2024版创新设计高考总复习 数学 人教A版第1节 平面向量的概念及线性运算

第五章

DIWUZHANG平面向量、复数

第1节平面向量的概念及线性运算

考试要求L了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的

含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性

运算的性质及其几何意义.

知识诊断.基础夯实

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示，此时有向线段的

方向就是向量的方向.向量油的大小就是向量的运度(或称模)，记作曲.

⑵零向量：长度为0的向量,记作0.

⑶单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量8平行，记作。〃瓦

规定：0与任一向量平行.

⑸相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

C

a+*X\z>

(1)交换律：

A/a

求两个向量和的g-\-b=b-\-g

加法

运算三角形法则(2)结合律：

Bac

(a+〃)+c=a+S+c)

定b

OA

平行四边形法则

求两个向量差的

减法Q—5=a+(—b)

运算a

三角形法则

⑴加|=皿；

规定实数A与向

(2)当2>0时，痴的方向

量a的积是一个z(//a)=；

与a的方向相同;当A

数乘向量，这种运算(A+〃)a=；

<0时，Xa的方向与a

叫做向量的数

的方向相反;当A=0时，

乘，记作

Aa=O

3.共线向量定理

向量a(aWO)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使/>=而.

［常用结论］

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，。为平面内任一点，则罚=3

(OA+OB).

2.醇=%为+〃花(九〃为实数)，若点A,B,C共线(。不在直线8c上)，则2+

〃=1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考

虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)⑷与步|是否相等和a,8的方向无关.()

(2)若a〃A,bile,则a〃c()

(3)向量箱与向量诙是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量a,方共线时，一定有8=痴，反之成立.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析(2)若方=0,则。与c不一定平行.

(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A,B,C,D四点不一定在

一条直线上.

2.（多选）下列命题中，正确的是（）

A.若a与方都是单位向量，则a=Z>

B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

C.若用有向线段表示的向量疵与而不相等，则点M与N不重合

D.海拔、温度、角度都不是向量

答案CD

解析A错误，单位向量长度相等，但是方向不确定；

B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；

C正确，由于向量起点相同，但长度不相等或方向不同，所以终点不同；

D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.

13

3.（必修二P16例8改编）已知a,8是两个不共线向量，向量力一役与尹一尹共线，

则实数t=.

答案|

解析由题意知，存在实数力,使得小一勿=/生-|，，

卜=一3，1

则<解得/=不

［乎=一1,

4.（必修二P14例6改编）在平行四边形ABC。中，BC的中点为M,且荏=a,AD

=b,用方表示与f=.

答案a+^b

1

解析AM=AB+BM=AB+^BC=AB+^Ab=a?

考点突破•题型剖析

考点一平面向量的有关概念

例1（1）（多选）下列命题正确的有（）

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若A,B,C,。是不共线的四点，且屈=虎”Q"四边形ABC。是平行四

边形”

答案AD

解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共

线，故A正确；

单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；

两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相

同的起点和终点，故C错误；

A,B,C,D是不共线的点，AB=DC,即模相等且方向相同，即平行四边形

A8CO对边平行且相等，反之也成立，故D正确.

⑵设a,）都是非零向量，下列四个条件中，使祸=日成立的充分条件是（）

A.a=—bB.a〃b

C.a=2b且闷=网

答案C

解析因为向量潦的方向与向量。方向相同，向量余的方向与向量方方向相同，

且⑷一时

所以向量a与向量8方向相同，故可排除选项A,B,D.

waa_2b_b

当时，而=时=而，

故a=2b是含=告成立的充分条件.

感悟提升平行向量有关概念的四个关注点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

⑶向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函

数图象的平移混淆.

（4）非零向量。与言的关系：言是与a同方向的单位向量.

训练1（1）（多选）下列命题中正确的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.Q与b同向,且同＞向，则

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

答案AD

解析由平行向量和共线向量可知，A正确；

因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；

因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，所以C

是错误的；

因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量一定

平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确.

(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在腰

AD,上，Eb过点P,MEF//AB,则下列等式中成立的是()

\.AD=BCB.A<J=BD

C.PE=PFD.EP=PF

答案D

解析根据向量的定义，疝与比的方向不同，故A错；

危与防的方向不同，故B错；

助与而的方向相反，故C错；

用与苏方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，故D正确.

考点二向量的线性运算

角度1平面向量加、减运算的几何意义

例2(2023・芜湖调研)如图，等腰梯形4BCO中，A8=3C=CO=3AO,点E为线

段CO上靠近C的三等分点，点尸为线段的中点，则走=()

AD

B.—j^Afi+^AC

A.—

D.—^AB+^AC

C.—

答案A

解析由题图，得走=危+走=；及+!诙=；（危一砌+］丽+日国

1―^1—►2—►2—►1—►11—►5—►,,、①

=jAC—7AB+xAB—xAC—4c.故选A.

