山东省菏泽市2024届高三上学期11月期中考试数学试题（B）（解析版）

PAGEPAGE1山东省菏泽市2024届高三上学期11月期中考试数学试题（B）一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，解得，因为，解得，所以，，所以,故选：D.2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由题意可知龙城飞将在，不教胡马度阴山，而不教胡马度阴山，不一定是龙城飞将在，所以“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的必要条件，故选：A3.设，，则M，N的大小关系为（）．A. B. C. D.大小关系不确定【答案】A【解析】∴故选：A4.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的大小无法确定【答案】C【解析】甲购买猪肉的平均单价为：，乙购买猪肉的平均单价为：，显然，且，当且仅当时取“=”，因为两次购买的单价不同，即，所以，即乙的购买方式平均单价较大.故选：C.5.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A.0 B.2 C.－3 D.3【答案】A【解析】因为函数满足，且为上的奇函数，所以，所以，即的一个周期为4，所以.故选：A.6.已知为钝角，，则（）A. B. C.7 D.【答案】D【解析】由为钝角，得，，所以.故选：D.7.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如那么不等式成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，即为，解得，故选：B.8.已知是边长为的正三角形，若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示是边长为的正三角形，，，.所以的最小值为.故选：A.二、多项选择题9.设，满足，则下列结论正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为4C.的最大值为2 D.的最小值为4【答案】BD【解析】由，得：，当且仅当时，等号成立，故A不正确.，当且仅当时，等号成立，故B正确.，即，故C不正确.，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BD.10.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A.B.C.D.的解集为或【答案】ABC【解析】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故ABC正确；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D错误.故选：ABC11.已知（）的最小正周期为π，则下列说法正确的是（）A.是曲线的一个对称中心B.在有两个极值点C.在的值域为D.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数【答案】ACD【解析】，由题设，则，，则是曲线的一个对称中心，A对；由，根据正弦函数图象知：在上有一个极值点，即在区间内只有一个极值点，B错；由，则，所以，C对；为偶函数，D对.故选：ACD12.已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（）A.在上单调递减 B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，若，符合题意，故A错误；对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故B正确；对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，由题意得，得，关于直线对称，所以，，所以奇函数的一个周期为4，，所以，即，故C正确；由对称性可知，即，所以,等式两边对x求导，得，令，，由，两边对x求导，，所以的周期也为4，所以，所以，故，D错误.故选：BC.三、填空题13.若命题“存在，使”是真命题，则实数的一个可能取值为______．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知，方程有解，所以，得，故实数的一个可能取值为．故答案为：（答案不唯一）.14.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵，∴．由题意知有大于0的实根，由，得，∵，∴，∴．故答案为︰．15.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则______.【答案】【解析】如图，O为楼脚，OP为楼高，则，，所以，又因，，所以，所以，所以，所以又因为，所以在中，，所以，故.，所以，所以.故答案为：.16.已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________．【答案】3【解析】连接AG并延长，交BC于F，如图所示由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以，所以，即，因为D、G、E三点共线，所以，即.设的边长为1，设与周长之比，则，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由题意得，所以，又，所以，又，所以，因为，所以，令，则，令，则，所以在上为增函数，所以，所以与周长之比的取值范围为四、解答题17.已知：实数满足，：实数满足（其中）.（1）若，且和至少有一个为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）：实数满足，解得，当时，：，解得，∵p和q至少有一个为真，∴或，∴，∴实数的取值范围为；（2）∵，由，解得，即：，∵是充分不必要条件，∴（等号不同时取），∴，18.已知函数．（1）若的解集为，求实数的取值范围；（2）当时，解关于的不等式．解：（1）由题意知：在上恒成立，，解得：，即实数的取值范围为.（2）由得：；当时，的解为或；当时，的解为或；综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.在中，角所对的边分别，且（1）求角A的值；（2）已知在边上，且，求的面积的最大值解：（1）在中因为．由正弦定理得，所以，因为，所以．故又是的内角，所以．从而．而A为内角，所以；（2）因为所以,所以，从而，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.20.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.（1）若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；（2）求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.解：（1）由，，则，由，，则，所以；（2）由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.21.对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是，用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度．（1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；（2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为，则由题意得，解得，由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足，解得，所以，即两种方案的用水量分别为19和，因为时，，所以，所以方案乙的用水量较少；（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（1）得，所以，当为定值时，，当且仅当时取等号，此时不合题意舍去，或，将代入，得，所以时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为和，最少用水量为，当时，，所以在上为增函数，所以随着的增加，最少用水量在增加.2