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文档简介
六年级数学上册典型例题系列之第四单元比的应用部分提高篇(解析版)编者的话:《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的,该系列主要包含典型例题、专项练习、分层试卷三大部分。典型例题部分是按照单元顺序进行编辑,主要分为计算和应用两大部分,其优点在于考题典型,考点丰富,变式多样。专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习,其优点在于选题经典,题型多样,题量适中。分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平,主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分,其优点在于考点广泛,分层明显,适应性广。本专题是第四单元比的应用部分提高篇。本部分内容以按比例分配问题和不变量问题为主,考点和题型较多,难度较大,建议根据学生掌握情况选择性进行讲解,一共划分为十四个考点,欢迎使用。【考点一】按比例分配:较简单的和比问题。【方法点拨】先求出每份数,即和÷份数和=每份数,再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】六(1)班举行元旦晚会,班委会决定要买40千克水果,据调查喜欢吃苹果和桔子的人数比是5:3,苹果和桔子分别买多少千克才合适?解析:总份数=5+3=8(份)苹果的质量:40×=25(千克)
桔子的质量:40×=15(千克)
答:苹果买25千克,桔子买15千克最合适。【对应练习1】李大伯家的果园里桃树、梨树棵数的比是5∶3,桃树和梨树共有160棵,两种树各有多少棵?解析:160÷(5+3)=160÷8=20(棵)20×5=100(棵)20×3=60(棵)答:桃树有100棵,梨树有60棵。【对应练习2】方集小学鼓号队现有40名队员,男、女队员人数比是3︰2,校鼓号队男、女队员各有多少人?解析:40÷(3+2)=40÷5=8(人)8×3=24(人)8×2=16(人)答:校鼓号队男队员有24人,女队员有16人。【对应练习3】落实“双减”政策,学校开展了丰富多彩的课后托管活动。篮球与足球社团深受孩子们的喜爱,成为学校的“明星”社团。某小学足球社团和篮球社团共有学生240人,足球社团和篮球社团人数比是5∶3,足球社团有多少人?解析:240×=150(人)答:足球社团有150人。【考点二】按比例分配:复杂的和比问题。【方法点拨】和比问题,前提条件是已知和与比,因此,题目中没有和或比的时候,要先求出和与比。【典型例题】某校“星火爱心社”组织开展献爱心活动:四、五、六年级共捐款18万元,六年级捐了总数的,四、五年级捐款钱数的比是。四、五、六年级各捐款多少万元?解析:六年级捐款数:(万元)(万元)四年级捐款数:(万元)五年级捐款数:(万元)答:四年级捐款4万元,五年级捐款6万元,六年级捐款8万元。【对应练习1】学校计划绿化一块280m2的空地,先划出总面积的种树,剩余的按5∶4的比种花和草,种花和种草的面积各是多少平方米?解析:280-280×=280×100=180(平方米)种花面积:180×=180×=100(平方米)种草面积:180×=180×=80(平方米)答:种花的面积是100平方米,种草面积是80平方米。【对应练习2】幼儿园买来1000个苹果,给小班分,其余的按3∶5分给中班和大班。大班、中班、小班各分多少个?解析:小班分得苹果个数:1000×=200(个)中班分得苹果数:(1000-200)×=800×=300(个)大班分得苹果个数:(1000-200)×=800×=500(个)答:小班分的200个,中班分得300个,大班分得500个。