直线的倾斜角与斜率+高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修1

解析几何

第二章直线和圆的方程问题1：

我们学过哪些平面图形，用的什么研究方法？问题1：

我们学过哪些平面图形，用的什么研究方法？综合法引

入解析几何勒奈·笛卡尔（1596-1650）：法国数学家、科学家和哲学家皮埃尔·德·费马（1601-1665），法国律师和业余数学家坐标系点数(有序数对或数组)几何代数曲线(点的轨迹)的方程研究几何图形性质代数方法直线直线的方程几何要素圆的方程解决实际问题圆平面直角坐标系代数方法2.1.1 直线的倾斜角与斜率第二章直线和圆的方程

水平直线的方向向右思考1：

如何表示直线的方向?其它直线的方向向上思考2：在平面直角坐标系中，过一点P可以作出无数条直线？这些直线的区别是什么？l1l2l3l4一、直线的倾斜角1.定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.xyoαl零度角锐角

直角

钝角

问题3：按照角的大小分类，直线的倾斜角可分为几类？

poyxypoxpoyxpoyx2.直线的倾斜角取值范围：思考1

你能得出直线的倾斜角的取值范围吗？零度角锐角

直角

钝角

问题3：直线的倾斜角可分为几类？

poyxypoxpoyxpoyx当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为，因此，直线的倾斜角的取值范围为：2.直线的倾斜角取值范围：问题5

你能得出直线的倾斜角的取值范围吗？问题4

任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与它对应吗？Oyxl1α1l2l3α2α3每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线吗?不同的直线其倾斜角一

定不相同吗?直线l唯一倾斜角α方向相同的直线(平行或重合)倾斜角α思考1

确定一条直线的几何要素还可以是什么？一个点P和一个倾斜角

.3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135°1.下图中，表示直线的倾斜角的是()ABCD2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°类型一

直线的倾斜角3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°得到直线l′，则直线l′的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°

C.135°-αD.当0°≤α<135°时为α+45°，当135°≤α<180°时为α-135°1.下图中，表示直线的倾斜角的是()ABCDA

2.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°D

D

类型一

直线的倾斜角探究

在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）(1)

已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P

的坐标有什么关系?(2)类似地，如果直线l经过P1(-1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系?探究

在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）(1)

已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P

的坐标有什么关系?(2)类似地，如果直线l经过P1(-1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系?OyxαOyxαα••探究

在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）(1)

已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P

的坐标有什么关系?(2)类似地，如果直线l经过P1(-1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标又有什么关系?(3)

一般地，如果直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α与P1,P2的坐标有怎样的关系吗？探究

在两点确定一条直线，接下来探究直线倾斜角与直线上两点坐标有何关系：平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，（请用向量法探究下面问题）(3)

一般地，如果直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2),（其中

x1≠x2）α与P1,P2的坐标有怎样的关系吗？Oyxα••OxyP1P2αOxyPP2P1思考1

上述式子与P1,P2的顺序有关吗?思考2

当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗?思考3

当直线P1P2与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗?1.定义：我们把一条直线的倾斜角

的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即k=tanα.α∈[0°

,90°

)

∪(90°

,180°

)2.公式：直线过P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,（x1≠x2）二、直线的斜率延时符倾斜角α0°30°45°90°120°150°斜率k3.常见角对应的斜率：

延时符倾斜角α0°30°45°60°90°120°135°150°斜率k3.常见角对应的斜率：

不存在xyoP(2,2)问题5

如图，当直线l绕点P(2,2)逆时针旋转时，直线l的倾斜角如何变化，

其斜率如何变化？l

诊断自测

×诊断自测×××√××

例1

如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2类型二

直线的斜率变式

若点D在BC（包括端点）上移动时,求直线AD的斜率的变化范围例1如图示,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2例2已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；类型二

直线的斜率(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.例2已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.

例3

经过A(0,2),

B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，求k的值.类型二

直线的斜率变式

已知直线l的一个方向向量为求直线l的倾斜角和斜率.

例3

经过A(0,2),

B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，求k的值.类型二

直线的斜率变式

已知直线l的一个方向向量为求直线l的倾斜角和斜率.

是直线l的一个方向向量,即又∴直线l的倾斜角为，斜率为解:【提升训练】已知经过A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α,且45°<α<135°,试求实数m的取值范围.类型二

直线的斜率【提升训练】已知经过A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α,且45°<α<135°,试求实数m的取值范围.解：A(0,2),B(0,-1),当m=0时，直线AB倾斜角α=90°.符合题意.直线AB⊥x轴，直线AB的斜率为当m≠0时，或或解得