人教版六年级数学上册典型例题系列之第四单元比的应用部分提高篇（解析版）

六年级数学上册典型例题系列之第四单元比的应用部分提高篇（解析版）编者的话：《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。本专题是第四单元比的应用部分提高篇。本部分内容以按比例分配问题和不变量问题为主，考点和题型较多，难度较大，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，一共划分为十四个考点，欢迎使用。【考点一】按比例分配：较简单的和比问题。【方法点拨】先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】六（1）班举行元旦晚会，班委会决定要买40千克水果，据调查喜欢吃苹果和桔子的人数比是5：3，苹果和桔子分别买多少千克才合适？解析：总份数＝5＋3＝8（份）苹果的质量：40×＝25（千克）

桔子的质量：40×＝15（千克）

答：苹果买25千克，桔子买15千克最合适。【对应练习1】李大伯家的果园里桃树、梨树棵数的比是5∶3，桃树和梨树共有160棵，两种树各有多少棵？解析：160÷（5＋3）＝160÷8＝20（棵）20×5＝100（棵）20×3＝60（棵）答：桃树有100棵，梨树有60棵。【对应练习2】方集小学鼓号队现有40名队员，男、女队员人数比是3︰2，校鼓号队男、女队员各有多少人？解析：40÷（3＋2）＝40÷5＝8（人）8×3＝24（人）8×2＝16（人）答：校鼓号队男队员有24人，女队员有16人。【对应练习3】落实“双减”政策，学校开展了丰富多彩的课后托管活动。篮球与足球社团深受孩子们的喜爱，成为学校的“明星”社团。某小学足球社团和篮球社团共有学生240人，足球社团和篮球社团人数比是5∶3，足球社团有多少人？解析：240×＝150（人）答：足球社团有150人。【考点二】按比例分配：复杂的和比问题。【方法点拨】和比问题，前提条件是已知和与比，因此，题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。【典型例题】某校“星火爱心社”组织开展献爱心活动：四、五、六年级共捐款18万元，六年级捐了总数的，四、五年级捐款钱数的比是。四、五、六年级各捐款多少万元？解析：六年级捐款数：（万元）（万元）四年级捐款数：（万元）五年级捐款数：（万元）答：四年级捐款4万元，五年级捐款6万元，六年级捐款8万元。【对应练习1】学校计划绿化一块280m2的空地，先划出总面积的种树，剩余的按5∶4的比种花和草，种花和种草的面积各是多少平方米？解析：280－280×＝280×100＝180（平方米）种花面积：180×＝180×＝100（平方米）种草面积：180×＝180×＝80（平方米）答：种花的面积是100平方米，种草面积是80平方米。【对应练习2】幼儿园买来1000个苹果，给小班分，其余的按3∶5分给中班和大班。大班、中班、小班各分多少个？解析：小班分得苹果个数：1000×＝200（个）中班分得苹果数：（1000－200）×＝800×＝300（个）大班分得苹果个数：（1000－200）×＝800×＝500（个）答：小班分的200个，中班分得300个，大班分得500个。【对应练习3】果园里有桃树、梨树、苹果树共360棵，其中桃树占，梨树和苹果树的棵数比是5∶3。三种树各有多少棵？解析：桃树：360×＝120（棵）360－120＝240（棵）梨树：240×＝150（棵）苹果树：240×＝90（棵）答：桃树有120棵，梨树有150棵，苹果树有90棵。【对应练习4】一批货物重1800吨，运走了，余下的按4∶3∶5分给甲、乙、丙三个队运，运得最少的队运了多少吨？解析：1800×（1－）＝1800×＝600（吨）；600÷（4＋3＋5）×3＝50×3＝150（吨）答：运得最少的队运了150吨。【考点三】按比例分配：三个数的和比问题。【方法点拨】三个数的按比例分配问题同两个数的按比例分配问题相同，先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】配制一种混凝土所需的水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5，现在要配制80吨这样的混凝土，需要水泥、黄沙、石子各多少吨？解析：80÷（2＋3＋5）＝80÷10＝8（吨）水泥：8×2＝16（吨）；黄沙：8×3＝24（吨）；石子：8×5＝40（吨）答：需要水泥16吨，黄沙24吨，石子40吨。【对应练习1】一种混凝土由水泥、黄沙、石子按配制而成。建筑工地要配制150吨这样的混凝土，需要水泥多少吨？解析：150÷（2＋3＋5）×2＝150÷10×2＝15×2＝30（吨）答：需要水泥30吨。【对应练习2】王、张、刘三家相约去上海参观世博圆，共花费了1.026万元。