专题5.5 三角恒等变换2（重点题型解题技巧）（解析版）2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

第第页专题5.5三角恒等变换2（重点题型解题技巧）【题型1三角函数非特殊角填空问题】【题型2探究最值】【题型3三角函数和差、半角正切公式】题型1三角函数非特殊角填空问题一些非特殊角的三角恒等变形求值填空题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元，再利用恒等变形公式计算其结果形如1、利用三角公式化简：解：令，即故形如2、求的值解：令即即则必须满足条件形如3、求的值解：令即：即：故：形如4、求值解：令即即即同时除以得：1．化简：（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】根据题意，由辅助角公式以及正弦函数的和差角公式化简，代入计算，即可得到结果.【详解】.故选：B2．（

）A．16 B．32 C．48 D．52【答案】B【分析】根据辅助角公式，倍角公式化简计算.【详解】，所以．故选：B3．若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的诱导公式、同角公式、二倍角正弦公式和辅助角公式求解.【详解】依题意，，即，则，即，而，所以.故选：D4．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果.【详解】由积化和差公式可得，故，由和差化积公式可得，故所以.故选：A【点睛】和差化积公式：，，，积化和差公式：，，，.5．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：BCD6．下列等式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】A选项，利用三角恒等变化得到，结合，判断出函数值的正负，求出答案；B选项，利用正切和角公式逆运算得到；C选项，利用平方差公式，同角三角函数关系及二倍角公式求出C错误；D选项，利用差角公式化简计算出D正确.【详解】A中，.，,，，，原式，所以A错误；B中，，B正确；C选项，，C错误；D选项，，D正确；故选：BD7．下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】诱导公式结合和角余弦公式计算判断A；诱导公式结合倍角余弦公式计算判断B;凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D.【详解】对于A，，A是；对于B，，B不是；对于C，，C是；对于D，，D不是.故选：AC8．化简并求值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.【详解】（1）.（2）.（3）.9．计算求值：(1)已知、均为锐角，，，求的值(2)计算的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方和公式和三角函数的和差公式即可得答案.（2）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式即可得答案.【详解】（1）、均为锐角，则，所以，，所以.（2）.10．计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.（2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可.【详解】（1）（2）∵、都为锐角，∴，又，∴，，∴.题型2探究最值定理：若存在最大值，若存在最小值，若最大值最小值都可以根据函数的奇偶性来求算，其中求最值得充要条件：证明最大值如下：∴时取最值①必要信息：若取最大值，若取最小值.②，则则注意：Ⅰ若中带有的式子，则中必有带，若中带有的式子，则中必有带.Ⅱ若，则，反之亦然Ⅲ最小值时通常取形如1、已知函数，则的最小值是____________解：第一步：第二步：取得最值时按照必要信息，满足最值的式子，此时求得最大值.，满足最值的式子，此时求得最小值为.形如2、已知函数，则的最小值是__________解：第一步：第二步：取得最值时求最小值时取负号满足最值的式子，此时求得最小值为形如3、已知函数，则的最大值是______解：第一步：第二步：取得最值时根据必要信息，求最大值时取正号，，满足最值的式子，此时求得的最大值为1．关于函数有以下四个结论：①是周期函数．②的最小值是0．③的最大值是4．④的零点是．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用二倍角的正弦及辅助角公式变形函数的解析式，再逐一分析各个命题即可判断作答.【详解】依题意，，因为的最小正周期为，因此的最小正周期为，①正确；当，即时，，②正确；当时，，③错误；由得：，则或,解得或，即或，因此，④正确，所以正确结论的个数是3.故选：C2．已知函数，则的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数关系式整理函数解析式，换元，根据辅助角公式，整理可得二次函数，可得答案.【详解】，令，即，由，则.故选：A.3．函数，则的最大值为.【答案】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.【详解】因为，故函数的最大值为.故答案为：.4．已知则函数的最大值为.【答案】【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】，,令,因为,所以,所以,所以,所以,对称轴,所以在单调递增,所以当时，,即当,时，有最大值.故答案为:.5．函数，若的最大值和最小值是．【答案】，【分析】注意sinx+cosx与sinx•cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．【详解】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），当x∈[0，]时，则t∈[1，]，所以2sinxcosx＝t2﹣1，则y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上单调递增，此时y的最大值是，而最小值是3．故答案为：，6．已知实数，若函数的最大值为，则a的值为.【答案】【分析】利用换元法，令，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数，然后分类求最值.【详解】设，则，则，，，对称轴方程为，当时，，解得（舍）或（舍）；当时，，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，同角三角函数平方关系的应用，利用换元法求函数的最值问题，分类讨论求二次函数的最值问题，是中档题.7．函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的最大值为．【答案】【分析】利用换元法，将三角函数转化成二次函数式，依据参数的取值范围求得最值．【详解】令且，所以则，所以所以对称轴为，因为所以当时取得最大值为【点睛】本题考查了换元法在求函数最值中的应用，这种三角形整体换元法不是很常见，需要特别注意，属于难题．8．已知，则的最大值为．【答案】【分析】设，，求得的取值范围，再用表示函数，求出的最大值．【详解】设，，则又，则∴，∴．∵∴∴∴时，函数单调递增则时，取得最大值为．故答案为：．题型3三角函数和差、半角正切公式技巧总结①②③④⑤⑥⑦只要都有只要都有只要都有⑧中，（正切恒等式）形如1、若，则的值为（）A． B． C． D．解：因为，则.故选：D.形如2、已知为正三角形，则的值为（）A． B． C． D．解：因为为正三角形，所以，所以.故选：B.形如3、已知、、为的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为（）A． B． C． D．1解：在中，，，，,角为锐角,，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.故选：C.1．（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.【详解】，，，所以，所以.故选：A2．化简（

）A．8 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】构造两角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可.【详解】因为，所以，即，故选：B3．的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切和差角公式即可求解.【详解】,故选：C4．已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和正切公式及条件求得，然后化切为弦，结合两角差的余弦公式求得，从而利用两角和余弦公式得，从而利用二倍角公式可求解.【详解】由题意可得，因为，所以，由，得，故，所以.故选：C.5．的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用两角和的正切公式求解即可.【详解】.故选：B6．（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】根据题意，逆用正切的和差角公式，即可得到结果.【详解】，故选：A．7．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用两角和差的正切公式即可得出．【详解】．故选：D．【点睛】本题考查两角和差的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．8．等于（

）A． B． C．1 D．1【答案】D【分析】直接利用两角和的正切公式的变形公式化简计算即可【详解】，故选：D9．A．1 B．-1 C． D．【答案】B【详解】分析：利用两角和的正切函数，化简求解即可.详解：，即有，故选：B.点睛：本题考查两角和与差的正切函数，考查计算能力.10．（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】将代入所求的式子，即可求解.【详解】.故选:C.【点睛】本题考查非特殊角的三角函数求值，考查公式变形应用，化非特殊角为特殊角，非特殊角相消相约，达到求值目的，属于基础题.11．“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分亦不必要条件【答案】D【分析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此时无意义；∴“”是“”的既不充分亦不必要条件．故选D．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解决此类题的常用方法，属于基础题．12．值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，即可得出答案.【详解】解：因为，所以所以.故选：C.13．已知，则的值为．【答案】3【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】已知，所以，故答案为：14．已知，满足，则．【答案】【分析】根据题意结合两角和差公式整理得，进而可得结果.【详解】因为，即，整理得，即，所以．故答案为：．15．在中，已知．(1)求；(2)若的面积为，，求AB的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由及可求；（2）方法1：由题条件及求