【对应练习3】果园里有桃树、梨树、苹果树共360棵,其中桃树占,梨树和苹果树的棵数比是5∶3。三种树各有多少棵?解析:桃树:360×=120(棵)360-120=240(棵)梨树:240×=150(棵)苹果树:240×=90(棵)答:桃树有120棵,梨树有150棵,苹果树有90棵。【对应练习4】一批货物重1800吨,运走了,余下的按4∶3∶5分给甲、乙、丙三个队运,运得最少的队运了多少吨?解析:1800×(1-)=1800×=600(吨);600÷(4+3+5)×3=50×3=150(吨)答:运得最少的队运了150吨。【考点三】按比例分配:三个数的和比问题。【方法点拨】三个数的按比例分配问题同两个数的按比例分配问题相同,先求出每份数,即和÷份数和=每份数,再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】配制一种混凝土所需的水泥、黄沙和石子的质量比是2∶3∶5,现在要配制80吨这样的混凝土,需要水泥、黄沙、石子各多少吨?解析:80÷(2+3+5)=80÷10=8(吨)水泥:8×2=16(吨);黄沙:8×3=24(吨);石子:8×5=40(吨)答:需要水泥16吨,黄沙24吨,石子40吨。【对应练习1】一种混凝土由水泥、黄沙、石子按配制而成。建筑工地要配制150吨这样的混凝土,需要水泥多少吨?解析:150÷(2+3+5)×2=150÷10×2=15×2=30(吨)答:需要水泥30吨。【对应练习2】王、张、刘三家相约去上海参观世博圆,共花费了1.026万元。王家去了4人,张家去了2人,刘家去了3人。按人口分摊费用,三家人各应分摊多少万元?解析:4+2+3=9王家分摊:1.026×=0.456(万元)张家分摊:1.026×=0.228(万元)刘家分摊:1.026×=0.342(万元)答:王家分摊0.456万元;张家分摊0.228万元;刘家分摊0.342万元。【对应练习3】混凝土是由水泥、沙子、石子的按搅拌而成,现要搅拌20吨混凝土,需要水泥多少吨?解析:(吨答:需要水泥4吨。【考点四】按比例分配:化连比问题。【方法点拨】两个比的按比例分配问题,要先化连比,再根据按比例分配问题的方法,先求出每份数,再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】箱子里有大中小零件共140个,其中大零件与中零件的个数比是2∶3,中零件与小零件的个数比是4∶5。这三种零件各有多少个?解析:大零件∶中零件=2∶3=8∶12中零件∶小零件=4∶5=12∶15大零件∶中零件∶小零件=8∶12∶158+12+15=35140×=32(个)140×=48(个)140×=60(个)答:大零件有32个,中零件有48个,小零件有60个。【对应练习1】光明小学六年级有学生140人,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小组人数的比是2:3,第二小组和第三小组的人数比4:5,这三个小组各是多少人?解析:由题意可得,第一组:第二组:第三组=8:12:15因此,第一组:140×=32(人)第二组:140×=48(人)第三组:140×=60(人)【对应练习2】学校把414棵树苗按各班的人数分给六年级三个班。一班和二班分得树苗的棵数比是2:3,二班和三班分得树苗的棵数的比是5:7,求每个班各分得树苗多少棵?解析:由题可知,一、二、三班分得树苗的棵数比是10:15:21一班:414×=90(棵)二班:414×=135(棵)三班:414×=189(棵)答:略。【对应练习3】艾迪、大宽、薇儿给地主做长工,已知艾迪和大宽一个月的工资之比是1:2,大宽和薇儿一个月的工资之比是3:4,地主每个月给他们一共51元钱的工资,那么艾迪的工资为多少元?解析:由题意可得:艾迪、大宽、薇儿三个人工资之比为3:6:8艾迪:51×=9(元)大宽:51×=18(元)薇儿:51×=24(元)答:略。