王家去了4人，张家去了2人，刘家去了3人。按人口分摊费用，三家人各应分摊多少万元？解析：4＋2＋3＝9王家分摊：1.026×＝0.456（万元）张家分摊：1.026×＝0.228（万元）刘家分摊：1.026×＝0.342（万元）答：王家分摊0.456万元；张家分摊0.228万元；刘家分摊0.342万元。【对应练习3】混凝土是由水泥、沙子、石子的按搅拌而成，现要搅拌20吨混凝土，需要水泥多少吨？解析：（吨答：需要水泥4吨。【考点四】按比例分配：化连比问题。【方法点拨】两个比的按比例分配问题，要先化连比，再根据按比例分配问题的方法，先求出每份数，再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】箱子里有大中小零件共140个，其中大零件与中零件的个数比是2∶3，中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个？解析：大零件∶中零件＝2∶3＝8∶12中零件∶小零件＝4∶5＝12∶15大零件∶中零件∶小零件＝8∶12∶158＋12＋15＝35140×＝32（个）140×＝48（个）140×＝60（个）答：大零件有32个，中零件有48个，小零件有60个。【对应练习1】光明小学六年级有学生140人，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组的人数比4:5，这三个小组各是多少人？解析：由题意可得，第一组:第二组:第三组=8:12:15因此，第一组：140×=32（人）第二组：140×=48（人）第三组：140×=60（人）【对应练习2】学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2:3，二班和三班分得树苗的棵数的比是5:7，求每个班各分得树苗多少棵？解析：由题可知，一、二、三班分得树苗的棵数比是10:15:21一班：414×=90（棵）二班：414×=135（棵）三班：414×=189（棵）答：略。【对应练习3】艾迪、大宽、薇儿给地主做长工，已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2，大宽和薇儿一个月的工资之比是3:4，地主每个月给他们一共51元钱的工资，那么艾迪的工资为多少元？解析：由题意可得：艾迪、大宽、薇儿三个人工资之比为3:6:8艾迪：51×=9（元）大宽：51×=18（元）薇儿：51×=24（元）答：略。【考点五】按比例分配：几何问题。【方法点拨】该类型题需要先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和，再按照按比例分配问题的方法求出各部分数量是多少。【典型例题1】长方形花坛的护栏总长60米，长与宽的比是。花坛护栏的长、宽分别是多少米？解析：（米（米（米答：花坛护栏的长是18米，宽是12米。【典型例题2】一个长方体的棱长总和是72分米，长、宽、高的比是，这个长方体的表面积是多少平方分米？解析：长：72÷4×＝18×＝10（分米）宽：72÷4×＝18×＝4（分米）高：72÷4×＝18×＝4（分米）表面积：（10×4＋10×4＋4×4）×2＝（40＋40＋16）×2＝（80＋16）×2＝96×2＝192（平方分米）答：这个长方体的表面积是192平方分米。【对应练习1】一块长方形地周长400米，长和宽的比是5∶3，这块地的面积是多少平方米？解析：400÷2＝200（米）200÷（5＋3）＝200÷8＝25（厘米）25×5＝125（米）25×3＝75（米）125×75＝9375（平方米）答：这块地的面积是9375平方米。【对应练习2】一根长120厘米的铁线焊接成一个长宽高的比为3∶2∶1的长方体框架，这个长方体框架的长宽高各是多少厘米？解析：120÷4＝30（厘米）长：30×＝30×＝15（厘米）宽：30×＝30×＝10（厘米）高：30×＝30×＝5（厘米）答：这个框架的长是15厘米，宽是10厘米，高是5厘米。【对应练习3】一个长方体棱长总和是160厘米，长、宽、高的比是5∶2∶3，这个长方体的体积是多少立方厘米？解析：160÷4＝40（厘米）长方体的长：40×＝40×＝20（厘米）长方体的宽：40×＝40×＝8（厘米）长方体的高：40×＝40×＝12（厘米）长方体的体积：20×8×12＝1920（立方厘米）答：这个长方体的体积是1920立方厘米。【考点六】按比例分配：复杂的化连比问题。【方法点拨】复杂的连比问题主要是和与比都不确定，先根据化连比的方法求出比，再根据不同问题求出对应比的和，最后再按比例分配。【典型例题】有一个长方体，棱长和是352厘米，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？