LLyyJ1010

角度2向量的线性运算

例3在△ABC中，BD=^BC,若屈=a,AC=b,则疝等于（）

2,1,„1,2,

A.^a+2bB.^a+^b

-12,-21

C.Qa—g力D.ga——g8

答案A

解析如图，过点。分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点E,F,则四边形

AEDF为平行四边形,

所以疝=成+能.

因为9)=］病，

所以港=1^方，AF=^AC,

2—］-21

所以无t力=式^+］衣'=3。+1。.

角度3利用向量的线性运算求参数

例4在△A3C中，AB=2,BC=3小,ZABC=30°,AO为3C边上的高.若屈)=

1A3+//AC,贝!J2—〃=.

答案3

解析如图.

\'AD为8C边上的高，

：.ADA.BC.

'：AB=2,ZABC=30°,

BD=-\[3=^BC,

.,.AD=AB+Bb=AB+^BC=AB+^AC—AB）=^AB+^AC.

又•.,屐）=%油+厌，

•»z—3，〃—3，故见一〃—3，

感悟提升平面向量线性运算的常见类型及解题策略

（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

⑵求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

训练2（1）（2022•青岛模拟）已知平面四边形45CD满足病=；病，平面内点E满足

BE=3CE,C。与AE交于点M,若夙f=x协+）疝，则x+y等于（）

A尚B.—|

44

C.2D.-2

答案c

解析如图所示，

AD

BCE

易知8C=4AO,CE=2AD,

BM=AM-AB=^AE-AB=^AB+BE)-AB=^AB+6Ab)-AB=-^AB+2Ab,

24

所以x=-g,y=2,故x+y=Q.

(2)(2023•福州质检)在平行四边形ABC。中，M是对角线AC上的一点，且瓶=；

AC,设油=a,AD=b,则必+血=(用。，)表示).

1?

答案2a~3b

解析由向量加法的平行四边形法则，得

AC=AB+AD=a+b,则最7=；(a+Z>),

所以说1+讪=一篇7+磊_/^/=屈一2翁/="一1(“+))=铲—欣.

考点三共线向量定理的应用

例5(1)(2022•绵阳二诊)已知平面向量a,b不共线，AB=4a+6b,BC=-a+

3b,CD=a+3b,则()

A.A,B,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

答案D

解析对于A,BD=BC+CD=-a+3b+(a+3b^6b,与协不共线，A不正

确；

对于B,AB=4a+6b,BC=~a+3b,则施与就不共线，B不正确；

对于C,BC=~a+3b,CD=a+3b,则比与诙不共线，C不正确；

对于D,AC=AB+BC=4a+6b+(~a+3b)=3a+9b=3CD,即危〃金，又线

段AC与CD有公共点C,所以A,C,。三点共线，D正确.故选D.

(2)(2023•山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直

线分别与AB，AC两边交于M,N两点，1§：XAB=AM,yAC=AN,则的值为

xy

A

答案A

解析延长AG交3C于点”（图略），则”为的中点,

VG为△ABC的重心，

I3X2,；利=如+嗣.

,：M,G,N三点共线，

.1.1-.

••式+豆=1，

即｝+；=3.故选A.

xy

感悟提升利用共线向量定理解题的策略

（1）4〃）=4=劝（后0）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思

想的运用.

⑵当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线

0麴，危共线.

⑶若a与b不共线且则2=^=0.

（4）O4=AdB4-//0CG，〃为实数），若A,B,C三点共线（。不在直线上），则

2+〃=1.

训练3（1）（2023•哈尔滨调研）设ei与e2是不共线的非零向量，若kex+ez与e\+kei

共线且方向相反，则上的值是（）

A.-lB.1

C.±lD.任意不为零的实数

答案A

解析设上ei+e2=〃?（ei+-2）,且加＜0,

因为均与62是不共线的非零向量，

k=m,m=-1,

所以,,解得仁T故选A

J=mk,

（2）（2022.安徽十校联考）如图，在△ABC中，AD=2DB,P为CD上一点,且满足

AP=eR）,则加的值为（）

A--4

C4D4

答案C

解析由屐）=2加，可得福=|屈）,

即才A=mAC+2^5=mAC+^D.

因为C,P,。三点共线，

31

所以m+^=i,•故选c.

r■等和线的应用拓展视野

等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若罚=

2。4+〃03（九〃GR）,则％+〃=1,由△045与△04夕相似，必存在一个常数

k,k^R,使得办舁，则存心%舁=双为+初为，又舁&x次+y丽（x,

y£R）,.•.x+y=M2+〃）=Z；反之也成立.