【考点五】按比例分配:几何问题。【方法点拨】该类型题需要先根据周长或棱长和的公式求出对应比的和,再按照按比例分配问题的方法求出各部分数量是多少。【典型例题1】长方形花坛的护栏总长60米,长与宽的比是。花坛护栏的长、宽分别是多少米?解析:(米(米(米答:花坛护栏的长是18米,宽是12米。【典型例题2】一个长方体的棱长总和是72分米,长、宽、高的比是,这个长方体的表面积是多少平方分米?解析:长:72÷4×=18×=10(分米)宽:72÷4×=18×=4(分米)高:72÷4×=18×=4(分米)表面积:(10×4+10×4+4×4)×2=(40+40+16)×2=(80+16)×2=96×2=192(平方分米)答:这个长方体的表面积是192平方分米。【对应练习1】一块长方形地周长400米,长和宽的比是5∶3,这块地的面积是多少平方米?解析:400÷2=200(米)200÷(5+3)=200÷8=25(厘米)25×5=125(米)25×3=75(米)125×75=9375(平方米)答:这块地的面积是9375平方米。【对应练习2】一根长120厘米的铁线焊接成一个长宽高的比为3∶2∶1的长方体框架,这个长方体框架的长宽高各是多少厘米?解析:120÷4=30(厘米)长:30×=30×=15(厘米)宽:30×=30×=10(厘米)高:30×=30×=5(厘米)答:这个框架的长是15厘米,宽是10厘米,高是5厘米。【对应练习3】一个长方体棱长总和是160厘米,长、宽、高的比是5∶2∶3,这个长方体的体积是多少立方厘米?解析:160÷4=40(厘米)长方体的长:40×=40×=20(厘米)长方体的宽:40×=40×=8(厘米)长方体的高:40×=40×=12(厘米)长方体的体积:20×8×12=1920(立方厘米)答:这个长方体的体积是1920立方厘米。【考点六】按比例分配:复杂的化连比问题。【方法点拨】复杂的连比问题主要是和与比都不确定,先根据化连比的方法求出比,再根据不同问题求出对应比的和,最后再按比例分配。【典型例题】有一个长方体,棱长和是352厘米,长与宽的比是2:1,宽与高的比是3:2,这个长方体的体积是多少立方厘米?解析:长+宽+高:352÷4=88(厘米)长:宽:高=6:3:2长:88×=48(厘米)宽:88×=24(厘米)高:88×=16(厘米)体积:48×24×16=18432(立方厘米)答:略。【对应练习1】一个长方体所以棱长之和是452厘米,长、宽之比是8:5,宽、高之比是6:7,求长方体的体积。解析:长+宽+高:452÷4=113(厘米)长:宽:高=48:30:35长:113×=48(厘米)宽:113×=30(厘米)高:113×=35(厘米)体积:48×30×35=50400(立方厘米)答:略。【对应练习2】有一个长方体,长与宽的比是2:1,宽与高的比是3:2,已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米,求这个长方体的体积。解析:长+宽+高:220÷4=55(厘米)长:宽:高=6:3:2长:55×=30(厘米)宽:55×=15(厘米)高:55×=10(厘米)体积:30×15×10=4500(立方厘米)答:略。【考点七】按比例分配:相遇问题。【方法点拨】该类型题先根据相遇问题公式求出速度和,即速度和=路程÷相遇时间,再求出每份数,即和÷份数和=每份数,最后再分别求出各部分数量是多少。【典型例题】A、B两城相距480千米,甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出,3小时后相遇。已知甲、乙两车速度的比是9∶7,甲、乙两车每小时各行多少千米?解析:480÷3=160(千米)甲车:160×=90(千米)乙车:160×=70(千米)答:甲车每小时行90千米,乙车每小时行70千米。