高考数学一轮复习 讲义 离散随机变量的数据特征 教师

课题：离散随机变量的数据特征知识点1．离散型随机变量的均值（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E（aX＋b）＝aE（X）＋b（3）若X服从两点分布，则E（X）＝p；（4）若X～B（n，p），则E（X）＝np．2．离散型随机变量的方差（1）设离散型随机变量X的分布列为则（xi－E（X））2描述了xi（i＝1,2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度，而D（X）＝（xi－E（X））2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度．称D（X）为随机变量X的方差，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．（2）D（aX＋b）＝a2D（X）．（3）若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）（4）若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p）【注1】1．求离散型随机变量均值、方差的基本方法（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解；（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解．2．求离散型随机变量均值的步骤（1）理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；（2）求的每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）由均值定义求出．3．均值、方差的性质（1）（为常数）（2）（为常数）（3）（4）如果相互独立，则（5）（6）4．均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．典型例题例1抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是______________【答案】【解析】在一次实验中，成功的概率为；的分布列是二项分布，故在次试验中，成功的次数的期望为，故答案为．例2某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量的数学期望为__________．【解析】随机变量的所有可能取值为0,1,2,3．又，，，．所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望．例3已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列．【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)．（2）X的可能取值为200,300,400，则P（X＝200）＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P（X＝300）＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．故X的分布列为X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)例4某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若教学满意度不低于9．5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．【解析】（1）设表示所取得人中有个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件，则（2）的可能取值为0，1，2，3，由已知得∴∴的分布列为：例5某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记分，未出线记分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为，他们出线与未出线是相互独立的．（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．【解析】（1）记“甲出线”为事件，“乙出线”为事件，“丙出线”为事件，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件．则．（2）的所有可能取值为．；；；．所以的分布列为．例6某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2．等级一等品二等品三等品次品等级一等品二等品三等品次品利润表1表2若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润（即数学期望）为元．（1）设随机抽取1件产品的利润为随机变量，写出的分布列并求出的值；（2）从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率．【解析】设随机抽取1件产品的利润为随机变量，依题意得的分布列为：∴,即．∵,即,解得．∴．（2）为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．故所求的概率C．例7在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解析】（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（Meq\a\vs4\al()＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18)．（2）由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P（X＝1）＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P（X＝2）＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P（X＝3）＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P（X＝4）＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)．因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)例8为迎接北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望E（ξ），方差D（ξ）．【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为p1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，两人都付40元的概率为p2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，两人都付80元的概率为p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12)．（2）由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：P（ξ＝0）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)；P（ξ＝40）＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)；P（ξ＝80）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)；P（ξ＝120）＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)；P（ξ＝160）＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)．ξ的分布列为ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E（ξ）＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80．D（ξ）＝（0－80）2×eq\f(1,24)＋（40－80）2×eq\f(1,4)＋（80－80）2×eq\f(5,12)＋（120－80）2×eq\f(1,4)＋（160－80）2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3)．例9甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望E（X）；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，则P（Meq\a\vs4\al()＝eq\f(C\o\al(3,25),C\o\al(3,50))＝eq\f(23,196)．