（2）平面内一组基底为，为及任一向量办，，0P'=k0A+n0B^,"6R）,若点P

在直线A3上或在平行于的直线上，则4+〃=武定值）；反之也成立，我们把

直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和（高）线.

例给定两个长度为1的平面向量才1和彷，它们的夹角为120。，如图，点C在以

。为圆心的圆弧检上运动，若比=工醇+），为，其中x,yGR,则x+y的最大值

是.

答案2

解析法一由已知可设。4为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系

（图略）.

其中A（l,0）,一:，坐）,C（cos。，sin，），（其中NAOC=。，0W但用.

则有近=（cosO,sinO）=x（l,0）+｛一坐），

（v

x-]=COS仇

即近

2y-sm。仇

得x=Wsin9+cos仇y=^^sin仇

x+y=^sin0+cos夕+^^sin8=V§sin6+cos8=2sin（e+知

27r

其中OWOWw，所以（x+y）max=2,

当且仅当。=押取得.

法二如图，

连接交。。于点。,

设沆）=灰，

由于加=x5X+y彷，

所以沆）=r（x5X+y浦）.

因为。，A,B三点在同一直线上，

所以加+?=1,x+y=:,

由于|历|=4为=人

当OOUB时t取到最小值g,

当点。与点A或点8重合时，取到最大值1,

故1Wx+yW2.故x+y的最大值为2.

法三（等和线法）连接A3,

过。作直线/〃则直线/为以晶，为为基底的平面向量基本定理系数的等和

线，显然当/与圆弧相切于G时，定值最大，

因为NAOB=120。，

所以灾'1=宓+彷，

所以x+y的最大值为2.

训练如图，在△A3C中，H为BC上异于B,。的任一点，M为A”的中点，若

AM=AAB+/iAC,则4+〃=.

答案!

解析由等和线定理可知2+〃=翳=/

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.给出下列命题，正确的命题为（）

A.向量屈的长度与向量函的长度相等

B.向量a与万平行，则。与万的方向相同或相反

C.\a\+\b\=\a-b\^a与b方向相反

D.若非零向量。与非零向量8的方向相同或相反，则a+8与a,8之一的方向相

同

答案A

解析对于A,向量屈与向量丽的长度相等，方向相反，命题成立；

对于B,当a=0时，不成立；

对于C,当a,b之一为零向量时，不成立；

对于D,当a+Z>=0时，a+〃的方向是任意的，它可以与a,8的方向都不相同.

2.设。是非零向量，义是非零实数，则下列结论中正确的是（）

A.a与2a的方向相反B.a与Ma的方向相同

C.|—D.|-Aa|^|2|a

答案B

解析对于A,当4>0时，a与痴的方向相同，当人<0时，a与〃的方向相反，

故A不正确；

对于C,|—za|=|—z||a|,由于|—用的大小不确定，故|一脑|与同的大小关系不确

定，故C不正确；

对于D,1711a是向量，而|一表示长度，两者不能比较大小，故D不正确；只有

B正确.

3.（多选）（2022.厦门调研）下列能化简为质的是（）

A.QC-QP+CQ^.AB+（PA+BQ）

CW+PC）+（BA-gC）D.PA+AB-BQ

答案ABC

解析对于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,符合题意；

对于B,AB+(PA+BQ)=(PA+AB)+BQ=PB+BQ=PQ,符合题意；

对于C,(AB+PC)+(BA-QC)=(A^+BA)+(CQ-&)=O+PQ=PQ,符合题

意；

对于D,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ,不符合题意.故选ABC.

4.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是一个非零向量，则下列结论不正确的是

()

A.a//bB.a+b=a

C.a-\-b—bD.|a+i>|=|a|+|i>|

答案B

解析由题意得，a=(AB+CD)+(BC+DA)=Ac4-CA=0,且b是一个非零向

量，

所以。〃分成立，所以A正确；

由以上可知。+。=儿所以B不正确，C正确；

由|Q+[=IM，闷+步|=步|,

所以旧+臼=同+步|,所以D正确.

5.(2023•枣庄调研)已知a,b是两个不共线的平面向量，向量箱=痴+儿AC=a

一〃伙九〃eR),若筋〃At,则有()

A：+〃=2B.2—//=1

C./〃=-1D.z//=1

答案C

解析因为矗〃病，所以存在实数攵使荏=疏.