【对应练习1】甲、乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相对开出,4.5小时后相遇,客车和货车的速度比是5∶3。货车每小时行多少千米?解析:450÷4.5=100(千米/时)100÷(5+3)×3=100÷8×3=37.5(千米)答:货车每小时行37.5千米。【对应练习2】甲乙两车从相距1080千米的两地相对开出,6小时后相遇。已知甲乙两车的速度比是5∶4,则甲车速度是每小时行多少千米?解析:1080÷6×=180×=100(千米)答:甲车速度是每小时行100千米。【对应练习3】A、B两地相距360千米,甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,1.5小时后相遇,已知甲、乙两车的速度比是3∶2。甲、乙两车的速度分别是多少?解析:360÷1.5=240(千米/时)甲车速度:240×=240×=144(千米/时)乙车速度:240×=240×=96(千米/时)答:甲车速度是144千米/时,乙车速度是96千米/时。【考点八】按比例分配:先求比,再解决问题。【方法点拨】该类型题要先通过分率关系求出对应比,再按比例分配。【典型例题1】甲数的等于乙数的,甲、乙两数的和是162,甲、乙两数各是多少?解析:甲数×=乙数×,甲数∶乙数=5∶45+4=9(份)162÷9×5=18×5=90162÷9×4=18×4=72答:甲数是90,乙数是72。【典型例题2】甲数是乙数的,乙数是丙数的,甲、乙丙三个数的和是152,甲、乙、丙三个数各是多少?解析;甲数与乙数的比是5∶6乙数与丙数的比是3∶4=6∶8甲数、乙数、丙数的比是5∶6∶85+6+8=19甲数:152÷19×5=40乙数:152÷19×6=48丙数:152÷19×8=64答:甲、乙、丙三个数各是40,48,64。【对应练习1】学校运来文艺书共99本,分给甲、乙、丙、丁四个班,已知甲班分得的是乙班的,丙班分得的是乙班的,丁班分得多少本?解析:由分析可知:甲班分到的本数∶乙班分到的本数=5∶7;丙班分到的本数∶乙班分到的本数=2∶3甲班分到的本数∶乙班分到的本数∶丙班分到的本数=15∶21∶14;每份不可能是2本,则每份是1本。甲班分到的本数:15×1=15(本)乙班分到的本数:21×1=21(本)丙班分到的本数:14×1=14(本)丁班分到的本数:99-15-21-14=84-21-14=63-14=49(本)【对应练习2】第一车间人数的等于第二车间人数的,第一车间比第二车间多50人。两个车间各有多少人?解析:解:设第二车间有x人;第一车间有(50+x)人(50+x)×=x30+x=xx=30x=100100+50=150(人)答:第一车间有150人,第一车间有100人。【对应练习3】某小学六年级三个班共有300人,一班的人数是二班的,二班的人数是三班的,三个班各有多少人?解析:解:设三班人数有x人,则二班人数有x人,一班人数有(×x)人。x+x+×x=300x=300x=300÷x=120二班:120×=100(人)一班:100×=80(人)答:一班有80人,二班有100人,三班有120人。【考点九】按比例分配:差比问题。【方法点拨】差比问题是已知对应比及对应量的差,先求每份数的方法,即相差数÷相差份数=每份数,再根据每份数求对应数量。【典型例题】老赵家养的公鸡与母鸡只数的比是4∶7,公鸡比母鸡少30只。老赵家养的公鸡有多少只?解析:30÷(7-4)×4=30÷3×4=10×4=40(只)答:老赵家养的公鸡有40只。【对应练习1】某工厂第一、二、三车间的人数比为8∶12∶23,第一车间的人数比第二车间少80人。三个车间各有多少人?解析:80÷(12-8)=20(人)一车间:20×8=160(人)二车间:20×12=240(人)三车间:20×23=460(人)答:一车间有160人,二车间有240人,三车间有460人。【对应练习2】沙和石的比是7:9,沙比石少10吨,沙、石各多少吨?