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为a，当a＝38时，X＝38×6＝228，当a＝39时，X＝39×6＝234，当a＝40时，X＝40×6＝240，当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254．所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254．故X的分布列为：X228234240247254Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)所以E（X）＝228×eq\f(1,10)＋234×eq\f(1,5)＋240×eq\f(1,5)＋247×eq\f(2,5)＋254×eq\f(1,10)＝241．8．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0．2＋39×0．3＋40×0．2＋41×0．2＋42×0．1＝39．7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39．7＝238．8元．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241．8元．因为238．8＜241．8，所以推荐小王去乙公司应聘．例10计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】（1）依题意，得p1＝P（40＜X＜80）＝eq\f(10,50)＝0．2，p2＝P（80≤X≤120）＝eq\f(35,50)＝0．7，p3＝P（X＞120）＝eq\f(5,50)＝0．1．由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为P＝Ceq\o\al(0,4)（1－p3）4＋Ceq\o\al(1,4)（1－p3）3p3＝（0．9）4＋4×（0．9）3×0．1＝0．9477．（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E（Y）＝5000×1＝5000（万元）．②安装2台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P（Y＝4200）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0．2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P（Y＝10000）＝P（X≥80）＝p2＋p3＝0．8．由此得Y的分布列如下：Y420010000P0．20．8所以E（Y）＝4200×0．2＋10000×0．8＝8840（万元）．③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P（Y＝3400）＝P（40＜X＜80）＝p1＝0．2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P（Y＝9200）＝P（80≤X≤120）＝p2＝0．7；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P（Y＝15000）＝P（X＞120）＝p3＝0．1，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0．20．70．1所以E（Y）＝3400×0．2＋9200×0．7＋15000×0．1＝8620（万元）．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．举一反三1．已知随机变量的分布列为，，则等于（）A．6B．9C．3D．4【答案】A【解析】由题意，，，，故选A．2．在—次实验中，同时抛掷枚均匀的硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的方差是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛掷枚均匀的硬币次，正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率为,因为,所以的方差是，选A．3．某竞猜活动有54人参加．设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品．假定每位参与者答对每道填空题的概率为，答对每道选择题的概率为，且每位参与者答题互不影响．设参与者中可获得纪念品的人数为，则均值（数学期望）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得某位参与者得4分的概率为,得5分的概率为,所以参与者获得纪念品的概率为,因为,所以选B．4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品，乙等品和次品的概率分别为，和，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利__________．【答案】39元【解析】∵一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利元，生产出一件乙等品可获利元，生产出一件次品，要赔元，这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为，和，∴这台机器每生产一件产品平均预期可获利：，答案为元．5．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为，则_________．【答案】6．随机变量的分布列如下：101Pabc其中成等差数列，若，则的值是__________．【答案】7．某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：理财金额万元万元万元乙理财相应金额的概率丙理财相应金额的概率（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；（2）若甲获得奖励为元，求的分布列与数学期望．【解析】（1）设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P（ξ＋η≥5）＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝．（2）X的所有可能的取值为300，400，500，600，700．P＝PP＝×＝，P＝PP＋P（ξ＝2）P（η＝1）＝×＋＝．P＝PP＋P（ξ＝3）·P（η＝1）＋PP=×＋×＋×＝,P＝PP＋P（ξ＝3）P（η＝2）＝×＋×=,P＝P（ξ＝3）P（η＝3）＝×＝×=．所以X的分布列为X300400500600700PE（X）＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝．8．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0,210]（210,400]某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410若规定第一阶梯电价每度0．5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0．6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0．8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值．【解析】（1）元设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3故的分布列是0123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以9．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该农产品．以（单位:）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位:元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如:若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率），求的数学期望．【解析】（1）当时，，当时，．所以（2）由（1）知利润不少于57000元当且仅当．由直方图知需求量的频率为0．7，所以下一个销售季度内的利润不少于57000元的概率的估计值为0．7．（3）依题意可得的分布列为所以．10．甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题。规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求甲能入选的概率．（2）求乙得分的分布列和数学期望；【解析】（1）由已知甲至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，则，（2）设乙答题所得分数为，则的可能取值为；；；．其概率分布表如下：．11．