河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省沧州市部分学校2023-2024学年高一上学期月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知得，又，所以．故选：A．2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，易得．故选：C．3.下列表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】C【解析】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，的定义域为的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，，这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故C正确；对于D，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故D错误.故选：C．4.已知幂函数的图像过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】为幂函数，设，依题意，解得，所以，则．故选：B．5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，，所以，故．故选：A．6.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（）A.1 B. C.0.25 D.0.75【答案】C【解析】因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中.故选：C.7.若存在正实数x，y满足于，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，解得或，所以m的取值范围是．故选：D．8.已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，在上单调递增；当时，易知函数在上单调递增，且，即函数在上单调递增，因为，，所以，即，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数有最小值的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A：，当且仅当，即时等号成立，故，A正确；对于B：当时，则，当且仅当，即时等号成立；当时，则，当且仅当，即时等号成立，故；∴的值域为，无最小值，B错误；对于C：的值域为，无最小值，C错误；对于D：由题意可得，解得，故的定义域为，∵在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，∴在定义域内单调递增，则，故有最小值0，D正确．故选：AD．10.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，原式，A正确；对于B，原式，B正确；对于C，原式，C错误；对于D，原式，D正确．故选：ABD．11.若，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，可得：当时，∵在定义域内单调递减，∴，此时，且在定义域内单调递减，B成立，D错误；当时，∵在定义域内单调递增，∴，此时，且在定义域内单调递增，A错误，C成立．故选：BC.12.已知函数（，且），则（）A.有两个零点 B.不可能为偶函数C.的单调递增区间为 D.的单调递减区间为【答案】ABD【解析】对于A，令，则或，所以或有两个零点，A正确；对于B，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；对于C，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则____________．【答案】3【解析】，．故答案为：3.14.函数（且）的图象恒过定点是______.【答案】【解析】当，即时，为定值，此时，故（且）的图象恒过定点.故答案为：.15.请写出“”一个必要不充分条件：________________________．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件；对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件．故答案为：（答案不唯一）.16.欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如，，则____________．【答案】【解析】在1～中，2的倍数共有个，3的倍数共有个，6的倍数共有个，所以．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知集合，，R.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）若，则，解得，即实数的取值范围.（2）由题知，，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集，即，解得，即实数a的取值范围是.19.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在y轴左侧的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）讨论关于x的方程的根的个数．解：（1）由图可知，解得，设，则，∵函数是定义在上的偶函数，∴，∴，∴．（2）作出函数的图象如图所示：，由图可知，当时，关于x的方程的根的个数为0；当或时，关于x方程的根的个数为2；当时，关于x的方程的根的个数为4；当时，关于x的方程的根的个数为3．20.已知是R上的奇函数．（1）求b的值；（2）若不等式对恒成立，求m的取值范围．解：（1）∵，是R上的奇函数，∴，可得，经检验，此时为奇函数，满足题意，∴．（2）∵，∴在R上单调递增，又为R上的奇函数，∴由，，∴，即恒成立，当时，不等式为不可能对恒成立，故不合题意；当时，要满足题意，需，解得，实数m的取值范围为．21.过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）：x（单位：克）146…y284…（1）求y关于x的函数关系式；（2）求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．解：（1）当时，y是x的指数函数，设（且），由数表知，满足指数函数解析式，于是得，即当时，；易知时，，当时，y是x的二次函数，设（），显然，，满足二次函数解析式，即，解得，，，即当时，，所以y关于x的函数关系式．（2）当时，，则当时，y取得最大值4；当时，，则当时，y取得最大值8，而，因此当时，y取得最大值8，综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳．22.已知函数．（1）求的定义域，并证明的图象关于点对称；（2）若关于x的方程有解，求实数a的取值范围．解：（1）由题设可得，解得，故的定义域为，而