解析：长+宽+高：352÷4=88（厘米）长:宽:高=6:3:2长：88×=48（厘米）宽：88×=24（厘米）高：88×=16（厘米）体积：48×24×16=18432（立方厘米）答：略。【对应练习1】一个长方体所以棱长之和是452厘米，长、宽之比是8:5，宽、高之比是6:7，求长方体的体积。解析：长+宽+高：452÷4=113（厘米）长:宽:高=48:30:35长：113×=48（厘米）宽：113×=30（厘米）高：113×=35（厘米）体积：48×30×35=50400（立方厘米）答：略。【对应练习2】有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2，已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积。解析：长+宽+高：220÷4=55（厘米）长:宽:高=6:3:2长：55×=30（厘米）宽：55×=15（厘米）高：55×=10（厘米）体积：30×15×10=4500（立方厘米）答：略。【考点七】按比例分配：相遇问题。【方法点拨】该类型题先根据相遇问题公式求出速度和，即速度和=路程÷相遇时间，再求出每份数，即和÷份数和=每份数，最后再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】A、B两城相距480千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3小时后相遇。已知甲、乙两车速度的比是9∶7，甲、乙两车每小时各行多少千米？解析：480÷3＝160（千米）甲车：160×＝90（千米）乙车：160×＝70（千米）答：甲车每小时行90千米，乙车每小时行70千米。【对应练习1】甲、乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相对开出，4.5小时后相遇，客车和货车的速度比是5∶3。货车每小时行多少千米？解析：450÷4.5＝100（千米/时）100÷（5＋3）×3＝100÷8×3＝37.5（千米）答：货车每小时行37.5千米。【对应练习2】甲乙两车从相距1080千米的两地相对开出，6小时后相遇。已知甲乙两车的速度比是5∶4，则甲车速度是每小时行多少千米？解析：1080÷6×＝180×＝100（千米）答：甲车速度是每小时行100千米。【对应练习3】A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，1.5小时后相遇，已知甲、乙两车的速度比是3∶2。甲、乙两车的速度分别是多少？解析：360÷1.5＝240（千米/时）甲车速度：240×＝240×＝144（千米/时）乙车速度：240×＝240×＝96（千米/时）答：甲车速度是144千米/时，乙车速度是96千米/时。【考点八】按比例分配：先求比，再解决问题。【方法点拨】该类型题要先通过分率关系求出对应比，再按比例分配。【典型例题1】甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？解析：甲数×＝乙数×，甲数∶乙数＝5∶45＋4＝9（份）162÷9×5＝18×5＝90162÷9×4＝18×4＝72答：甲数是90，乙数是72。【典型例题2】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？解析；甲数与乙数的比是5∶6乙数与丙数的比是3∶4＝6∶8甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶85＋6＋8＝19甲数：152÷19×5＝40乙数：152÷19×6＝48丙数：152÷19×8＝64答：甲、乙、丙三个数各是40，48，64。【对应练习1】学校运来文艺书共99本，分给甲、乙、丙、丁四个班，已知甲班分得的是乙班的，丙班分得的是乙班的，丁班分得多少本？解析：由分析可知：甲班分到的本数∶乙班分到的本数＝5∶7；丙班分到的本数∶乙班分到的本数＝2∶3甲班分到的本数∶乙班分到的本数∶丙班分到的本数＝15∶21∶14；每份不可能是2本，则每份是1本。甲班分到的本数：15×1＝15（本）乙班分到的本数：21×1＝21（本）丙班分到的本数：14×1＝14（本）丁班分到的本数：99－15－21－14＝84－21－14＝63－14＝49（本）【对应练习2】第一车间人数的等于第二车间人数的，第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人？解析：解：设第二车间有x人；第一车间有（50＋x）人（50＋x）×＝x30＋x＝xx＝30x＝100100＋50＝150（人）答：第一车间有150人，第一车间有100人。【对应练习3】某小学六年级三个班共有300人，一班的人数是二班的，二班的人数是三班的，三个班各有多少人？