解析:每份数:10÷(9-7)=5(吨)沙:5×7=35(吨)石:5×9=45(吨)答:略。【对应练习3】把一条路按3:5:9分给甲、乙、丙三个修路队去修,已知甲队比乙队少修16km,这条路全长多少千米?解析:每份数:16÷(5-3)=8(千米)全长:8×(3+5+9)=136(千米)答:略。【对应练习4】甲、乙、丙三数的比为5:6:7,若丙比甲大4,则乙数是多少?解析:每份数:4÷(7-5)=2乙数:2×6=12答:略。【对应练习5】制造一个零件,甲需要5分钟,乙需要10分钟,丙需要8分钟,现在三人共同加工同一种零件若干个,结束任务时,甲比丙多做24个,这批零件一共有多少个?解析:甲效:,乙效:,丙效:;甲、乙、丙的工作效率之比为8:4:5每一份:24÷(8-5)=8(个)一共:8×(8+4+5)=136(个)答:略。【考点十】按比例分配:单量和比的问题。【方法点拨】该类型题是已知比和其中一个量,先求出每一份量是多少,即部分数÷对应份数=每份数,再求另外一个单量。【典型例题】中华人民共和国的国旗的长和宽的比是,教室前面的国旗长是48厘米,宽是多少厘米?解析:48×=32(厘米)答:宽是32厘米。【对应练习1】配制一种盐水,盐和水的质量比是2∶9。现有80克盐需加水多少克?解析:80÷2×9=40×9=360(克)答:80克盐需加水360克。【对应练习2】小芳家养白兔35只,白兔和黑兔只数的比是5∶2,养黑兔多少只?解析:35÷5×2=7×2=14(只)答:养黑兔14只。【对应练习3】王伯伯要给果树喷洒农药,要求药液中药剂和水的质量比是,如果有药剂1.25千克,应加水多少千克?解析:1.25÷1×600=1.25×600=750(千克)答:应加水750千克。【对应练习4】学校科技节举行小论文评比活动,收到四、五、六年级小论文的数量比为2∶3∶4,已知收到五年级72篇小论文,学校一共收到三个年级多少篇小论文?解析:72÷=72÷=216(篇)答:学校一共收到三个年级216篇小论文。【考点十一】寻找不变量:单量不变问题。【方法点拨】单量不变问题:第1步:统一不变的单量;第2步:统一一份量;第3步:求解一份量。【典型例题】厨房里原有苹果和橘子的个数之比为3:4,妈妈又买了7个苹果,此时苹果和橘子的个数之比为了4:3,那么厨房里原有苹果和橘子的个数分别是多少?解析:由题意可知,橘子的数量不变。方法一:因为橘子的数量不变,所以份数统一为4×3=12份即原来苹果和橘子的比为9:12现在苹果和橘子的比为16:12苹果从9份变为16份,对应的数量为7个每一份:7÷(16-9)=1(个)原来苹果:1×9=9(个)原来橘子:1×12=12(个)方法二:因为橘子的数量不变,因此把橘子看作单位“1”原来苹果占橘子的,现在苹果占橘子的根据量率对应,橘子的数量为7÷(-)=12(个)原来苹果为12×=9(个)答:略。【对应练习1】宿宿和权权两人所带的钱数之比为9:5,由于宿宿嘴馋买了一份8元的串串,他们的钱数比变为了5:3,那么原来他们各有多少钱?解析:由题意,权权的钱是不变量。根据5×3=15,原来的比变为27:15,现在的比变为25:15原来宿宿:8÷(27-25)×27=108(元)原来权权:8÷(27-25)×15=60(元)答:略。【对应练习2】学校原有足球个数和篮球个数的比是,现在又买进10个足球,这时足球个数与篮球个数的比是,学校原有篮球多少个?解析:由题意,篮球是不变量。根据7×2=14份,原来足球和篮球的比变为16:14.现在的比变为21:14原来篮球:10÷(21-16)×14=28(个)答:略。【对应练习3】某厂原有男、女职工的人数比是2∶3,现新调入男职工35人后,男、女职工人数比是5∶4,现在男职工比女职工多几人?解析:35÷(-)=35÷=60(人)60×-60=75-60=15(人)答:现在男职工比女职工多15人。【考点十二】寻找不变量:差不变问题。