某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．（1）求a，b，c的值及居民月用水量在2～2．5内的频数；（2）根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？（精确到小数点后2位）（3）若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2．5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．【解析】（1）∵前四组频数成等差数列，∴所对应的eq\f(频率,组距)也成等差数列，设a＝0．2＋d，b＝0．2＋2d，c＝0．2＋3d，∴0．5[0．2＋（0．2＋d）×2＋0．2＋2d＋0．2＋3d＋0．1×3]＝1，解得d＝0．1，∴a＝0．3，b＝0．4，c＝0．5．居民月用水量在2～2．5内的频率为0．5×0．5＝0．25．居民月用水量在2～2．5内的频数为0．25×100＝25．（2）由题图及（1）可知，居民月用水量小于2．5的频率为0．7<0．8，∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w＝2．5＋eq\f,0.3)≈2．83．（3）将频率视为概率，设A（单位：立方米）代表居民月用水量，可知P（A≤2．5）＝0．7，由题意，X～B（3，0．7），P（X＝0）＝Ceq\o\al(0,3)×0．33＝0．027，P（X＝1）＝Ceq\o\al(1,3)×0．32×0．7＝0．189，P（X＝2）＝Ceq\o\al(2,3)×0．3×0．72＝0．441，P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,3)×0．73＝0．343，∴X的分布列为X0123P0．0270．1890．4410．343∵X～B（3，0．7），∴E（X）＝np＝2．1．课后练习1．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，即,所以，故选C．2．甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由已知，的可能取值是设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以所以故选B．3．已知随机变量的分布列为：若，则__________，__________．【答案】【解析】由题意可得：，解得，，故答案为，．4．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为，则的期望=．【答案】2【解析】试题分析：由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，∴E（X）=0×+1×+2×+3×=25．一批产品的二等品率为0．03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则__________．【答案】2．91【解析】由于是有放回的抽样，所以是二项分布，,填2．91．6．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________．【答案】7．某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为，求的数学期望．【解析】记甲局获胜的概率为，，（1）比赛三局甲获胜的概率是：；（2）比赛四局甲获胜的概率是：；比赛五局甲获胜的概率是：；甲获胜的概率是：．（3）记乙局获胜的概率为，．，；；故甲比赛次数的分布列为：345所以甲比赛次数的数学期望是：8．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视．为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0．4和0．5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0．4和0．3．（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望．【解析】（Ⅰ）分别记“甲扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，且．分别记“乙扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，且．由题知，与相互独立，记甲、乙两人所扣积分相同为事件，则，所以=．（Ⅱ）的可能取值为：，，，，，所以的分布列为：01234P0．20．320．30．140．04的数学期望．9．某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量（只）6101284（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【解析】（1）由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为eq\f(1,40)（6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50）＝28．5（g），所以购进500kg生蚝，其数量为500000÷28．5≈17544（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25）间的概率为eq\f(2,5)，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(81,625)，P（X＝1）＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(216,625)，P（X＝2）＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625)，P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(96,625)，P（X＝4）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,625)，∴X的分布列为X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)∴E（X）＝0×eq\f(81,625)＋eq\f(216,625)×3＋eq\f(96,625)×3＋eq\f(16,625)×4＝eq\f(8,5)．10．某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq\f(7,9)和eq\f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,3)和eq\f(1,15)．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元．则X1的分布列为X1300－150Peq\f(7,9)eq\f(2,9)∴E（X1）＝300×eq\f(7,9)＋（－150）×eq\f(2,9)＝200（万元）．若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：X2500－3000Peq\f(3,5)eq\f(1,3)eq\f(1,15)∴E（X2）＝500×eq\f(3,5)＋（－300）×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,15)＝200（万元）．D（X1）＝（300－200）2×eq\f(7,9)＋（－150－200）2×eq\f(2,9)＝35000，D（X2）＝（500－200）2×eq\f(3,5)＋（－300－200）2×eq\f(1,3)＋（0－200）2×eq\f(1,15)＝140000．所以E（X1）＝E（X2），D（X1）<D（X2），这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．11．某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2022年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：贷款期限6个月12个月18个月24个月36个月频数2040201010以上表中选择的各种贷款期限的频数作为2023年自主创业人员选择的各种贷款期限的概率．（1）某大学2023年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；（2）设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2023年全市有600人申报此项贷款，则估计2023年该市共要补贴多少万元．【解析】（1）由题意知，每人选择的贷款期限为12个月的概率为eq\f(2,5)，所以3人中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率P＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)．（2）由题意知，享受的补贴为200元的概率p1＝eq