解析：解：设三班人数有x人，则二班人数有x人，一班人数有（×x）人。x＋x＋×x＝300x＝300x＝300÷x＝120二班：120×＝100（人）一班：100×＝80（人）答：一班有80人，二班有100人，三班有120人。【考点九】按比例分配：差比问题。【方法点拨】差比问题是已知对应比及对应量的差，先求每份数的方法，即相差数÷相差份数=每份数，再根据每份数求对应数量。【典型例题】老赵家养的公鸡与母鸡只数的比是4∶7，公鸡比母鸡少30只。老赵家养的公鸡有多少只？解析：30÷（7－4）×4＝30÷3×4＝10×4＝40（只）答：老赵家养的公鸡有40只。【对应练习1】某工厂第一、二、三车间的人数比为8∶12∶23，第一车间的人数比第二车间少80人。三个车间各有多少人？解析：80÷（12－8）＝20（人）一车间：20×8＝160（人）二车间：20×12＝240（人）三车间：20×23＝460（人）答：一车间有160人，二车间有240人，三车间有460人。【对应练习2】沙和石的比是7:9，沙比石少10吨，沙、石各多少吨？解析：每份数：10÷（9-7）=5（吨）沙：5×7=35（吨）石：5×9=45（吨）答：略。【对应练习3】把一条路按3:5:9分给甲、乙、丙三个修路队去修，已知甲队比乙队少修16km，这条路全长多少千米？解析：每份数：16÷（5-3）=8（千米）全长：8×（3+5+9）=136（千米）答：略。【对应练习4】甲、乙、丙三数的比为5:6:7，若丙比甲大4，则乙数是多少？解析：每份数：4÷（7-5）=2乙数：2×6=12答：略。【对应练习5】制造一个零件，甲需要5分钟，乙需要10分钟，丙需要8分钟，现在三人共同加工同一种零件若干个，结束任务时，甲比丙多做24个，这批零件一共有多少个？解析：甲效：，乙效：，丙效：；甲、乙、丙的工作效率之比为8:4:5每一份：24÷（8-5）=8（个）一共：8×（8+4+5）=136（个）答：略。【考点十】按比例分配：单量和比的问题。【方法点拨】该类型题是已知比和其中一个量，先求出每一份量是多少，即部分数÷对应份数=每份数，再求另外一个单量。【典型例题】中华人民共和国的国旗的长和宽的比是，教室前面的国旗长是48厘米，宽是多少厘米？解析：48×＝32（厘米）答：宽是32厘米。【对应练习1】配制一种盐水，盐和水的质量比是2∶9。现有80克盐需加水多少克？解析：80÷2×9＝40×9＝360（克）答：80克盐需加水360克。【对应练习2】小芳家养白兔35只，白兔和黑兔只数的比是5∶2，养黑兔多少只？解析：35÷5×2＝7×2＝14（只）答：养黑兔14只。【对应练习3】王伯伯要给果树喷洒农药，要求药液中药剂和水的质量比是，如果有药剂1.25千克，应加水多少千克？解析：1.25÷1×600＝1.25×600＝750（千克）答：应加水750千克。【对应练习4】学校科技节举行小论文评比活动，收到四、五、六年级小论文的数量比为2∶3∶4，已知收到五年级72篇小论文，学校一共收到三个年级多少篇小论文？解析：72÷＝72÷＝216（篇）答：学校一共收到三个年级216篇小论文。【考点十一】寻找不变量：单量不变问题。【方法点拨】单量不变问题：第1步：统一不变的单量；第2步：统一一份量；第3步：求解一份量。【典型例题】厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4，妈妈又买了7个苹果，此时苹果和橘子的个数之比为了4:3，那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少？解析：由题意可知，橘子的数量不变。方法一:因为橘子的数量不变，所以份数统一为4×3=12份即原来苹果和橘子的比为9:12现在苹果和橘子的比为16:12苹果从9份变为16份，对应的数量为7个每一份：7÷（16-9）=1（个）原来苹果：1×9=9（个）原来橘子：1×12=12（个）方法二：因为橘子的数量不变，因此把橘子看作单位“1”原来苹果占橘子的，现在苹果占橘子的根据量率对应，橘子的数量为7÷（-）=12（个）原来苹果为12×=9（个）答：略。【对应练习1】宿宿和权权两人所带的钱数之比为9:5，由于宿宿嘴馋买了一份8元的串串，他们的钱数比变为了5:3，那么原来他们各有多少钱？解析：由题意，权权的钱是不变量。根据5×3=15，原来的比变为27:15,现在的比变为25:15原来宿宿：8÷（27-25）×27=108（元）原来权权：8÷（27-25）×15=60（元）答：略。【对应练习2】学校原有足球个数和篮球个数的比是，现在又买进10个足球，这时足球个数与篮球个数的比是，学校原有篮球多少个？解析：由题意，篮球是不变量。根据7×2=14份，原来足球和篮球的比变为16:14.现在的比变为21:14原来篮球：10÷（21-16）×14=28（个）答：略。