【方法点拨】差不变问题:(同增同减差不变)第一步:统一不变的差量;第二步:统一一份量;第三步:得出一份量。【典型例题1】壮壮和苹苹存钱数的比是,如果壮壮再存入400元,就和苹苹存的钱一样多,苹苹存了多少元?解析:(元答:苹苹存了1000元。【典型例题2】甲、乙两人原有书籍数量之比是25:13,后来两人都被借走了20本书,借完后甲、乙两人书籍数量的比是7:3,问:甲、乙两人原来共有多少本书籍?解析:甲乙原来份数之差为25-13=12,现在份数之差为7-3=412和4的1最小公倍数为12所以,现在数量之比变为21:9每一份:20÷(25-21)=5(本)甲原来:5×25=125(本)乙原来:5×13=65(本)甲乙原来一共:125+65=190(本)【对应练习1】小明的课外书与小芳课外书之比为6:1,如果两人再各买2本后,小明现有的课外书与小芳的课外书之比为5:1,小明原有课外书多少本?解析:份数差统一为(6-1)×(5-1)=20(份)原来小明与小芳课外书之比为24:4,现在之比为25:5每一份:2÷(25-24)=2(本)小明原来:2×24=48(本)答:略。【对应练习2】艾迪和薇儿出去玩,艾迪和薇儿两人所带的钱数之比是2:3,两人都用去了200元钱买东西,买完后艾迪和薇儿剩下的钱数之比是4:7,问薇儿原来带了多少钱?解析:份数之差统一为(3-2)×(7-4)=3份原来之比变为6:9,现在之比为4:7每一份为:200÷(6-4)=100(元)薇儿原来:100×9=900(元)答:略。【对应练习3】已知李亮与爸爸的年龄差是26岁,今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35,几年后,两人的年龄比是7∶20?解析:李亮与爸爸的年龄差是26岁,这是不变量,今年李亮与爸爸的年龄比是9∶35,相差26份,这26份即26岁,每份是1岁,所以今年李亮:1×9=9(岁),爸爸:1×35=35(岁),几年后两人的年龄比是7∶20,相差20-7=13(份),这13份即26岁,每份是26÷13=2(岁),所以李亮是2×7=14(岁),爸爸是2×20=40(岁),14-9=5(年),所以再过5年李亮与爸爸的年龄比是7∶20。【对应练习4】今年大胖与二胖的年龄比是7:5,五年后,大胖与二胖的年龄比是13:10,问两人今年各几岁?解析:大胖21岁,小胖15岁。【考点十三】寻找不变量:总量不变问题。【方法点拨】总量不变问题:(给来给去和不变)第一步:统一不变的和量;第二步:统一一份量;第二步:得出一份量。【典型例题1】六年级学生报名参加数学兴趣小组,参加的同学是六年级总人数的,后来又有40人参加,这时参加的同学与未参加的人数比是,六年级一共有多少人?解析:40÷(-)=40÷(-)=40÷(-)=40÷=40×=420(人)答:六年级一共有420人。【典型例题2】小红和小明一共有105元钱。小红给小明18元后,小红与小明钱数的比正好是2∶3。小红、小明原来各有多少元钱?解析:105÷(2+3)=105÷5=21(元)小红现有钱:21×2=42(元)小明现有钱:21×3=63(元)小红原来有钱数:42+18=60(元)小明原来有钱数:63-18=45(元)答:小红原来有60元,小明原来有45元。【对应练习1】六年级一班和二班原有图书本数的比是5∶3,一班给二班63本后,一班图书本数就是二班的,原来二班有图书多少本?解析:3+5=8(份)2+3=5(份)63÷(-)=63÷=63×=280(本)280×=105(本)答:原来二班有图书105本。【对应练习2】修一条小路,已修的和未修的米数比是1∶4,如果再修115米,已修的和未修的米数比是7∶5,这条小路全长多少米?解析:115÷=115÷=115÷=300(米)答:这条小路全长300米。【对应练习3】甲筐有苹果8
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