元件L

电感元件向量形式的VAR电感的模型和向量图电感元件伏安关系的相量形式

当i(t)=Imcos(

t+

i)时电感上电压电流关系：伏安关系的波形如图(b)。可看出电感电压超前于电流90°，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。电感元件的时域模型如图(a)所示由上述推导，得在关联参考方向下电感元件电压和电流相量的关系式电感元件的相量模型如图(a)，伏安相量关系的相量图如图(b)所示。3.3.3

电容元件C

电容元件向量形式的VAR电容的模型和向量图解=-j9=9∠-90°Ai=9cos(3t-90°)V3.4

基尔霍夫定律的向量表示1．KCL的向量表示对于具有相同频率的正弦电路中的任一节点，流出该节点的全部支路电流相量的代数和等于零。2.KVL的向量表示1流出节点的电流取”+”号，流入节点的电流取”-”号。2流出任一节点的全部支路电流振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零。即,一般情况下:注意：例5

已知试求电流i(t)及其有效值相量。解：根据图(a)电路的时域模型，得图(b)所示的相量模型——将时域模型中各电流符号用相应的相量符号表示。ii1i2(a)iS(b)列图(b)相量模型中节点1的KCL方程，由此可得则：相量图如右图所示，用来检验复数计算的结果是否基本正确。有效值相量ÍÍ2Í1+1jKVL:相量形式的KVL定律：对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。相量形式为：1与回路绕行方向相同的电压取”+”号，相反的电压取”-”号。2沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说注意例6

求uS(t)和相应的相量，并画出相量图。已知解：根据电路的时域模型，画出右图相量模型,并计算出电压相量。+u1--u3++u2-+uS-+--++

-+

-图(b)，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程由相量得时间表达式各相量的关系如右图j+13.5阻抗与导纳3.5.1阻抗与导纳3.5.2阻抗与导纳的串并联3.5.1阻抗与导纳阻抗：可得欧姆定律的相量形式：

导纳：显然：N0+-分析RLC串联电路相量模型如图(b)所示。等效阻抗其中：当X=XL-XC>0时，

Z>0，电压超前于电流，电路呈感性，等效为R串联电感；当X=XL-XC<0时，

Z<0，电流超前于电压，电路呈容性，等效为R串联电容；

当X=XL-XC=0时，

Z=0，电压与电流同相，电路呈电阻性，等效为R。电压三角形如下：感性XL>XC容性XL<XC

Z

Z例11

u(t)=10cos2tV。试求i(t),uR(t),uL(t),uC(t)。解：相量模型如图(b)所示。等效阻抗相量电流RLC元件上的电压相量时间表达式

各电压电流的相量图如图(c)所示。端口电压u(t)的相位超前于端口电流相位i(t)45°，该RLC串联网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即具有电感性。3.5.2阻抗的串并联阻抗的串联阻抗的并联导纳3.5.2.1.阻抗的串联在正弦交流稳态电路中，若有n个阻抗串联，则总电压为

等效阻抗为串联阻抗的分压公式为3.5.2.2阻抗的并联两阻抗的并联及等效两阻抗并联时的分流公式为3.5.2.3导纳复阻抗的倒数称导纳导纳并联n个导纳并联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即电压与其端口电流相量的关系为第k个导纳中的电流与端口电流相量的关系为这是导纳并联时的分流公式。例9

求图(a)网络在

=1rad/s和

=2rad/s时的等效阻抗和等效电路。解：

=1rad/s时的相量模型如图(b)所示，等效阻抗.L=1HR=1

C=0.5Fab(a)等效电路如图(c)所示同理，

=2rad/s时的相量模型如图(b)所示，求得等效阻抗为等效电路如图(e)，相应的时域等效电路为一个0.5Ω的电阻与1/3F电容的串联。A4:7.2A3.6正弦稳态电路分析将正弦稳态电路与直流电阻电路比较，若正弦交流电路的各电压、电流用向量表示，电阻和电导用阻抗和导纳表示，则计算直流电阻电路的一些公式、分析方法及定律就可以完全用到正弦稳态电路的分析和计算中来。[例3-10]已知iS(t)=4cos4tA，uS(t)=5cos(4t+36.9˚)V。试利用叠加原理求图(a)所示电路的电流i(t)。

解：（1）当iS(t)单独作用时，uS(t)置零相当于短路，得相量模型图(b)所示，由分流公式得(2)当uS(t)单独作用时，iS(t)置零相当于开路，相量模型图(c)得

（3）根据叠加定理，在iS(t)和uS(t)共同作用下的响应为故i(t)=1.77cos(4t-81.9˚)