【对应练习3】某厂原有男、女职工的人数比是2∶3，现新调入男职工35人后，男、女职工人数比是5∶4，现在男职工比女职工多几人？解析：35÷（－）＝35÷＝60（人）60×－60＝75－60＝15（人）答：现在男职工比女职工多15人。【考点十二】寻找不变量：差不变问题。【方法点拨】差不变问题：（同增同减差不变）第一步：统一不变的差量；第二步：统一一份量；第三步：得出一份量。【典型例题1】壮壮和苹苹存钱数的比是，如果壮壮再存入400元，就和苹苹存的钱一样多，苹苹存了多少元？解析：（元答：苹苹存了1000元。【典型例题2】甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13，后来两人都被借走了20本书，借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3，问：甲、乙两人原来共有多少本书籍？解析：甲乙原来份数之差为25-13=12，现在份数之差为7-3=412和4的1最小公倍数为12所以，现在数量之比变为21:9每一份：20÷（25-21）=5（本）甲原来：5×25=125（本）乙原来：5×13=65（本）甲乙原来一共：125+65=190（本）【对应练习1】小明的课外书与小芳课外书之比为6:1，如果两人再各买2本后，小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1，小明原有课外书多少本？解析：份数差统一为（6-1）×（5-1）=20（份）原来小明与小芳课外书之比为24:4,现在之比为25:5每一份：2÷（25-24）=2（本）小明原来：2×24=48（本）答：略。【对应练习2】艾迪和薇儿出去玩，艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是2:3，两人都用去了200元钱买东西，买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是4:7，问薇儿原来带了多少钱？解析：份数之差统一为（3-2）×（7-4）=3份原来之比变为6:9，现在之比为4:7每一份为：200÷（6-4）=100（元）薇儿原来：100×9=900（元）答：略。【对应练习3】已知李亮与爸爸的年龄差是26岁，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，几年后,两人的年龄比是7∶20？解析：李亮与爸爸的年龄差是26岁，这是不变量，今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35，相差26份，这26份即26岁,每份是1岁，所以今年李亮：1×9=9(岁)，爸爸:1×35=35(岁)，几年后两人的年龄比是7∶20，相差20-7=13(份)，这13份即26岁，每份是26÷13=2(岁)，所以李亮是2×7=14(岁)，爸爸是2×20=40(岁)，14-9=5(年),所以再过5年李亮与爸爸的年龄比是7∶20。【对应练习4】今年大胖与二胖的年龄比是7:5，五年后，大胖与二胖的年龄比是13:10，问两人今年各几岁？解析：大胖21岁，小胖15岁。【考点十三】寻找不变量：总量不变问题。【方法点拨】总量不变问题：（给来给去和不变）第一步：统一不变的和量；第二步：统一一份量；第二步：得出一份量。【典型例题1】六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有40人参加，这时参加的同学与未参加的人数比是，六年级一共有多少人？解析：40÷（－）＝40÷（－）＝40÷（－）＝40÷＝40×＝420（人）答：六年级一共有420人。【典型例题2】小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后，小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱？解析：105÷（2＋3）＝105÷5＝21（元）小红现有钱：21×2＝42（元）小明现有钱：21×3＝63（元）小红原来有钱数：42＋18＝60（元）小明原来有钱数：63－18＝45（元）答：小红原来有60元，小明原来有45元。【对应练习1】六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3，一班给二班63本后，一班图书本数就是二班的，原来二班有图书多少本？解析：3＋5＝8（份）2＋3＝5（份）63÷（－）＝63÷＝63×＝280（本）280×＝105（本）答：原来二班有图书105本。【对应练习2】修一条小路，已修的和未修的米数比是1∶4，如果再修115米，已修的和未修的米数比是7∶5，这条小路全长多少米？解析：115÷＝115÷＝115÷＝300（米）答：这条小路全长300米。【对应练习3】甲筐有苹果8