因为A3=2a+4AC=ci—卜ib(Z,〃WR),

所以2a+b=Z(a—〃〃)，

f2=左，

可得[z所以勿=—1,故选C.

u=一%

6.(2022・长春调研)在AABC中，延长8c至点M使得BC=2CM,连接AM,点N

为AM上一点且病=；/必，若俞=2牯+〃危，则%+〃=()

A.gB.；

C.-gD.一；

答案A

解析由题意，知俞协+丽f)

=7AB+|x|BC=|Afi+^(AC—AB)=—

又俞=2屈+〃危，

所以2=—1,"=3,贝!]%+〃='.

7.(2023・广州质检)在平行四边形A8CD中，M,N分别是AO,CO的中点，若血

=mBN=b,则肪=()

3222

B.^a+^b

C.%+%D.|/z+%

答案B

解析因为四边形ABC。是平行四边形，M,N分别为AD,CO的中点，所以的

=AM-AB=^AD-AB,BN=BC+CN=AD-^AB,

又血=a,BN=b,所以;疝一屈=a,①

AD—^AB=b,②

(/--x—-►42—►24

由①②得4。=1。-ga,AB=-^b—^a,

则防=疝一屈=&-|@一阜一„=表+多,故选B.

8.已知向量a,分不共线，且c=ia+),d=a+(2A—l)b,若c与d共线反向，则

实数A的值为.

答案

解析由于c与d共线反向，

则存在实数%使。=〃（Z〈0）,

于是=k[a+（2A—1）Z>],

整理得加+》=痴+（2求一k）b.

,入=k,

由于a,8不共线，所以有…，，,

2/.K—K=I,

整理得2产一%一1=0,

解得2=1或2=一去

又因为％<0,所以2<0,故a=-g.

9.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|西一而=|西+近一2次则

△ABC的形状为.

答案直角三角形

解析OB+OC-2OA=（OB-OA）+（OC-OA）=AB+AC,OB-OC=CB=AB-

AC,

：.\AB+AC\=\AB-AC\.

故A,B,C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.

10.（2023•南通段考）已知△ABC的重心为G,若反;=》卷+），辰;，则x—y=

答案一1

解析法一连接AG,并延长AG交8C于点。（图略）.

因为△ABC的重心为G,

-—**2­►21―►―►1―►1-►

所以AG=wAO=§X/（AB+AC）=§AB+wAC,①

由南=屈+或得后一协=屈+薪，

即废7=（九+1）丽+展，②

f..1f2

产+1=?x=~y

由①②得彳[解得J]

、尸》〔尸于

所以x—y=-1.

法二因为尻7=x肪+y危，

所以访+x(原一GX)+y(Gt—6X)=0,

即(1+九)击+(—x—力襦+)，沆=0,

因为G为△ABC的重心，

所以(1+x)：(―x—y):y=1：1：1,

'=_2

1+x=­x—y,x3'

所以解得<.

[―X—y=y,\

所以X—y=-1.

11.已知a,8不共线，OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设fGR,如果

3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若

存在，求出实数，的值，若不存在，请说明理由.

解由题设知，CD—d—c=2b—3a,

CE=e—c=(1-3)a+tb,

C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数&,使得无=攵&),

即Q—3)a+rf>=—3ka+2kb,

整理得。-3+3k)a=(2&—。4

因为a,办不共线，

t—3+3攵=0,解得尸.

所以有,

2k—t=0,

故存在实数，=，使C,D,E三点在一条直线上.

12.如图，在△ABC中，。为的四等分点，且靠近8点，E,E分别为AC,AD

的三等分点，且分别靠近A,。两点，设矗=a,AC=b.

A

E

F

B

D

(1)试用a,6表示比，AD,BE-,

(2)证明：B,E,尸三点共线.

⑴解在△ABC中，因为协=a,AC=b,

所以册=危—油=万一。，

AD=^+Bb=AB+^BC=a+^b—a)=^a+^b,

BE=BA+AE=—AB+|AC=~a+^b.

(2)证明因为应'=-a+；〃，

BF=BA+AF=—AB+|xb=—a+|Qa+^=—^a+^Z>=^—a+|^,

所以济=3牖，即脐与丽共线，且有公共点8,所以B,E,f三点共线.

【B级能力提升】

13.(多选)(2022・济南调研)下列命题正确的是()

A.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且AB=C£>,则磊=诙

B.在△ABC中，若O点满足次+为+灰'=0,则。点是△ABC的重心

C.若Q=(1,1),把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)

一CA

D.在△ABC中，若于=2=+=，则P点的轨迹经过△ABC的内心

l|CA|\CB\)

答案BD

解析对于A,如图，

1111

ABDC

A,B,C,。四点满足条件，但协力诙，故A错误；

对于B,设的中点为。，当宓+为+沆=0时，能得到宓=一(彷+的,

所以昂=一2历，所以。是△ABC的重心，故B正确.

对于C,向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故