A1H2Ω0.125F＋uS－iSij4Ω2Ω4∠0°Ì1m-j2Ωj4Ω2ΩÌ2m-j2Ω+5∠36.9°-[例3-11]电路相量模型如图（a）所示，已知ÙSm=10∠0°V

，试用戴维南定理求电流相量Ì2m。解：（1）首先求开路电压如图（b）所示，端口开路电流Ìm=0,j200Ω阻抗上电压为0，故可得（2）求等效阻抗Z0，如图（c）所示，电压源置零，可得（3）可得等效电路如图（d）所示，利用KVL可得j200Ω100ΩÌ2m-j50Ω+ÙSm-100Ωj200Ω100ΩÌ2=0-j50Ω+ÙSm-+ÙOCm-j200Ω100Ω←Zo-j50ΩZoÌ2m+ÙOCm-100Ω3.7正弦稳态电路的功率瞬时功率有功功率及功率因数无功功率和视在功率3.7.1瞬时功率3.7.2有功功率及功率因数平均功率不仅取决于电压电流有效值乘积UI，还与阻抗角

Z=

u-

I有关。

功率因数

Z=

u-

i为功率因数角。当二端网络为无源元件R、L、C组成时：|

Z|<90,0<pf<1。

Z<0,电路呈容性，电流导前电压；

Z>0,电路感呈性，电流滞后电压。

网络吸收的平均功率P与cos

Z的大小密切相关，cos

Z表示功率的利用程度，称为功率因数

3.7.3无功功率和视在功率上式第二项的最大值为二端网络的无功功率Q

。即可验证L和C时的特殊情况。视在功率表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，单位：伏安(VA)。例如我们说某个发电机的容量为100kVA，而不说其容量为100kWS=UI[例3-12]求P、Q、S。已知关联参考方向下无源二端网络的端口电压u(t)和i(t)分别为:(1)u(t)=10cos(100t+70˚)，i(t)=2cos(100t+40˚)；解：（1）端口电压有效值、电流有效值及阻抗角分别为U=5V，I=A，ӨZ=φu–φi

=70-40=30˚因此，P=UIcosӨZ=10cos30˚=8.66WQ=UIsinӨZ=10sin30˚=5varS=UI=10VA无功功率Q>0，该二端网络呈感性。（2）u(t)=20cos(50t+20˚)，i(t)=2cos(50t+50˚)。解：（2）端口电压有效值、电流有效值及阻抗角分别为U=10V，I=A，ӨZ=φu–φi

=20-50=-30˚因此，P=UIcosӨZ=20cos(-30˚)=17.32WQ=UIsinӨZ=20sin(-30˚)=-10varS=UI=20VA无功功率无功功率Q<0，该二端网络呈容性。[例3-13]

电路相量模型如图，端口电压的有效值U=100V.试求该网络的P、Q、S、pf。解:设端口电压相量为：16

j16

-j14

+-网络的等效阻抗：因此故：S=UI=100×10=1000VA由于

Z=-36.9,所以pf=cos

Z=cos(-36.9)=0.8(导前）P=Scos

Z=800WQ=Ssin

Z=-600Var3.8正弦稳态电路中的谐振

谐振电路是电路分析和通信技术中的基本电路，人们利用谐振现象做成了各种功能电路，用来选择信号和处理信号。最常用的谐振电路是串联谐振和并联谐振电路。含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在某些工作频率上，出现端口电压和电流相位相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工程中得到广泛应用。这时，Q=QL+QC=0

。电源只供给电阻消耗能量，L和C之间能量自行交换。3.8.1串联谐振

RLC串联电路

串联谐振电路的特性图(a)表示RLC串联谐振电路，图(b)是相量模型，由此求出驱动点阻抗为RLC串联谐振条件与谐振特性其中R0ω0ωX-1

C

L容性电阻性感性X<0X=0X>0当时，

Z=0,|Z(j

)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。即，RLC串联电路的谐振条件为ω0称为固有谐振角频率，简称谐振角频率，它由元件参数L和C确定。1谐振条件当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生谐振。用频率表示的谐振条件为RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等，感抗或容抗的大小称为谐振电路的特性阻抗，即它同样是有元件L和C的参数确定。RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量导致即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。电路谐振电流为2谐振时的电压和电流电流有效值达到最大值，且电流与电压源电压同相。此时电阻、电感和电容上的电压分别为其中称为串联谐振电路的品质因数。电路谐振时的相量图如图。电感电压或电容电压的幅度为电压源电压幅度的Q倍，即LC串联部分相当于短路例3-15

电路如图,已知求:(l)频率

为何值时，电路发生谐振。

(2)电路